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    4.2 指数函数(精练)(解析版)2024-2025学年高一数学必修第一册(人教版)同步讲练

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    数学第一册上册指数函数课后测评

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    这是一份数学第一册上册指数函数课后测评,共20页。
    A.B.
    C.D.
    【答案】AD
    【解析】形如(且)形式的为指数函数,以上满足的条件的为AD.故选:AD.
    2.(2023·全国·高一假期作业)(多选)下列函数是指数函数的是( )
    A.B.C.D.且
    【答案】AD
    【解析】由指数函数的定义知,A、D选项是指数函数.
    选项B:,不是指数函数.
    选项C:不是指数函数.
    故选:AD.
    3.(2023春·湖南长沙 )已知的值域为,则x的取值范围可以为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】令,则,
    由题知,,解得或,
    即或,解得或.
    故选:D
    4.(2023·北京)已知函数,若,则( )
    A.4B.6C.D.
    【答案】B
    【解析】,设,则,即是奇函数,
    故,即,即,
    因为,所以.
    故选:B.
    5.(2023秋·河南许昌)若函数在区间上的最大值比最小值大4,则( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】C
    【解析】∵在R上单调递增,∴在 上单调递增,
    ∴当x=2时,取得最小值为4;当x=a时,取得最大值为 ,
    ∴,解得:a=3.
    故选:C.
    6.(2023秋·安徽滁州·高一校考期末)函数的大致图象是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】因为
    又,根据指数函数的性质知,时,函数为增函数,排除B、D;
    时,函数为减函数,排除A.故选:C.
    7.(2023秋·福建南平)函数的图象大致为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以,定义域为;
    因为,所以,
    故,所以为奇函数,排除B,
    当逼近于,逼近于,排除D,
    由,,则,排除C,
    故选:A.
    8.(2023春·江西南昌)已知曲线且过定点,若且,则的最小值为( )
    A.9B.C.D.
    【答案】C
    【解析】曲线且中,由,得,因此该曲线过定点,
    即,于是,又,
    因此,当且仅当,即时取等号,
    所以的最小值为16.
    故选:C
    9.(2023·全国·高一专题练习)函数的图象大致是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】定义域为,且,
    即为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除B、D;
    当时,,所以,故排除C;
    故选:A
    10.(2023·全国·高一假期作业)函数()的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】当时,,因此,且函数在上单调递增,故A、B均不符合;
    当 时,,因此,且函数在上单调递减,故C符合,D不符合.
    故选:C.
    11(2023春·新疆和田·高一校考阶段练习)下列大小关系正确的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】对于A,函数在R上单调递增,则,A错误;
    对于B,函数在R上单调递增,则,
    函数在R上单调递减,则,因此,B错误;
    对于C,函数在R上单调递增,则,C正确;
    对于D,函数在R上单调递减,则,D错误.
    故选:C
    12.(2023秋·广东肇庆·高一校考开学考试)已知,,,,则a、b、c的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,,,,且在上递增,,,故选:A
    13.(2022秋·山东 )已知,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由单调递增,则可知,即B正确.
    故选:B.
    14.(2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习)已知偶函数在上单调递增,若,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】因为偶函数在上单调递增,所以在上单调递减.
    ,所以只需比较的大小即可.
    因为,所以,即.
    又因为,所以,即,故.
    而在上单调递减,所以,即.
    故选:B.
    15.(2023春·宁夏石嘴山 )函数的单调递增区间为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】令,则,因为为单调递减函数,
    且函数是开口向上对称轴为轴的抛物线,
    所以的单调递减区间为,
    所以函数的单调递增区间为.
    故选:A.
    16.(2023秋·陕西 )已知函数在区间上单调递减,则a的最小值为( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】D
    【解析】令,因为是增函数,
    所以在区间上单调递减,
    所以,解得,所以的最小值为.
    故选:D
    17.(2023·贵州毕节)已知,则“”是“函数在上单调递增”的( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】若函数在上单调递增,则,即,
    所以由推得出函数在上单调递增,即充分性成立,
    由函数在上单调递增推不出,即必要性不成立,
    所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
    故选:A
    18.(2023春·辽宁 )已知函数(且),若,则不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】因为函数定义域为,且,
    所以函数为偶函数,则,
    因为,则,即,所以,
    所以可以转化为,则,所以,故选:B.
    19.(2023秋·陕西咸阳 )已知函数若,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】得,
    当以及时,均为单调递增函数,且当时,当时,因此为上的单调递增函数,由得,
    故选:D
    20.(2023秋·河北衡水)(多选)已知,则函数的图象可能是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】由于当时,,排除B,C,
    当时,,此时函数图象对应的图形可能为A,
    当时,,此时函数图象对应的的图形可能为D.
    故选:AD.
    21.(2023春·甘肃白银 )(多选)已知函数(且)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )

    A.B.C.D.
    【答案】ABD
    【解析】由图象可知,函数(且)在上单调递增,则,
    且当时,,可得.
    对于A选项,,A对;
    对于B选项,,B对;
    对于C选项,,C错;
    对于D选项,由题意可知,,则,所以,,D对.
    故选:ABD.
    22.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围为 .
    【答案】
    【解析】令,由题意得的值域为,
    又的值域为,所以解得
    所以的取值范围为.
    故答案为:
    23.(2022秋·上海·高一期中)不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围为 .
    【答案】
    【解析】由题设,对任意恒成立,而,
    所以.故答案为:
    24.(2023秋·高一单元测试)若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
    【答案】
    【解析】
    当a>1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象,则由图可知1<2a<2,即<a<1,与a>1矛盾;
    当0<a<1时,同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象,则由图可知1<2a<2,即<a<1.综上可知,<a<1.
    故答案为:.
    25.(2023秋·高一单元测试)对且的所有正实数,函数的图象一定经过一定点,则该定点的坐标是 .
    【答案】
    【解析】由函数,当时,可得,
    所以该函数恒经过定点.故答案为:.
    26.(2023秋·安徽滁州)已知函数是上的增函数,则实数的取值范围是 .
    【答案】
    【解析】函数是上的增函数,
    所以,
    解得.
    故答案为:
    27.(2023秋·高一课时练习)比较下列各组数的大小:
    (1)与;
    (2),,;
    (3)与.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】(1),
    在上单调递减,又,,即.
    (2),,
    在上单调递增,又,,即.
    (3),,.
    28.(2023·全国·高一课堂例题)比较下列各题中两个值的大小:
    (1),;
    (2),;
    (3),.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】(1)因为,所以函数在其定义域上单调递减,
    又,所以;
    (2)方法一:在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象,
    如图所示,当时,由图象观察可得;

    方法二:构造幂函数(),
    则该函数是减函数,又,所以;
    (3)因为幂函数在上单调递增,
    且,所以,
    又根据指数函数在上是减函数,
    可得,所以.
    29.(2023秋·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试)已知函数的图象过原点,且无限接近直线但又不与该直线相交.
    (1)求该函数的解析式,并画出图象;
    (2)判断该函数的奇偶性和单调性;
    (3)求不等式的解.
    【答案】(1),图象见解析
    (2)偶函数,在上单调递减,在上单调递增.
    (3)
    【解析】(1)由题意知,则,故,
    ∴,图象如图:

    (2)∵,
    ∴,
    为偶函数,
    又,
    ∴在上单调递减,在上单调递增.
    (3)由(1)图象知:,即不等式的解集为
    1.(2023秋·浙江 )设,若函数为单调函数,且对任意实数,都有,则的值等于( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】对任意的,总有且,
    所以,
    又因为函数为单调函数,可得,即,
    可设(其中为常数),
    所以,
    所以 ,所以,所以,可得.
    故选:D.
    2.(2023春·河北 )已知,且,则下列各式一定成立的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】根据题意,,其定义域为,
    有,则为偶函数,
    设,则有,
    当时,在区间,上,为增函数,且,
    在,上也是增函数,
    故在,上为增函数,
    当时,在区间,上,为减函数,且,
    在上是减函数,
    故在,上为增函数,
    综合可得:函数在,上为增函数,
    依次分析选项:
    对于A,有,A正确;
    对于B,有,B错误;
    对于C,有,C错误;
    对于D,,D错误.
    故选:A.
    3.(2022秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中)已知函数,若,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】令,,
    所以为奇函数,不等式,
    等价于,
    即,因为为奇函数,
    所以,
    因为均为减函数,根据单调性的性质可知,为减函数,
    则,解得:
    故选:B
    4.(2023秋·河南)(多选)下列函数中既是奇函数又是增函数为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】BCD
    【解析】对于A,在和上为增函数,但在定义域上不是增函数,A错误;
    对于B,的定义域为,,
    为定义在上的奇函数;
    当时,,由二次函数性质知:在上单调递增;
    结合奇函数性质知:在上单调递增,
    是定义在上的增函数,B正确;
    对于C,的定义域为,,
    为定义在上的奇函数;
    在上单调递增,在上单调递减,
    是定义在上的增函数,C正确;
    对于D,定义域为,,
    为定义在上的奇函数;
    在上单调递增,且恒大于零,
    在上单调递减,
    在上单调递减,即为定义在上的增函数,D正确.
    故选:BCD.
    5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的值域为,则实数的取值范围是 .
    【答案】
    【解析】当时,在上单调递增,
    所以时,;
    当时,,
    ①若,则在上单调递增,在上单调递减,
    则时,,即时,,
    又时,,
    此时,函数的值域为,不满足题意,舍去;
    ②当时,函数此时值域为,不满足题意,舍去;
    ③当时,在上单调递减,
    则时,,即时,,
    因为函数的值域为,
    又时,;
    则时,且,
    不等式解得:,
    不等式等价于时,,
    设(),
    因为在上单调递增,在上是增函数,
    所以在上单调递增,又,
    所以时,等价于,即,
    则不等式解得:,
    所以时,的解集为,
    综上:实数的取值范围是,
    故答案为:.
    6.(2023春·浙江杭州 )已知函数,则使得成立的的取值范围是 .
    【答案】
    【解析】因为,则,
    令,则的图象是由的图象向右平移个单位得到,
    又,即为偶函数,
    且当时,所以在上单调递增,则在上单调递减,
    所以在上单调递增,在上单调递减,且关于对称,
    所以时,有,解得.
    故答案为:
    7.(2023春·重庆沙坪坝)已知函数且,若,,则实数的取值范围是 .
    【答案】或
    【解析】,
    若,由于单调递减,则在上单调递增;
    若,由于单调递增,则在上单调递减,
    又,故,
    故不等式对恒成立,
    即对恒成立,
    当时,对恒成立,
    由于对勾函数在单调递减,在单调递增,而当时,,
    当时,,因此;
    当时,对恒成立,当时,,得,
    综上可知:或,
    故答案为:或
    8.(2023·湖南)已知函数
    (1)解关于的不等式;
    (2)已知,当时,若对任意的,总存在,使成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为
    (2)
    【解析】(1)由题意,
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    当时,解得,
    当时,解得,
    当时,解得,
    综上,当时,不等式的解集为,
    当时,不等式的解集为
    (2)在中,
    当时,,
    ∵,
    ∴函数的值域是,
    在中,
    ∵对任意的,总存在,使成立,
    ∴的值域是的值域的子集,
    当时,,则,解得
    当时,,则,解得,
    当时,,不成立;
    综上,实数m的取值范围.
    9.(2023春·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习)已知定义域为的函数是奇函数且为减函数.
    (1)求实数的值;
    (2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】(1)因为为奇函数且定义域为,所以,所以,
    当时,,
    满足条件为奇函数,故.
    (2)
    为奇函数, ,
    又因为函数在上为减函数,
    所以对恒成立,
    则对恒成立,
    令,其图象对称轴为,开口向上,
    所以在上单调递增,故,
    故要使对恒成立,则,即.

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