新高考数学考前考点冲刺精练卷62《事件的相互独立性与条件概率》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
若P(A|B)＝eq \f(1,9)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(AB)的值是( )
A.eq \f(1,27) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,4)
【答案解析】答案为：A
解析：由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝eq \f(1,9)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).
已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )
A.eq \f(1,100) B.eq \f(1,60) C.eq \f(1,50) D.eq \f(1,30)
【答案解析】答案为：B
解析：设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，则P(A1)＝eq \f(2,3)，P(A2)＝eq \f(1,3)，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq \f(2,3)×0.02＋eq \f(1,3)×0.01＝eq \f(1,60).
某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示.公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位.记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
【答案解析】答案为：D
解析：根据条件概率的计算公式可得，P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq \f(3,5).
对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
【答案解析】答案为：D
解析：记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A))＝eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AB)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A)))＝eq \f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq \f(2,3).
某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(3,10) C.eq \f(3,11) D.eq \f(3,5)
【答案解析】答案为：A
解析：设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)＝＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,5)C\\al(2,4)－C\\al(3,4)C\\al(2,3))＝eq \f(18,48)＝eq \f(3,8).
已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( )
A.eq \f(10,11) B.eq \f(20,21) C.eq \f(11,21) D.eq \f(1,12)
【答案解析】答案为：B
解析：设A表示“男子”，B表示“女子”，C表示“这人有色盲”，则P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.002 5，P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，
可得P(A|C)＝eq \f(PAPC|A,PAPC|A＋PBPC|B)＝eq \f(0.05×0.5,0.5×0.05＋0.5×0.002 5)＝eq \f(20,21).
某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为( )
C.0.5 D.0
【答案解析】答案为：A
解析：用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，用eq \x\t(B)表示“考生不知道正确答案”，则P(B)＝0.5，P(eq \x\t(B))＝0.5，P(A|B)＝100%，P(A|eq \x\t(B))＝0.25，则P(A)＝P(AB)＋P(Aeq \x\t(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq \x\t(B))P(eq \x\t(B))＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.
从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为eq \f(1,3)，视力合格的概率为eq \f(1,6)，其他几项标准合格的概率为eq \f(1,5)，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( )
A.eq \f(4,9) B.eq \f(1,90) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,9)
【答案解析】答案为：B
解析：各项均合格的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,90).
某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是( )
2 8 4 4
【答案解析】答案为：B
解析：4个都不亮的概率为(1﹣0.8)4＝0.001 6，只有1个亮的概率为4×0.8×(1﹣0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1﹣0.001 6﹣0.025 6＝0.972 8.
某道数学试题含有两问，当第一问正确做答时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )
B.0.8 C.0.9 D.0.2
【答案解析】答案为：C
解析：做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为0.72，设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.72,0.8)＝0.9.
二、多选题
(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件B＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
【答案解析】答案为：CD
解析：在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)，P(MN)＝eq \f(1,4)，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.
(多选)有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )
A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B.任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为eq \f(2,7)
D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为eq \f(2,7)
【答案解析】答案为：BC
解析：记Ai为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为次品”，
则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，对于A，即P(A1B)＝P(A1)·P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，A错误；
对于B，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，B正确；
对于C，P(A2|B)＝eq \f(PA2·PB|A2,PB)＝eq \f(0.3×0.05,0.052 5)＝eq \f(2,7)，C正确；
对于D，P(A3|B)＝eq \f(PA3·PB|A3,PB)＝eq \f(0.45×0.05,0.052 5)＝eq \f(3,7)，D错误.
三、填空题
冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便.研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.每个环节生产合格的概率均为eq \f(2,3)，且各生产环节相互独立.则成功生产出质量合格的发热膜的概率为________.
【答案解析】答案为：eq \f(8,27)
解析：由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜的三个环节都必须合格，∴成功生产出质量合格的发热膜的概率为P＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27).
某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________.
【答案解析】答案为：0.7
解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得：P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.
四、解答题
溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为eq \f(2,3)，乙队每人回答问题的正确率分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
【答案解析】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B.
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率
P(B)＝eq \f(2,3)×(1﹣eq \f(2,3))×＋(1﹣eq \f(2,3))×eq \f(2,3)×(1﹣eq \f(2,3))＋(1﹣eq \f(2,3))×(1﹣eq \f(2,3))×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9).故甲队总得分为3分与1分的概率分别为eq \f(8,27)，eq \f(2,9).
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D.
甲队得2分，即甲队三人中有2人回答正确，1人回答错误，
则P(C)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×(1﹣eq \f(2,3))＋eq \f(2,3)×(1﹣eq \f(2,3))×eq \f(2,3)＋(1﹣eq \f(2,3))×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，
乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(D)＝eq \f(1,2)×(1﹣eq \f(2,3))×(1﹣eq \f(3,4))＋(1﹣eq \f(1,2))×eq \f(2,3)×(1﹣eq \f(3,4))＋(1﹣eq \f(1,2))×(1﹣eq \f(2,3))×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
由题意得事件C与事件D相互独立，
则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝eq \f(4,9)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,9).
“西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为eq \f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；
(2)求甲队得2分乙队得1分的概率.
【答案解析】解：(1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率P(A)＝(1﹣eq \f(2,3))3＝eq \f(1,27)；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，
其概率P(B)＝3×(eq \f(2,3))2(1﹣eq \f(2,3))＝eq \f(4,9).
(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D，事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则P(C)＝(1﹣eq \f(2,3))×eq \f(2,3)×(1﹣eq \f(1,2))＋eq \f(2,3)×(1﹣eq \f(2,3))×(1﹣eq \f(1,2))＋(1﹣eq \f(2,3))×(1﹣eq \f(2,3))×eq \f(1,2)＝eq \f(5,18)，
甲队得2分乙队得1分即事件B，C同时发生，
则P(D)＝P(B)P(C)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,18)＝eq \f(10,81).
两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.
【答案解析】解：设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i＝1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”.
(1)P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)
＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)
＝eq \f(2,3)×(1﹣0.03)＋eq \f(1,3)×(1﹣0.02)≈0.973.
(2)P(A2|B)＝＝
＝eq \f(\f(1,3)×0.02,\f(2,3)×0.03＋\f(1,3)×0.02)＝0.25.
甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；
②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出.
已知每次甲回答正确的概率为eq \f(3,4)，乙回答正确的概率为eq \f(2,3)，丙回答正确的概率为eq \f(1,2)，三个人回答每个问题相互独立.
(1)求一轮中三人全部回答正确的概率；
(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；
(3)记Pn为甲在第n轮胜出的概率，Qn为乙在第n轮胜出的概率，求Pn与Qn，并比较Pn与Qn的大小.
【答案解析】解：(1)设“一轮中三人全部回答正确”为事件M，
则P(M)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
(2)甲在第一轮胜出的概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,4).
甲在第二轮胜出，说明第一轮、第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误，
故甲在第二轮胜出的概率为eq \f(1,4)×(eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4))×eq \f(1,2)＝(eq \f(1,4))2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,32).
同理，甲在第三轮胜出的概率为eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝(eq \f(1,4))3×eq \f(1,2)＝eq \f(1,128).
(3)由(2)知P1＝eq \f(1,4)，P2＝(eq \f(1,4))2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,32)，P3＝(eq \f(1,4))3×eq \f(1,2)＝eq \f(1,128).
由题意得
P4＝(eq \f(1,4))3×P1＝(eq \f(1,4))3×eq \f(1,4)＝(eq \f(1,4))4，
P5＝(eq \f(1,4))3×P2＝(eq \f(1,4))5×eq \f(1,2)，
P6＝(eq \f(1,4))3×P3＝(eq \f(1,4))6×eq \f(1,2)，
P7＝(eq \f(1,4))6×P1＝(eq \f(1,4))7，….
所以当n＝3k(k∈N*)时，Pn＝(eq \f(1,4))n×eq \f(1,2)；
当n＝3k＋1(k∈N*)时，Pn＝(eq \f(1,4))n；
当n＝3k＋2(k∈N*)时，Pn＝(eq \f(1,4))n×eq \f(1,2).
同理可得当n＝3k(k∈N*)时，Qn＝(eq \f(1,4))n×eq \f(1,4)；
当n＝3k＋1(k∈N*)时，Qn＝(eq \f(1,4))n；
当n＝3k＋2(k∈N*)时，Qn＝(eq \f(1,4))n﹣1×eq \f(1,3).
所以当n＝3k(k∈N*)时，Pn>Qn；
当n＝3k＋1(k∈N*)时，Pn＝Qn；
当n＝3k＋2(k∈N*)时，Pn