北师大版数学八年级下册同步讲义第一章第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

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第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01 等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.知识点02 等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形.题型01 等边三角形的性质【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）如图，是等边三角形的中线，，则的度数为 ．【答案】/度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等边三角形的性质可得，再由，可得，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵是等边三角形的中线，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：【变式训练】1．（2022下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ．【答案】/120度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可．【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形，，，，．故答案为：．2．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，和均为等边三角形，点分别在上． （1）若，则 度；（2）是否与全等？ ．（填“是”或“否”）【答案】 88 是【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形全等的判定和性质解答即可．（1）根据等边三角形的性质，结合三角形内角和定理计算即可． (2)根据(1)的结论，结合等边三角形的性质，运用三角形全等的判定可以证明．【详解】（1）∵和均为等边三角形，∴∠B=∠C=∠EFD=60°，∵，∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=32°，∴，故答案为：88．（2）∵和均为等边三角形，∴∠B=∠C=∠EFD=60°，，∴，，∴，∵，∴，故答案为：是．题型02 等边三角形的判定【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形．【答案】详见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证．【详解】证明：，为等腰三角形，又，，是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．  (1)求证：；(2)若，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)是等边三角形．理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识．（1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到．（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（2）是等边三角形．理由：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．  (1)求证：是等腰三角形；(2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)当时，是等边三角形，证明见解析【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再由对顶角相等得到，由垂线的定义和三角形内角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可证明是等腰三角形；（2）根据（1）所求，只需要满足即可，再由三角形外角的性质即可得到的度数，据此可得答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：当时，是等边三角形，证明如下：∵，，∴，∵，∴是等边三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键．题型03 等边三角形的判定和性质【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点．(1)求证：；(2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质：（1）根据已知条件证明即可得证；（2）证明，再证明可得，进而证明为等边三角形；【详解】（1）证明：和均是等边三角形，，，，，即，在和中，，，；（2）证明：由（1）得，，由（1）得，，即，在和中，，，，又，为等边三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边中，点在内，，且，．(1)试判定的形状，并说明理由；(2)判断线段，的数量关系，并说明理由．【答案】(1)是等边三角形，理由见解析；(2)，理由见解析．【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到是等边三角形；（2）证明，即可．【详解】（1）解：是等边三角形． 理由：是等边三角形，．又，，，，是等边三角形．（2）解：． 理由：由（1）知是等边三角形，，．，．在和中，，．2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，．(1)求的度数；(2)判断的形状并加以证明；(3)连接，若，求的长．【答案】(1)(2)是等边三角形，证明见解析(3)【分析】（1）首先证明是等边三角形，推出，再证明，推出即可解决问题．（2）只要证明得到即可证明是等边三角形；（3）首先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，进而利用勾股定理求出的长，则由等边三角形的性质可得答案．【详解】（1）解：，，是等边三角形，∴，在和中，，，，．（2）解：是等边三角形，证明如下：，，在和中，，，，，是等边三角形．（3）解：如图所示，连接，∵是等边三角形，∴，，，，∵，即，，，，∴ ，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．题型04 含30°角的直角三角形三边的数量关系【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．(1)求证：；(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）等边三角形三线合一，得到，等边对等角结合三角形的外角，推出，进而得到，即可；（2）易得是含30度角的直角三角形，进而得到，中线得到，求出的长，即可．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∴．（2）∵，∴ ∴在中，．∴．∵，∴．∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在中，，点是上一点，若，则 ．【答案】4【分析】本题考查含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质推出，由含角的直角三角形得到．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：4．2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）已知：如图，在等边中，点D是上任意一点，点E在BC延长线上，连接，使得．(1)如图1：求证：；(2)如图2，取的中点F，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，求证：．【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解(3)证明过程见详解【分析】本题主要考查三角形的综合，主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是构造．（1）作，证明，可得，再证即可求证；（2）构造得出，再判定即可求解；（3）根据含角的性质求出，的值，再用即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，作，∴，∵，∴，∴，∵是等边三角形，，∴，∴，∵，∴，在，中，，∴，∴，∴；（2）证明：如图所示，过点作，交的延长线于点，∴，，∴，∵点是的中点，∴，在，中，，∴，∴，由（1）可知，，∴，在，中，，∴，∴；（3）证明：由（2）可知，，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，即．一、单选题1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．先根据等边三角形的性质得出，，再由平分，可得出，根据直角三角形性质即可得出结论．【详解】解：∵是等边三角形，，∴．又∵平分，，故选：B．2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键．由题意知，，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∴，故选：C．3．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（　　）  A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵于F，交于点E，∴，∴，∴，故选：B．4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，，点是射线上一点，且，点，在射线上，且，．则的长为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，过点作，垂足为，根据题意得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：过点作，垂足为，，，，，，，，，，故选：A．5．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）    A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根据等边三角形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得，求出，然后利用三角形的内角和定理求出，判定②正确；求出，，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后判断④．【详解】解：∵等边，∴，，∵，∴，∴，故①正确；∴，∴，在中，，故②正确；∵，，∴，∴不是等腰三角形，故③错误；∵，，∴，∴，∴，故④正确，综上所述，正确的有①②④．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．二、填空题6．（2023上·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知等边三角形的周长为18，则边长为 ．【答案】6【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，除以3即可．【详解】∵等边三角形的三边相等，∴边长为，故答案为：6．7．（2023上·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在中，，那么 ．若P是边上一动点，连接，则的长的取值范围为 ．【答案】 6 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的长，即可解决问题．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴AP的长的取值范围是．故答案为：．8．（2023上·安徽淮北·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，于点．（1） ；（2）若，，则的长为 ．【答案】 /30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含的直角三角形、等腰三角形的判定等知识点．掌握相关知识点进行几何推理是解题关键．由等边三角形的性质，结合垂直的定义即可求解；设，由已知可得等边三角形的边长为，根据含的直角三角形建立方程，即可求解．【详解】解：由题意得：，，，故答案为：；设与相交于点，如图所示，，，，，，设，则，在中，，，，，在中，，即，解得：，．故答案为：．9．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图所示摆放．将两个三角板抽象成如图所示的和，点依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 ． 【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，首先根据等边三角形的性质得，，，得到，据此可依据“”判定和全等，从而得出 ，，然后过点作于点，在中，利用勾股定理可求出的长，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵和均为等边三角形，∴，，，∴， 即，在和中，，∴，∴， ∴，∵，，∴，∴， 过点作，垂足为，∵是等边三角形， ∴, ，在中，,，由勾股定理得：，∴点到直线的距离为，故答案为：．10．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图1是由四片大小一样的门扇连接成的折叠门，该门的轨道装在天花板上，图2是其示意图．已知轨道，在推拉合页或时，滚轮，在轨道上移动，已知每小片门扇宽度均相等()．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，，，此时门被关上部分的长是 ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，，，相比第一次，门又拉伸了 ．  【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先判定与是两个全等的等边三角形，从而求出与，从而得到，过点分别作的垂线，垂足为，则垂足出与的中点，先证明，从而得到，再根据得出，运用勾股定理列方程求出与，继而得解，掌握一线三直角的全等模型和等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道，∴，∵，，∴，∴与是两个全等的等边三角形，∴，∴，过点分别作的垂线，垂足为，即  由题意可知：，∵，，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，设，则，∵，即，，解得：，∴，，∴，∴，∴相比第一次，门拉伸的长度为：，故答案为：；．三、解答题11．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，连接．(1)若，求的长；(2)判断的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)是等边三角形，理由见解析【分析】（1）先求出，再根据角平分的定义得出，再根据等角对等边得出，根据含30度的直角三角形的性质即可得出答案；（2）根据三线合一得出， 再根据含30度的直角三角形的性质得出，进而可得出结论．【详解】（1）解： ，，，平分，，， ，；（2）是等边三角形，理由：，，， 在中，，，，是等边三角形．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．12．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．  (1)证明：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用等边对等角可证得；（2）过点F作于，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴；（2）解：过点F作于，    ∵，∴，∴，又∵，∴由三线合一得，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．13．（2023上·山东日照·八年级校考期中）如图,为等边三角形,,相交于点,于,,．(1)求证:;(2)求的度数;(3)求的长．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】本题考查全等三角形判定及性质,等边三角形性质,含30°角的直角三角形三边关系．（1）根据证明即可,（2）根据全等三角形性质得出,继而得到本题答案,（3）根据含角的直角三角形三边关系即可得到本题答案．【详解】（1）解:证明:∵为等边三角形,∴,,在和中,,∴,（2）解:由（1）知,∴,,∴,故答案为:．（3）解:∵,,∴,∴,∴．14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点．  (1)如图1，若分别为的中点，求证：(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】本题考查了三角形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到，再根据角对的直角边是斜边的一半即可证明；（2）根据等边三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理即可证明；（3）连接，由，可得、、、四点共圆，即有，再用30度角所对的边等于斜边的一半求解即可．【详解】（1）证明：∵为等边三角形，分别为的中点，∴，，∴，在中，，，∴，∵，∴，即．（2）证明：∵为等边三角形,∴，，在和中， ，∴，∴，∵，∴，∴．（3）连接，如图，是等边三角形，，，，，即，在和中，，；，，，、、、四点共圆，，，在中，，，15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，．(1)求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点是外一点，连接，，，且平分，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据，得到，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论；（2）过点D作，交于点H，根据已知证明为等边三角形，再证明，即可得出结论；（3）过点作于点，过点作的延长线于点，先证明，再证明，推出，设，则，建立关于m的一元一次方程，求出m即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）证明：过点D作，交于点H，，，为等边三角形；，，,为等边三角形；，由（1）知，，，在与中，，； ，；（3）解：过点作于点，过点作的延长线于点，平分，，，，，；，，由（2）知为等边三角形，，；，，，，，，，，，；设，则，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键．16．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．(1)如图1，若，则的度数为________；(2)【初步探究】如图2，若，连接，求的度数；(3)【简单应用】将图1中的等边绕点顺时针旋转（如图3），连接，若，则的度数为________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）证明得到，由三角形外角的定义及性质得出，推出，最后由三角形内角和定理计算即可；（2）证明得到，由三角形外角的定义及性质得出，推出，由三角形内角和定理计算出，作于，于，证明出平分，由此即可得出，此题得解；（3）证明得到，由三角形内角和定理得出，最后由进行计算即可．【详解】（1）解：，，即，在和中，，，，，，即，，，故答案为：；（2）解：，，即，在和中，，，，，，即，，，如图，作于，于，，，，，，，，，，平分，；（3）解：，，即，在和中，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．