高考数学一轮复习考点探究与题型突破第60讲事件的相互独立性与条件概率(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第60讲事件的相互独立性与条件概率(原卷版+解析)，共12页。试卷主要包含了相互独立事件，条件概率，全概率公式，4，0，5%×0等内容，欢迎下载使用。

1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.
考点1 相互独立事件的概率
[名师点睛]
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
[典例]
1.(2023·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
2.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
[举一反三]
1.(2023·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq \f(1,3)，投中壶耳的概率为eq \f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为( )
A.eq \f(13,75) B.eq \f(3,75) C.eq \f(8,15) D.eq \f(8,75)
2.(2023·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为eq \f(1,2).
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
考点2 条件概率
[名师点睛]
求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(2)样本点法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
[典例]
1.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
2.(多选)(2023·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
[举一反三]
1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
2.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
考点3 全概率公式的应用
[名师点睛]
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
[典例]
甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.
[举一反三]
1.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( )
A.eq \f(10,11) B.eq \f(20,21) C.eq \f(11,21) D.eq \f(1,12)
2.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰胡芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．
第60讲 事件的相互独立性与条件概率
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.
考点1 相互独立事件的概率
[名师点睛]
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
[典例]
1.(2023·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
答案 B
解析 事件甲发生的概率P(甲)＝eq \f(1,6)，事件乙发生的概率P(乙)＝eq \f(1,6)，事件丙发生的概率P(丙)＝eq \f(5,6×6)＝eq \f(5,36)，事件丁发生的概率P(丁)＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6).事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．
2.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
答案 BD
解析 易知A1，A2，A3是两两互斥的事件，
P(B|A1)＝eq \f(PBA1,PA1)＝eq \f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq \f(5,11)，
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq \f(5,10)×eq \f(5,11)＋eq \f(2,10)×eq \f(4,11)＋eq \f(3,10)×eq \f(4,11)＝eq \f(9,22).
[举一反三]
1.(2023·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq \f(1,3)，投中壶耳的概率为eq \f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为( )
A.eq \f(13,75) B.eq \f(3,75) C.eq \f(8,15) D.eq \f(8,75)
答案 A
解析 由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，
其概率为P1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,15)；
(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，
其概率为P2＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＝eq \f(8,75)，所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝eq \f(1,15)＋eq \f(8,75)＝eq \f(13,75).
2.(2023·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为eq \f(1,2).
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
解 (1)甲连胜四场的概率为eq \f(1,16).
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为eq \f(1,16)；乙连胜四场的概率为eq \f(1,16)；
丙上场后连胜三场的概率为eq \f(1,8).
所以需要进行第五场比赛的概率为
1－eq \f(1,16)－eq \f(1,16)－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4).
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq \f(1,8)；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为eq \f(1,16)，eq \f(1,8)，eq \f(1,8).
因此丙最终获胜的概率为
eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝eq \f(7,16).
考点2 条件概率
[名师点睛]
求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(2)样本点法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
[典例]
1.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
答案 D
解析 根据条件概率的计算公式可得，
P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq \f(3,5).
2.(多选)(2023·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
答案 ABC
解析 P(A)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,5))＝eq \f(3,5)，故A正确；
P(AB)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故B正确；
P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2)，故C正确；
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)＝1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，
P(eq \x\t(A)B)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，
P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(P\x\t(A)B,P\x\t(A))＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4)，故D错误．
[举一反三]
1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
答案 B
解析 设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，P(AB)＝eq \f(2×3,10×9)＝eq \f(1,15)，
故P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(1,3).
2.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(AB)＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15)，
则P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq \f(2,3).
考点3 全概率公式的应用
[名师点睛]
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
[典例]
甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率.
解 设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).
为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，
i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互独立，
则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，
故P(A1)＝P(H1eq \(H,\s\up6(－))2eq \(H,\s\up6(－))3＋eq \(H,\s\up6(－))1H2eq \(H,\s\up6(－))3＋eq \(H,\s\up6(－))1eq \(H,\s\up6(－))2H3)
＝P(H1)P(eq \(H,\s\up6(－))2)P(eq \(H,\s\up6(－))3)＋P(eq \(H,\s\up6(－))1)P(H2)·P(eq \(H,\s\up6(－))3)＋P(eq \(H,\s\up6(－))1)P(eq \(H,\s\up6(－))2)P(H3)＝0.36，
P(A2)＝P(H1H2eq \(H,\s\up6(－))3＋H1eq \(H,\s\up6(－))2H3＋eq \(H,\s\up6(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq \(H,\s\up6(－))3)＋P(H1)P(eq \(H,\s\up6(－))2)P(H3)＋P(eq \(H,\s\up6(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41，
P(A3)＝P(H1H2H3)
＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.
于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，
即飞机被击落的概率为0.458.
[举一反三]
1.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( )
A.eq \f(10,11) B.eq \f(20,21)
C.eq \f(11,21) D.eq \f(1,12)
答案 B
解析 设A表示“男子”，B表示“女子”，C表示“这人有色盲”，
则P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.002 5，P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，
可得P(A|C)＝eq \f(PAPC|A,PAPC|A＋PBPC|B)＝eq \f(0.05×0.5,0.5×0.05＋0.5×0.002 5)＝eq \f(20,21).
2.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰胡芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20～80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．
答案 0.482 5
解析 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)
＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.