北师大版数学七年级下册同步讲义第五章第01讲 轴对称图形与轴对称的性质(9类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版）

这是一份北师大版数学七年级下册同步讲义第五章第01讲 轴对称图形与轴对称的性质(9类热点题型讲练)（2份，原卷版+解析版），文件包含北师大版数学七年级下册同步讲义第五章第01讲轴对称图形与轴对称的性质9类热点题型讲练原卷版docx、北师大版数学七年级下册同步讲义第五章第01讲轴对称图形与轴对称的性质9类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
第01讲 轴对称图形与轴对称的性质(9类热点题型讲练)1.掌握对称轴的画法及条数的确定，体会轴对称在生活中的应用及其丰富的文化价值；2.掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的概念；3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.4.理解轴对称的性质；掌握轴对称性质的综合应用；并认识轴对称中的对应线段、对应角.知识点01 轴对称 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2.轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.知识点02 轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．知识点03 轴对称与轴对称图形的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．知识点04 轴对称图形的性质性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.题型01 轴对称图形的识别【例题】（2024·广东湛江·一模）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此逐项判定即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【变式训练】1．（2024·山西大同·一模）“二十四节气”是根据太阳在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形．根据轴对称的定义判定即可．【详解】解：A．选项中的图案不是轴对称图形，故选项A不符合题意；B． 选项中的图案是轴对称图形，故选项B符合题意；C． 选项中的图案不是轴对称图形，故选项C不符合题意；D． 选项中的图案不是轴对称图形，故选项D不符合题意；故选：B．2．（2024·浙江杭州·模拟预测）“天有日月，道分阴阳”，从古至今，中国人一直都在追求对称美．中国传统图形比较注重于对称，其集中体现在文字和建筑、绘画上，下列图形、文字为轴对称图形的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：C．题型02 画对称轴【例题】（22-23八年级上·江西赣州·期中）用三角尺分别画出下列图形的对称轴．【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的性质作图即可求解．【详解】解：图①、图②、图③、图④即为所求．【变式训练】1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，画出它们各自的对称轴．  【答案】见解析【分析】根据几何图形的特征分别作出它们的对称轴．【详解】如图，  【点睛】本题考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握对称轴的定义是解题的关键．2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴．【答案】图①②④⑤⑥是轴对称图形，见解析【分析】本题考查了轴对称图形；根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴”，进行判断并画图即可．【详解】解：图①②④⑤⑥是轴对称图形，对称轴如图所示：题型03 求对称轴条数【例题】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，先判定是等边三角形，后确定对称轴条数即可．【详解】根据题意，得对称轴的条数为3条，故选C．【变式训练】1．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（    ）A．等边三角形 B．正方形 C．正八边形 D．圆【答案】A【分析】本题考查了轴对称的知识，解答本题的关键是分别得出各选项图形的对称轴的条数．【详解】解：等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正八边形有8条对称轴，圆有无数条对称轴，∴对称轴条数最少的是等边三角形，故选A．2．（23-24八年级上·北京平谷·期末）下列图形都是轴对称图形，其中恰有2条对称轴的图形是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠直线两旁的部分完全重合．根据轴对称图形的定义判定即可．【详解】解：A、对称轴是3条，本选项不符合题意；B、对称轴是4条，本选项符合题意；C、对称轴是2条，本选项不符合题意；D、对称轴是6条，本选项不符合题意；故选：C．题型04 成轴对称的两个图形的识别【例题】（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ）A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】B【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可．【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称，故选：B．【变式训练】1．（23-24八年级上·天津和平·期中）下列说法中，正确的个数是（   ）（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质逐个进行判断即可．【详解】解：（1）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故（1）不正确，不符合题意；（2）轴对称图形的对称轴是一条直线，故（2）不正确，不符合题意；（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，故（3）正确，符合题意；（4）全等的两个图形不一定成轴对称，故（4）不正确，不符合题意；（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言，故（5）正确，符合题意；综上：正确的有（3）（5），共2个，故选：B．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）下列同类型的每个网格中均有两个三角形，其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称直接判断即可得到答案；【详解】解：由图形可得，A选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，B选项图形中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到，C选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，D选项图形中一个三角形不可以由另一个进行轴对称变换得到，故选：B；【点睛】本题考查轴对称的定义：将两个物体沿一条直线对折完全重合是轴对称．题型05 根据成轴对称图形的特征进行判断【例题】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与△关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②； ③中，正确的有（　　）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【分析】本题考查了轴对称的性质与运用等知识点，根据轴对称的性质对各选项分析判断后求解即可，熟记轴对称的性质是解题的关键．【详解】∵与关于直线对称，∴ ，，故②③正确，∴，故①正确，∴正确的一共有3个，故选：A．【变式训练】1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）  A． B．l垂直平分 C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可．【详解】解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，，∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；故选：D．2．（23-24八年级上·福建莆田·期中）与关于直线对称，在上，下列结论中错误的是（    ）  A．是等腰三角形 B．垂直平分，C．与面积相等 D．直线，的交点不在上【答案】D【分析】本题考查轴对称的性质与运用，轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，据此解答即可．【详解】解：A、∵与关于直线对称，在上，∴是的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形，故该选项正确；B、∵与关于直线对称，∴，是对应点连线，∴垂直平分，，故该选项正确；C、∵与关于直线对称，∴与面积相等，故该选项正确；D、∵直线，关于直线对称，∴直线，的交点在上，故该选项错误；故选：D．题型06 根据成轴对称图形的特征进行求解【例题】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．(1)图中点的对应点是点______，的对应边是______；(2)若，，求的度数．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算．（1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可．（2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题．【详解】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是，故答案为：，．（2）解：，，，．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，与关于直线对称，其中，，，．(1)你认为点与点有何关系？连接，则线段与直线有何关系？(2)求的度数；(3)求的周长和面积．【答案】(1)点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分(2)(3)12cm，【分析】本题考查成轴对称的性质．（1）根据成轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，作答即可；（2）根据对应角相等，作答即可；（3）根据对应边相等，进行求解即可．掌握成轴对称的性质，是解题的关键．【详解】（1）解：点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分．（2）因为与关于直线对称，所以，所以，因为，所以．（3）因为与关于直线对称，所以，所以，，因为，，所以，，又因为，所以的周长．因为，所以的面积．2．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，．(1)线段与的关系是什么？(2)求的度数；(3)求的周长【答案】(1)垂直平分(2)(3)【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键．（1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可；（2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可；（3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可．【详解】（1）解：∵与关于直线对称，∴垂直平分；（2）解：∵与关于直线对称，∴，∴；（3）解：∵与关于直线对称，∴，∵，∴，∴的周长．题型07 台球桌面上的对称轴问题【例题】（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．  【答案】【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：【变式训练】1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是 点．【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是根据轴对称的性质找到使入射角等于反射角相等的点．【详解】解：如图，根据轴对称的性质可知，可以反弹击中球的是D点，故选：D．题型08 轴对称中的光线反射问题【例题】（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：如图，∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，∴，∵，∴，∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．故选：A．【变式训练】1．（22-23九年级下·河北保定·阶段练习）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（    ）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．【详解】根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示：根据图形可以看出是反射光线，故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，根据轴对称的性质得相等的角是补全光线的关键．2．（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ．【答案】【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ．故答案为：．【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．题型09 折叠问题【例题】（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图，长方形纸片，点分别在边上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线的处，得到折痕．(1)若 ，的余角有 ；(2)若 ，说明理由．【答案】(1)；和；(2)【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，掌握几何图形中角的和差计算是解题的关键．（1）根据折叠可以得到，，然后求出可以得到的度数，然后得到的余角即可；（2）根据折叠可以得到，，然后根据角的和差得到结论即可．【详解】（1）解：由折叠可得：，，∴，∴，∴，∴的余角有和；（2）解：，理由为：由折叠可得：，，∴【变式训练】1．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）有一条长方形纸带，将纸带沿折叠，如图所示，则折叠后的度数是 .【答案】/150度【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．由平行得，求出，进而求出结论．【详解】解：由题意得：，，，，，，故答案为：．2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在上取一点O，以为折痕翻折纸片，点B落在点，以为折痕翻折纸片，点A落在点，分别连接．(1)根据题意，____________，____________．(2)记．①如图1，若点恰好落在上，求的度数．②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点在的外侧，求的度数（用含有的代数式表示）．③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点在的内部，求的度数（用含有的代数式表示）．【答案】(1)，；(2)①；②，③．【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，平角的定义，熟记轴对称的性质是解本题的关键；（1）由轴对称的性质可得答案；（2）①由，，结合，可得，从而可得答案；②由，，可得；③由，，结合，可得答案．【详解】（1）解：由折叠可得：，；（2）①如图，由折叠可得：，，又，，，②如图，∵，∴，，∴；③如图，∵，∴，，∴，∴．一、单选题1．（2023·甘肃定西·二模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列简图中，不是轴对称图形的是（    ）A．B． C．D．【答案】C【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选：C．2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（    ）  A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【答案】B【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：  该球最后落入2号袋．故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．3．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．【详解】解：和关于直线对称，，故①正确，和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，，故②正确；和关于直线对称，线段、、被直线垂直平分，直线垂直平分，故③正确；和关于直线对称，线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，∴正确的有①②③，故选：A．4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，射线与射线平行，点在射线上，，（为常数，且），为射线上的一动点（不包括端点），将沿翻折得到，连接，则最大时，的度数为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质．由于为定值，所以当点在上时，点到点的距离最大，即可求出答案．【详解】解：，，，由折叠性质知，，的长度为定值，当点在上时，点到点的距离最大，如图，由折叠知，，，，故选：D．5．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ）A．与互余 B． C．与互补 D．平分【答案】D【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断．【详解】解：根据折叠的性质可知，，，∵，∴，即，故A不符合题意；∴，故B不符合题意，D符合题意；∵，故C不符合题意．故选：D．二、填空题6．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）某车标是一个轴对称图形，有 条对称轴【答案】3【分析】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断．根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可．【详解】解：如图，  此车标有3条对称轴．故答案为：3．7．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．则的度数是 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，可得，根据三角形的外角性质可得，进而得到，再利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】由折叠得：，，，，，，，故答案为：．8．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，则的周长是 ．【答案】10【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点到对应点的距离相等．根据轴对称的性质得出，，即可解答．【详解】解：∵点、关于对称，点、关于对称，∴，，∵，∴的周长，故答案为：10．9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点，若，，，的面积为2，则的长为 .  【答案】1【分析】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，求出的面积的解题的关键．根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：∵，的面积为2，∴，∴，由翻折可知，，，∴，，∴，∴，∴．故答案为：1．10．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）有一无弹性细线，拉直时测得细线 长为 ，现进行如下操作：1． 在细线上任取一点；2． 将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ；3．将细线折叠，使点 与点 重合，记折点为点 ． 继续进行折叠，使点 与点 重合，并把 点和与其重叠的 点处的细线剪开，使细线分成长为 的三段，当 ，则细线未剪开时 的长为 ．【答案】2或/6或2【分析】本题主要考查了线段中点的计算，根据条件得出线段之间的关系式是解题的关键．根据条件得到，分两种情况：当时以及当时讨论即可．【详解】解：，细线剪开后分成三段，，当时，，，，，，；当时，，，，，，．故答案为：或．三、解答题11．（23-24六年级上·黑龙江大庆·阶段练习）画出下列图形中所有的对称轴  【答案】见解析【分析】根据对称轴的定义解答即可．【详解】解：如图，  【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．12．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？(1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）；(2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤；(3)请根据画法证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了学生利用轴对称求最短路径，（1）利用轴对称求最短路线的方法即可得出；（2）作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求；（3）根据轴对称的性质可得，根据两点之间，线段最短即可证明．【详解】（1）解：（2）解：作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求．（3）证明：∵A点关于直线的对称点是，∴，∴（两点之间，线段最短）13．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．  (1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？(2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？(3)连接，线段与直线有怎样的关系？【答案】(1)与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到(2)点关于直线的对称点一定在内(3)线段被直线垂直平分【分析】本题考查轴对称、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．（1）根据轴对称的性质即可得出答案，全等三角形不一定是轴对称图形，画出反例图形即可；（2）画图予以说明即可；（3）运用轴对称的性质即可得出答案．【详解】（1）解：与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到，这要看这两个三角形的位置关系，理由如下：是由经轴对称变换得到的，，如图，，但和不是轴对称的关系，  ；（2）解：点、点关于直线的对称点分别是点、点；如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内，如图，  ；（3）解：线段被直线垂直平分，理由如下：如图，设直线交直线于，  ，与关于直线对称，点，是对称点，将沿直线折叠后，点与点重合，则有，，线段被直线垂直平分．14．（23-24七年级下·全国·课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．  (1)若，请你求出图③中的度数；(2)若，请你直接用含α的式子表示图③中的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠额性质：（1）在图①中先由两直线平行，内错角线段得到，则由平角的定义可得，再在图②中求出，进而在图③中得到，则．（2）仿照（1）求解即可．【详解】（1）解：在图①中，∵，，∴，∴，在图②中，，在图③中，由折叠的性质得：，∴，（2）解：在图①中，∵，，∴，∴，在图②中，，在图③中，由折叠的性质得：，∴，15．（21-22七年级下·贵州六盘水·期末）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．(1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ；(2)若，，则的长为 ；(3)若，，求的度数．【答案】(1)E，(2)3(3)【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性：（1）观察图形可直接得出答案；（2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解；（3）根据，，推出，根据对称性得到，推出．【详解】（1）解：∵和关于直线对称，∴图中点C的对应点是点E，的对应角是；故答案为：E，．（2）解：∵和关于直线对称，∴，∴，∵，∴．故答案为：3．（3）解：∵，，∴，根据对称性知，，∴．16．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．  (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．①若，则是什么特殊三角形？为什么？②若，试判断与的数量关系，并说明理由；(2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析(2)的最小值为5．【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系；（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值．【详解】（1）解：①是等边三角形，∵点P关于对称的点为G，∴，，同理，，∴，∵，∴，∴是等边三角形．②，当时，，∴G、O、H在同一直线上，．∵，∴；（2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，  ∴ 最小值为．∵，，∴．∵，，∴，∴，∴．∵点Q与关于对称，∴，∴，∴是等边三角形，∴，即的最小值为5．【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．