高中数学1.1 集合的概念优秀课后复习题

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一．元素与集合的概念
1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
3.集合中的元素具有如下三个特性：
(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合．
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分．

4.元素与集合的关系
5.常用数集及表示符号
6.集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如集合{a，b，c}与集合{c，a，b}是相等集合
二．集合的表示方法
1.列举法
(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.
(2)使用说明
①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
2.描述法
(1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
(2)使用说明
①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.
集合的分类
有限集：集合的元素有限个
无限集：集合的元素无限个
一．集合概念的理解
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，每个元素是否互异。
二．判断元素和集合关系的两种方法
1.直接法：集合中的元素是直接给出的.
2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
三．元素的互异性求参数
1.根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值
2.根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.
注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
四．集合的表示方法
1.用列举法表示集合
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
（3）使用列举法表示集合时的注意事项
①元素间用逗号隔开；
②元素不能重复(互异性)；
③元素之间不用考虑先后顺序(无序性)；
④有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如不大于100的正整数所构成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；
⑤“{ }”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，但如果写成{实数集}或{全体实数}就是错误的；
⑥对于含有有限个元素且元素个数较少的集合，宜采用列举法．
2.利用描述法表示集合
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
考点一 集合概念的理解
【例1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【一隅三反】
1．（2023·北京）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
2．（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．
①所有的好人；
②平面上到原点的距离等于2的点；
③正三角形；
④比较小的正整数；
⑤满足不等式的的取值．
3．（2023·上海）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.
①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式的所有正整数解.
考点二 元素与集合的关系
【例2】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【一隅三反】
1．（2023春·四川内江）已知集合,那么（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·福建龙岩）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．2C．3D．5
3．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合A=｛0，1，2｝，则（ ）
A．0AB．1 C．2=AD．A
考点三 元素互异性及应用
【例3-1】（2023·北京朝阳）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【例3-2】（2023·安徽）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023·河南）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3-4】（2023·云南）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．或0D．无解
【一隅三反】
1．（2023·福建）若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
2．（2023春·河南）若，则a2020+b2020的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．1或﹣1
3．（2023春·山东日照）已知集合，且，则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2023·广东）设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2B．C．，，2D．，2
5．（2023·陕西西安）已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为___________.
考点四 集合的表示方法
【例4】（2023·陕西安康）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【一隅三反】
1．（2023北京）把下列集合用适当方法表示出来：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
2．（2023山东）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
3．（2023湖北）选择适当的方法表示下列集合:
（1）被5除余1的正整数组成的集合；
（2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
（3）方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合；
（4）三角形的全体组成的集合.
考法五 集合相等
【例5-1】（2023·河北）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023北京）集合，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2022·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3B．4C．D．
3．（2022秋·海南海口·高一校考阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于A
a∈A
“a属于A”
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A
a∉A
“a不属于A”
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R