2024年人教版数学七年级下册同步讲义+练习专题5.5 相交线平行线类型题举例 （2份，原卷版+教师版）

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第05章 重点突破训练：相交线平行线类型题举例典例体系（本专题99题123页）考点1：相交线所成的角典例：（2022春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．(1)若∠BOD＝30°，求∠EOC的度数；(2)若∠BOD∶∠EOC＝1∶3，求∠AOD的度数；(3)在（2）的条件下，画射线OF，若∠COF=90°，请直接写出∠BOF的度数．【答案】(1)(2)(3)的度数为或【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据平角的定义即可得；（2）先根据可得，再根据平角的定义可得，然后根据邻补角的定义即可得；（3）分两种情况讨论：①射线在的上方和②射线在的下方，先利用平角的定义可得，再根据角的和差即可得．（1）解：因为平分，，所以，所以．（2）解：因为，所以，因为，所以，所以，所以．（3）解：由题意，分以下两种情况：①如图，当射线在的上方时，因为，所以，所以；②如图，当射线在的下方时，因为，所以，所以，综上，的度数为或．方法或规律点拨本题考查了与角平分线有关的计算、邻补角、平角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键．巩固练习1．（2022秋·河北邢台·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（    ）A．40° B．80° C．100° D．140°【答案】D【分析】根据对顶角相等和平角的定义即可求出∠AOC和∠BOC，然后根据角平分线的定义即可求出∠COM，从而求出结论．【详解】解：∵∴∠AOC=∠BOD=80°，∠BOC=180°－∠BOD=100°∵平分∴∠COM=∠AOC=40°∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=140°故选:D．【点睛】此题考查的是角的和与差，掌握对顶角相等、平角的定义和角平分线的定义是解决此题的关键．2．（2022春·七年级单元测试）如图，直线、、相交于点，且，平分，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据对顶角相等可以得到，再根据垂直的性质可以得到，即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可得出答案．【详解】解：∵，∴∵，∴∴∵平分，∴故选B．【点睛】本题考查了角度的和差倍分，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上性质并找出角度之间的关系是本题的关键．3．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）如图，直线a，b相交于点O，如果，那么是____________°．【答案】145【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵，（对顶角相等），∴，∵∠1与∠3互为邻补角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，直线与相交于点O，．(1)如果，求和的度数；(2)如果，求的度数．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据角的和差与对顶角即可求解；（2）根据已知条件可得，从而可求得，根据邻补角即可求的度数．【详解】（1）∵，∴，∵与是对顶角，∴．（2）∵，∴．又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，以及角的和差计算，解答的关键是熟记对顶角与邻补角的定义的掌握与应用．5．（2022秋·重庆·七年级校联考阶段练习）如图，直线，相交于点O，平分，平分．(1)判断与的位置关系，并进行证明．(2)若，求的度数．【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）由平分，平分，得到，，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出；（2）由，，得到，由对顶角相等，可求出，根据平分，平分，可得出以及，根据邻补角互补结合，可求出的度数．【详解】（1）．证明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴， ∵，∴，∵平分，平分，∴，．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2021春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，O是直线AB上一点，平分．(1)若，请求出的度数；(2)若和互余，且，请求出的度数．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据角平分线的定义，即可求得；(2)首先根据和互余，可得，再根据，可求得，可求得，据此即可求得．（1）解：，平分，，；（2）解：和互余，，∴，平分，，．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，准确找到角与角之间的关系是解决本题的关键．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；【答案】(1)∠BOF=33°(2)∠AOC=72°【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．（2）利用角平分的定义得出，进而表示出各角求出答案．【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=38°∴∠COE=142°，∵OF平分∠COE．∴∠EOF=∠COE=71°，又∠BOE+∠BOF=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴，∴设，则，故，，则，解得，故∠AOC=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）．8．（2022春·广东湛江·九年级校考期中）如图，已知O为直线上一点，过点O向直线上引三条射线，且平分．(1)若平分，求的度数；(2)若，，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分线的定义，可证得，，再根据邻补角的定义，就可求出的度数．（2）根据已知及角平分线的定义，用含的代数式表示出，再根据，建立关于的方程，求解即可．（1）解：∵平分，OE平分∠BOC，∴，，∵∴答：的度数为．（2）解：∵，∴∵平分∴∵∴解之：答：的度数为．【点睛】本题考查了角平分线定义、平角以及角的计算等知识，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．9．（2022秋·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；(2)∠EOF＝60°【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进而得出∠EOF的度数．（1）解：OF⊥OD，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠FOE，∵∠DOE＝∠BOD，∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°，∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC＝×180°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．10．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．(1)若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；(2)在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设，则，先根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义求出的值，从而可得的度数，然后根据对顶角相等即可得；（2）先求出，再分①点在的上方和②点在的下方两种情况，根据角的和差即可得．【详解】（1）解：由题意，设，则，平分，，，，，解得，，由对顶角相等得：．（2）解：由（1）可知，，，，由题意，分以下两种情况：①如图，当点在的上方时，则；②如图，当点在的下方时，则；综上，的度数为或．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算、对顶角相等、一元一次方程的应用，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．11．（2022秋·山东济宁·七年级统考期末）如图，直线 AB，CD相交于点O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的平分线，OF是OE的反向延长线．(1)求∠2、∠3的度数；(2)说明 OF平分∠AOD的理由．【答案】(1)∠2＝100°，∠3＝40°(2)理由见详解【分析】（1）根据邻补角的性质，得∠2＝180°﹣80°＝100°，再求出∠AOD的度数，根据角平分线的性质求出∠3；（2）根据对顶角相等以及角平分线的定义得出∠AOF＝∠DOF即可．（1）解：∵∠2和∠BOC互为补角，且∠BOC＝80°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，∵OE是∠EOC的平分线，∴∠1＝∠EOC＝ ∠BOC＝40°，∵OF是OE的反向延长线，∴∠3＝∠EOC＝40°，（2）理由如下：由（1）得∠3＝∠EOC＝40°，又∵∠AOF＝∠1＝40°，∴∠AOF＝∠DOF，∴OF平分∠AOD．【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，理解角平分线的定义，掌握对顶角相等以及邻补角的性质是解题的关键．12．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期中）如图，直线与相交于点，．(1)若，判断与的位置关系，并证明；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据垂直的定义求解即可；（2）根据角的和差及“对顶角相等”求解即可．（1），理由如下：，，，，，即，；（2），，，，，，．【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，熟记对顶角、邻补角的概念是解题的关键．13．（2022春·陕西安康·七年级统考期末）如图，点在直线上，与互补，平分．(1)若，则的度数为______；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据互补的定义，邻补角以及角平分线的定义解答即可；（2）根据互补的定义和角平分线的定义列出方程解答即可．（1）解：∵点在直线上，，∴，∵与互补，∴，∵平分，∴，∴．故答案为：．（2）设为x，∵点在直线上，∴与互补，∵与互补，∴，∵平分，∴，∴，∵与互补，即，，解得：，∴．∴的度数为．【点睛】本题考查补角问题，涉及互补的定义，邻补角，等角的补角相等，角平分线的定义．理解和掌握互补的定义，邻补角以及角平分线的定义是解题的关键．14．（2022春·七年级课时练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)将图1中的三角板绕点处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数；(2)在图3中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由．(3)将图1中的三角板绕点按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为______．（直接写出答案）【答案】(1)(2)平分；理由见解析(3)30或12秒【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）先由对顶角性质得=30°，再由，得，从而得出结论；（3）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵恰好平分，∴，∴，∴；（2）解：∵（对顶角），．∴，又∵，∴．∴∴平分（3）解：30或12．设三角板绕点旋转的时间是秒，∵，∴，如图，当的反向延长线平分时，，∴，∴旋转的角度是，∴，∴；如图，当平分时，，∴旋转的角度是，∴，∴，综上，或，即此时三角板绕点旋转的时间是30或12秒．【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．15．（2022秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=∠AOD．(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；(2)如图2，若∠AOC=α（60°