第08讲 函数与方程(讲+练)-高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
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第08讲 函数与方程(精讲+精练)
目录
第一部分:知识点精准记忆
第二部分:课前自我评估测试
第三部分:典型例题剖析
高频考点一:函数零点所在区间的判断
高频考点二:函数零点个数的判断
高频考点三:根据零点个数求函数解析式中的参数
高频考点四:比较零点大小关系
高频考点五:求零点和
高频考点六:根据零点所在区间求参数
高频考点七:二分法求零点
第四部分:高考真题感悟
第五部分:第08讲 函数与方程(精练)
第一部分:知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
对于一般函数,我们把使成立的实数叫做函数的零点.注
意函数的零点不是点,是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根.
注:上述定理只能判断出零点存在,不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数,则至多有一个零点;
②连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点;
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点,其中为常数.
第二部分:课 前 自 我 评 估 测 试
1.(2022·广东中山·高一期末)函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】A
在上递增,
,
,所以的零点在区间.
故选:A
2.(2022·江苏·南京市第二十九中学高一开学考试)用二分法研究函数的零点时,第一次经过计算得,,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
因为,
由零点存在性知:零点,
根据二分法,第二次应计算,即,
故选:D.
3.(2022·广西玉林·高一期末)若函数的零点所在的区间为,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
易知函数在上单调递增,且函数零点所在的区间为,所以,解得.
故选:C
4.(2022·福建南平·高一期末)函数的零点为,,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
是上的增函数,
又,
函数的零点所在区间为,
又,
.
故选:C.
5.(2022·江苏淮安·高一期末)已知,均为上连续不断的曲线,根据下表能判断方程有实数解的区间是( )
x
-1
0
1
2
3
-0.670
3.011
5.432
5.980
7.651
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A. B. C. D.
【答案】B
令
可得:,
由题意得连续,根据函数的零点判定定理可知:在上有零点
故在上有解
故选:B
第三部分:典 型 例 题 剖 析
高频考点一:函数零点所在区间的判断
1.(2022·江西省铜鼓中学高一开学考试)方程的解所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】B
设,易知在定义域内是增函数,
又,,
所以的零点在上,即题中方程的根属于.
故选:B.
2.(2022·安徽·池州市第一中学高一阶段练习)函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
,
且是单调递减函数,
故函数的零点所在的一个区间是,
故选:B
3.(2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末)函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
函数的定义域为,
且函数在上单调递减;在上单调递减,
所以函数为定义在上的连续减函数,
又当时,,
当时,,
两函数值异号,
所以函数的零点所在区间是,
故选:B.
4.(2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末(理))函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】B
,由对数函数和幂函数的性质可知,
函数在时为单调增函数,
, ,
, ,
因为在内是递增,故 ,
函数是连续函数,由零点判断定理知,的零点在区间内,
故选:B.
高频考点二:函数零点个数的判断
1.(2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试)已知函数的图像是连续不断的,且,有如下的对应值表:
1
2
3
4
5
6
123.56
21.45
7.82
11.57
53.76
126.49
则函数在区间上的零点有( )
A.两个 B.3个 C.至多两个 D.至少三个
【答案】D
因为函数的图像是连续不断的,且,
所以在区间上至少有1个零点,
因为函数的图像是连续不断的,且,
所以在区间上至少有1个零点,
因为函数的图像是连续不断的,且,
所以在区间上至少有1个零点,
综上,函数在区间上的零点至少有3个,
故选:D
2.(2022·山东省实验中学高三阶段练习)已知函数,则函数的零点个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
令.
①当时,,则函数在上单调递增,
由于,由零点存在定理可知,存在,使得;
②当时,,由,解得.
作出函数,直线的图象如下图所示:
由图象可知,直线与函数的图象有两个交点;
直线与函数的图象有两个交点;直线与函数的图象有且只有一个交点.综上所述,函数的零点个数为5.
故选:D.
3.(2022·全国·模拟预测)已知函数,则函数的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】D
当时,,则;以此类推,当时,;…;
在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.
由图可知,与的图象有7个不同的交点
故选:D
4.(2022·全国·高三专题练习)已知,给出下列四个结论:
(1)若,则有两个零点;
(2),使得有一个零点;
(3),使得有三个零点;
(4),使得有三个零点.
以上正确结论的序号是 __.
【答案】(1)(2)(4)
函数的零点的个数可转化为函数与直线的交点的个数;
作函数与直线的图象如图,
若,则函数与直线的图象在与上各有一个交点,则有两个零点,故(1)正确;
若,则当函数与直线的图象相切时,有一个零点,故(2)正确;
当时,函数与直线的图象至多有两个交点,故(3)不正确;
当且足够小时,函数与直线的图象在与上分别有1个、2个交点,故(4)正确;
故答案为:(1)(2)(4).
5.(2022·重庆九龙坡·高一期末)若函数满足,且时,,已知函数,则函数在区间内的零点的个数为__________.
【答案】10
解:因为,所以,
所以函数是以2为周期的周期函数,
令,则,
在同一平面直角坐标系中作出函数的图像,如图所示,
由图可知函数有10个交点,
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为:10.
高频考点三:根据零点个数求函数解析式中的参数
1.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数恰有个零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
由题意,函数,的图象如图:
方程的解为,方程的解为或;
①当时,函数恰有两个零点,3;
②当时,函数有2个零点,5;
则实数m的取值范围是:.
故选:A.
2.(2022·上海杨浦·高一期末)已知函数若函数存在零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
如图所示:
指数函数,没有零点,
有唯一的零点,
所以若函数存在零点,
须有零点,即,
所以,
故选:B.
3.(2022·北京大兴·高一期末)若函数恰有个零点,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
因为时至多有一个零点,单调函数至多一个零点,
而函数恰有个零点,
所以需满足有1个零点,有1个零点,
所以,
解得,
故选:D
4.(2022·福建龙岩·高一期末)若函数 在 上存在零点,则实数的取值范围是________.
【答案】
解:令,则有,
原命题等价于函数与在上有交点,
又因为在上单调递减,且当时,,
在上单调递增,
当时,作出两函数的图像,
则两函数在上必有交点,满足题意;
当时,如图所示,只需,
解得,即,
综上所述实数的取值范围是.
故答案为:.
5.(2022·山西省长治市第二中学校高一期末)已知函数, 则使函数有零点的实数的取值范围是____________
【答案】
令,现作出的图象,如图:
于是,当时,图象有交点,即函数有零点.
故答案为:.
6.(2022·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)求的解析式.
(2)若方程有实数根,求实数a的取值范围.
【答案】(1),;(2).
解:(1)设,因为,所以;
且,所以,
所以,;
(2)设,,,
所以当时函数有最小值,而,,
所以,所以,所以.
【点睛】
本题主要考查的是换元法求函数的解析式,利用函数值域求参数范围的问题,需要注意:
(1)采用换元法求解函数解析式时,注意换元必换域,不要漏掉的范围;
(2)求解参数范围时需要转化为求解函数的最值问题,即求函数的值域,再利用的范围解不等式即可,需要注意定义域的限制.
高频考点四:比较零点大小关系
1.(2022·浙江·於潜中学高二期中)已知函数,,的零点分别为a,b,c,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解:在同一坐标系中作出的图象,
由图象知:,
故选:B
2.(2022·河北石家庄·高三阶段练习)若,则下列不等关系一定不成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
由,得.
由,得,,
作函数,,的图象,再作直线.
变换m的值发现:,,均能够成立, D不可能成立.
故选:D.
3.(2022·山东潍坊·高三期末)已知,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
在同一坐标系中分别画出,,,的图象,
与 的交点的横坐标为, 与的图象的交点的横坐标为 ,与 的图象的交点的横坐标为,从图象可以看出.
故选:B
4.(2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末)已知方程、、的根分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为( ).
A. B. C. D.
【答案】B
由得,,
由方程得的根为 a,由方程得的根为b.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象,
由图象知,,,.
故选:B
5.(2022·江苏苏州·高一期末)若实数、满足,则、的大小关系__(填“”,“”或“”).
【答案】
解:,,
则为函数与函数图象交点的横坐标,为函数与函数图象交点的横坐标,
在同一直角坐标系画出函数、、的图象如下,
由图知,
故答案为:.
6.(2022·江苏·高一)已知函数,,的零点依次为,,,则,,的大小关系是________.
【答案】
解:令,则,
即的零点为函数与交点的横坐标,
令,则,
即的零点为函数与交点的横坐标,
令,则,
即的零点为函数与交点的横坐标,
画出函数,,,的图象,如图所示,
观察图象可知,函数,,的零点依次是点,,的横坐标,
由图象可知.
故答案为:.
高频考点五:求零点和
1.(2022·天津市新华中学高三期末)已知函数的定义域为,且,当时,若关于x的方程在上所有实数解的和为15,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
∵,
∴在上的图象,可由在上的图象向右平移个单位,再将纵坐标伸长为原来的倍得到,同理,可画出函数在上的大致图象,如图,作出函数及在上的大致图象,
由条件可得,
①当时,与图象的交点两两一组分别关于直线,,,,对称,则实数解的和为;
②当时,与图象的交点两两一组分别关于直线,,,对称,则实数解的和为;
③当时,与图象的交点两两一组分别关于直线,,对称,则实数解的和为;
④当时,与图象的交点两两一组分别关于直线,对称,则实数解的和为;
⑤当时,与图象的两个交点关于直线对称,则实数解的和为;
经验证,当,,,,,及或时,均不符合题意.
综上所述,.
故选:D.
2.(2022·安徽蚌埠·高三期末(文))已知函数有四个不同的零点,,,,若,,,则的值为( )
A.0 B.2 C.-1 D.-2
【答案】D
函数有四个不同的零点,即方程有四个不同的解,
令,,即函数的图象与有四个不同的交点,
两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示:
所以,
不妨设,
则,
所以.
故选:D
3.(2022·浙江·高三专题练习)设函数,若互不相等的实数、、满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
因为,即,
设,,作出函数的图象如下图所示:
由图象可知,点、关于直线对称,则,
由图可知,,因此,.
故选:B.
4.(2022·江苏·高一期末)已知函数,若存在,使得,则的取值范围是___________.
【答案】
作出函数的图象,
由图知当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
令,
若存在,使得,由图可得,
由即,所以,
因为函数的对称轴为,所以,
所以,
故答案为:.
5.(2022·全国·高三专题练习)已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则函数的所有零点的和为_________
【答案】3
∵是定义在R上的奇函数,且当时,
∴当时,
则
即.
则
作出的图象如图所示:
∵的图象与的图象关于对称
∴作出的图象,由图象知与的图象有三个交点
即有三个根,其中一个根为1,另外两个根关于对称
即
则所有解的和为.
故答案为:3
高频考点六:根据零点所在区间求参数
1.(2022·海南·高一期末)若函数在区间内存在零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
函数在区间内存在零点,且函数在定义域内单调递增,
由零点存在性定理知,即,解得
所以实数的取值范围是
故选:B
2.(2022·全国·高三专题练习)函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
∵和在上是增函数,
∴在上是增函数,
∴只需即可,即,解得.
故选:D.
3.(多选)(2022·江苏省太湖高级中学高二阶段练习)函数的一个零点在区间内,则实数a的可能取值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】BC
因为函数在定义域上单调递增,
所以函数在上单调递增,
由函数的一个零点在区间内,
得,
解得,
故选:BC
4.(2022·上海市建平中学高一期末)若函数在区间上有零点,则实数的取值范围是________.
【答案】
因为函数在区间上有零点,则=,解得.即实数的取值范围是.故答案为.
5.(2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习)已知函数,
(1)若函数在区间上存在零点,求实数a的取值范围;
【答案】(1)
(1)
的图象开口向上,对称轴为,所以函数在上单调递减.因为函数在区间上存在零点,所以,解得,即实数a的取值范围为.
高频考点七:二分法求零点
1.(2022·黑龙江·大庆中学高一期末)若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
那么方程的一个近似根(精确度)可以是( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为,所以,所以函数在内有零点,因为,所以不满足精确度;
因为,所以,所以函数在内有零点,因为,所以不满足精确度;
因为,所以,所以函数在内有零点,因为,所以不满足精确度;
因为,所以,所以函数在内有零点,因为,所以不满足精确度;
因为,,所以函数在内有零点,
因为,所以满足精确度,
所以方程的一个近似根(精确度)是区间内的任意一个值(包括端点值),根据四个选项可知选C.
故选:C
2.(多选)(2022·湖北大学附属中学高一阶段练习)某同学用二分法求函数的零点时,计算出如下结果:,,,,,,下列说法正确的有( )
A.精确到的近似值为 B.精确到的近似值为
C.精确到的近似值为 D.精确到的近似值为
【答案】AC
,,
零点在内,又,则AC正确,D错误;
,,,则B错误.
故选:AC.
3.(多选)(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末)若函数的图象是连续的,且函数的唯一零点同在区间,,,内,则与符号不同的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
由二分法的步骤可知,
①零点在内,则有,不妨设,,取中点2;
②零点在内,则有,则,,取中点1;
③零点在内,则有,则,,取中点;
④零点在内,则有,则,,则取中点;
⑤零点在内,则有,则,,
所以与符号不同的是,,,
故选:ABD.
4.(多选)(2022·全国·高一)若函数在区间上的图象不间断,则下列结论中错误的是( )
A.若,则在上不存在零点 B.若,则在上至少有一个零点 C.若在内有且只有一个零点,则 D.若在上存在零点,则可用二分法求此零点的近似值
【答案】ACD
A:令,,,
则,,,令,,
,则在上存在零点0,故A错误;
B:函数在区间上的图象不间断,若,
则在上至少有一个零点,由函数零点存在定理知正确,故B正确;
C:如图,在内有且只有一个零点,但,故C错误;
D:如图,在上存在零点,但不可用二分法求此零点的近似值,故D错误.
故选:ACD
5.(2022·广东汕头·一模)为检测出新冠肺炎的感染者,医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是()将个人的样本混合在一起做第1轮检测(检测一次),如果检测结果为阴性,可确定这批人未感染;如果检测结果为阳性,可确定其中有感染者,则将这批人平均分为两组,每组人的样本混合在一起做第2轮检测,每组检测1次,如此类推:每轮检测后,排除结果为阴性的那组人,而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组,做下一轮检测,直到检测出所有感染者(感染者必须通过检测来确定).若待检测的总人数为8,采用“二分检测法”检测,经过4轮共7次检测后确定了所有感染者,则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为,且假设其中有不超过2名感染者,采用“二分检测法”所需检测总次数记为n,则n的最大值为______.
【答案】 2
若待检测的总人数为8,则第一轮需检测1次,第2轮需检测2次,第3轮需检测2次,第4轮需检测2次,
则共需检测7次,此时感染者人数最多为2人;
若待检测的总人数为,且假设其中有不超过2名感染者,
若没有感染者,则只需1次检测即可;
若只有1个感染者,则只需次检测;
若只有2个感染者,若要检测次数最多,则第2轮检测时,2个感染者不位于同一组,
此时相当两个待检测均为的组,
每组1个感染者,此时每组需要次检测,
所以此时两组共需次检测,
故有2个感染者,且检测次数最多,共需次检测,
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n,则n的最大值为.
故答案为:2,
6.(2022·河南信阳·高一期末)下列函数图象与x轴都有交点,其中不能用二分法求其零点的是___________.(写出所有符合条件的序号)
【答案】(1)(3)
用二分法只能求“变号零点”, (1),(3)中的函数零点不是“变号零点”,故不能用二分法求
故答案为:(1)(3)
第四部分:高考真题感悟
1.(2021·天津·高考真题)设,函数,若在区间内恰有6个零点,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
最多有2个根,所以至少有4个根,
由可得,
由可得,
(1)时,当时,有4个零点,即;
当,有5个零点,即;
当,有6个零点,即;
(2)当时,,
,
当时,,无零点;
当时,,有1个零点;
当时,令,则,此时有2个零点;
所以若时,有1个零点.
综上,要使在区间内恰有6个零点,则应满足
或或,
则可解得a的取值范围是.
2.(2020·全国·高考真题(理))若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
设,则为增函数,因为
所以,
所以,所以.
,
当时,,此时,有
当时,,此时,有,所以C、D错误.
故选:B.
3.(2020·天津·高考真题)已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
注意到,所以要使恰有4个零点,只需方程恰有3个实根
即可,
令,即与的图象有个不同交点.
因为,
当时,此时,如图1,与有个不同交点,不满足题意;
当时,如图2,此时与恒有个不同交点,满足题意;
当时,如图3,当与相切时,联立方程得,
令得,解得(负值舍去),所以.
综上,的取值范围为.
故选:D.
4.(2021·江苏·高考真题)已知函数,若其图像上存在互异的三个点,,,使得,则实数的取值范围是__________.
【答案】
解:画出函数的图象如下图,
由题意得函数图象上存在互异的三个点,且,
则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点,
由图知,当或时,有且仅有两个交点,
要使两个图象有三个不同的交点,则的取值范围为.
故答案为:.
5.(2021·北京·高考真题)已知函数,给出下列四个结论:
①若,恰 有2个零点;
②存在负数,使得恰有个1零点;
③存在负数,使得恰有个3零点;
④存在正数,使得恰有个3零点.
其中所有正确结论的序号是_______.
【答案】①②④
对于①,当时,由,可得或,①正确;
对于②,考查直线与曲线相切于点,
对函数求导得,由题意可得,解得,
所以,存在,使得只有一个零点,②正确;
对于③,当直线过点时,,解得,
所以,当时,直线与曲线有两个交点,
若函数有三个零点,则直线与曲线有两个交点,
直线与曲线有一个交点,所以,,此不等式无解,
因此,不存在,使得函数有三个零点,③错误;
对于④,考查直线与曲线相切于点,
对函数求导得,由题意可得,解得,
所以,当时,函数有三个零点,④正确.
故答案为:①②④.
第五部分:第08讲 函数与方程(精练)
一、单选题
1.(2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末)已知函数,则零点所在的区间可以为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
显然函数在R上单调递增,,而,
所以零点所在的区间可以为.
故选:B
2.(2020·江西省兴国县第三中学高三阶段练习(理))二次函数的部分对应值如下表:
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6
-4
-6
-6
-4
6
可以判断方程的两根所在的区间是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
【答案】A
由表格可知:,
所以,
结合零点存在性定理可知:二次函数的零点所在区间为和,所以方程的两根所在的区间是和,
故选:A.
3.(2020·全国·高一课时练习)设函数与的图象交点为,则所在区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【答案】B
令,则f (0)=-4<0,f (1)=-1<0,f (2)=3>0,
∴f (x)的零点在区间(1,2)内,
即函数与的图象交点的横坐标.
故选:B
4.(2020·四川·广安二中高一期中)函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A.1.5 B.1.25 C.1.41 D.1.44
【答案】C
由所给数据可知,函数在区间内有一个根,
因为,,
所以根在内,
因为,所以不满足精确度,
继续取区间中点,
因为 ,,
所以根在区间,
因为,所以不满足精确度,
继续取区间中点,
因为,,
所以根在区间内,
因为满足精确度,
因为,所以根在内,
所以方程的一个近似解为,
故选:C
5.(2020·全国·高三专题练习)已知函数,若方程有四个不同的解且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
.
先作图象,由图象可得
因此为,
,
从而.
故选:A
6.(2020·全国·高三专题练习)已知函数,,的零点分别为,,,则( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
函数,,的零点,即为与,,的交点,
作出与,,的图象,
如图所示,可知
故选:C
7.(2020·四川·广安二中高一期中)已知函数,其中,若存在实数,使得关于的方程恰有三个互异的实数解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解:因为,
所以的大致图象,如图所示:
当时,,
因为存在实数,使得关于的方程恰有三个互异的实数解,
所以,又,
解得,
故选:D
8.(2020·天津滨海新·高三阶段练习)已知函数,若方程有2个不同的实根,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
解:当时,
当直线与曲线相切时,设切点
因为,则切线的,得,切点为
将切点代入直线,得
当时,
令,即
①当时,有一个实根,此时有一个实根,满足条件;
②当时,有两个实根,此时有一个实根,不满足条件;
③当时,无实根,此时要使有两个实根,则且,即且.
综上所述,实数的取值范围是
故选:B.
二、填空题
9.(2020·天津市红桥区教师发展中心高二学业考试)函数 的零点所在的区间为(k,k+1),则k =________.
【答案】2
因为 和在R上单调递增,所以在R上单调递增.
因为,,
所以的零点所在的区间为.
因为函数 的零点所在的区间为(k,k+1),
所以k=2.
故答案为:2
10.(2020·海南·琼山中学高一阶段练习)设函数,则函数与的图象的交点个数是____________.
【答案】4
当时,,解得或,
当时,,解得或,
综上所述函数与的图象的交点的个数是4.
故答案为:4.
11.(2020·天津市红桥区教师发展中心高二期末)已知函数,若函数有三个零点,则实数 的取值范围是________________.
【答案】
若函数有三个零点,
得,即有三个根
即函数与的图象有三个不同的交点,
作出函数的图象如图:
当时,,
当时,
则要使函数与有三个不同的交点,
则,
即实数的取值范围是,
故答案为:
12.(2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中(理))已知函数,若方程有8个相异的实数根,则实数的取值范围是_________________________ .
【答案】
解:根据题意,作出函数的图像,如图:
令,因为方程有8个相异的实数根,
所以方程在区间上有两个不相等的实数根,
故令,则函数在区间上有两个不相等的零点.
所以,即,解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为:
三、解答题
13.(2020·陕西师大附中高一期中)已知二次函数满足.且,.
(1)求的解析式;
(2)是否存在实数,使得函数在上有零点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,.
(1)由题设,二次函数关于对称,又,
∴可设,又,即.
∴.
(2)要使在上有零点,即与在上有交点,
由(1)知:在上单调递减,且,而在上递增,且,
∴只需使在上有零点,可得.
14.(2020·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习)已知函数.
(1)画出函数的图象,并写出其单调递增区间;
(2)若方程有四个解,试求实数的取值范围.
【答案】(1)图见解析,和
(2)
(1)
由题意得:,令,解得:或,可得函数图象,如下图所示
由图象可知,单调递增区间为和,
(2)
由题意可知,方程有四个解转化为函数与有四个不同的交点,分别作出函数与的图象,如图所示
由图象可知, .
所以实数的取值范围为.
15.(2020·浙江金华·高一期末)已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)若存在使关于的方程有四个不同的实根,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;
(2).
(1)
方程的两根分别为和,
当且即时,的解集为或,
当即时,的解集为,
当且即时,的解集为或,
综上所述:当时,的解集为或,
当时,的解集为,
当时,的解集为或.
(2)
令,则关于的方程有四个不同的实根,
即有四个不同的实根,
等价于有两个不同的正实根,
则,
由可得解得:或,
因为,则,由可得,
所以,
所以存在使得不等式成立,
即存在使得不等式成立,
设,则在上单调递减,
所以,
解得:或,
所以实数的取值范围为.
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