浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高三上学期九月月考 数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高三上学期九月月考 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了已知向量，，若，则实数的值为，已知定义在上的奇函数满足，已知，则，已知函数，若，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷、考生须在答题卷上作答．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知a,b都是实数，那么“”是“a>b”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
4．已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）：．若该平台自媒体人的粉丝数（其中和分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（ ）
（1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0；
（2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04；
（3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8；
（4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135．
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．1B．2C．3D．4
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
7．现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（ ）
A．180B．240C．288D．300
8．已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到
10．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）

A．异面直线AE与BC所成的角为B．
C．平面平面CDED．直线AE与平面BDE所成的角为
11．已知长轴长、短轴长和焦距分别为和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（ ）
A．成等差数列B．成等比数列
C．椭圆的离心率D．的面积不小于的面积
第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 .
13．已知复数z满足，则的取值范围为 ．
14．定义：x表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则 ，
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知分别为三个内角的对边，且，．
(1)求及的面积S；
(2)若为边上一点，且，求的正弦值．
16．2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：．
18．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线交于两点.
（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；
（ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.
19．给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为
(1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由；
(2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；
(3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”．
1．A
【分析】化简集合，根据交集运算求解.
【详解】根据题意，得，
所以，
故选：A.
2．D
【详解】本小题主要考查充要条件相关知识．依题“>b”既不能推出“>b”；反之，由“>b”也不能推出“”．故“”是“>b”的既不充分也不必要条件．
3．A
【分析】利用给定条件，利用数量积的运算律求得，再利用数量积的坐标表示计算即得.
【详解】由，得，则，
因此，所以.
故选：A
4．D
【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期，然后利用函数的单调性即可求解.
【详解】∵为偶函数，
∴且的图象关于对称，

∵为奇函数，∴的图象关于对称，
∴为周期函数，，
∵有，∴在上单调性递减，
∴由的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：
∵，，，
∴，
故选：D.
5．B
【分析】对于（1），利用平均数的公式计算即可；对于（2），先计算出方差，开方得到标准差；对于（3），对数据从小到大排列，利用百分位数的定义进行求解；对于（4），计算出，利用正态分布的对称性得到相应的概率
【详解】对于（1），，正确；
对于（2），方差为，
故标准差为，错误；
对于（3），从小到大排序为，
，故从小到大，选择第3个数作为第25百分位数，即1.9，错误；
对于（4），，又，
故用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为，正确．
故选：B
6．ABD
【分析】AB选项，利用二项式定理得到通项公式，求出，；CD选项，赋值法得到，，，从而求出答案.
【详解】A选项，的通项公式为，
当时，，A正确；
B选项，当时，，B正确；
C选项，中，
令得，
令得，
故，C错误；
D选项，中，
令得，
又，
故，D正确.
故选：ABD
7．C
【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解.
【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎，
从左到右站位，分别为，
先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择，
再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择，
那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人，
此时共有种选择，
若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，
位置将固定排剩余2人，此时共有种选择，
若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，
位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择，
若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择，
综上，共有种排法.
故选：C
8．A
【分析】由题干条件得到，构造，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案.
【详解】的定义域为，根据对数函数的图象和性质可知，
当时，，当时，，
所以时得，
，当时，，单调递增，
又，所以，
令，则，
由解得，则
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，，即的最小值为.
故选：A.
9．AB
【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期；B选项，求出，从而得到在区间上是减函数；C选项，代入，得到，得到对称中心；D选项，利用左加右减，上加下减得到平移后的解析式，得到D错误.
【详解】A选项，，
故的最小正周期为，A正确；
B选项，时，，
由于在上单调递减，
故在区间上为减函数，B正确；
C选项，当时，，故，
所以关于中心对称，C错误；
D选项，的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到，D错误.
故选：AB
10．ABC
【分析】对于A，异面直线AE与BC所成的角转化为直线AE与AD所成角即可；
对于B，只需证明平面ACE即可；
对于C，需证平面CDE与平面CDE；
对于D，先证平面BEDF，故即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可.
【详解】因为，所以（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角，
又，所以，
即异面直线AE与BC所成的角为，A正确；
连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF，
根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且平面ABCD，
所以，又，，OE，平面ACE，
所以平面ACE，又平面ACE，所以，B正确；
由对称性可知，，所以四边形AFCE为平行四边形，
所以，又平面CDE，平面CDE，所以平面CDE，
同理平面CDE，又，AF，平面ABF，
所以平面平面CDE，C正确；
由，，得，在正方形ABCD中，，
又，所以平面BEDF，
所以即为直线AE与平面BDE所成的角，
设该八面体的棱长为2，则，
所以，所以，D错误.
故选：ABC.

11．BCD
【分析】AB选项，设出点的坐标，根据得到，故，A错误，B正确；C选项，根据，得到，计算出离心率；D选项，得到，，从而，D正确.
【详解】AB选项，不妨设，
则，
因为，所以，
故，即成等比数列，A错误，B正确；
C选项，因为，，所以，
方程两边同除以得，，
解得，负值舍去，C正确；
D选项，由于，
，
由于，故，即，
而，故，D正确.
故选：BCD
12．5
【分析】由条件求点到抛物线的准线的距离，结合抛物线定义可得结论.
【详解】抛物线的准线方程为，
设点的坐标为，则，
因为点到直线的距离为，
所以点到准线的距离为，
由抛物线定义可得.
故答案为：.
13．
【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可.
【详解】表示对应的点是单位圆上的点，
的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，
的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，
减去半径可得最小值，
所以最大距离为，最小距离为，
所以的取值范围为.
故答案为：.

14． 3
【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，
当时，，可得，，，即，
当时，，可得或，或，或1或2，即，
当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，
当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，
当时，函数在定义域上的值域为，
记中元素的个数为，设，则，，
所以，
则可得递推关系：，
所以,
当时，成立，则，则，
所以，
故答案为：3；
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系：，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前项和.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，进而由三角形面积公式求出答案；
（2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案.
【详解】（1）由余弦定理得，即，
故，解得或（舍去），
；
（2）因为，，
所以，
故，
在中，由余弦定理得，，
故.
16．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案；
（2）得到随机变量的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望.
【详解】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
，
，
，
，
，
则离散型随机变量的分布列为
所以数学期望.
17．(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）先求定义域，再求导，分，，和四种情况，求出函数的单调性；
（2）变形得到，构造，定义域为，求导，结合零点存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到的单调性和最小值，求出最小值.
【详解】（1）的定义域为，
故，
若时，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，若时，，故在上单调递增，
若时，，令得或，
令得，
故在，上单调递增，在上单调递减；
若时，，令得或，
令得，
故在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2），
即，
令，定义域为，
，其在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理得，存在唯一的，使得，
即，故，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
其中，
两边取对数得，故，
所以，证毕.
【点睛】关键点点睛：由导函数的单调性和零点存在性定理得到，存在唯一的，使得，故，并求出的最小值，证明出不等式.
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据椭圆离心率为，且过点可得；
（2）（i）由点差法可得，进而有；
（ii）联立可得，故由重心坐标公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分线上，根据其方程，可得，由在上进而可得.
【详解】（1）由题意，得，解得，
所以的方程为；
（2）依题意可设点，且，
（i）证明：因为点关于原点的对称点为，所以，
因为点在上，所以，所以，即，
因为直线的斜率为，直线的斜率为
所以，即为定值；
（ii）设弦的中点的坐标为，
点的坐标为的重心的坐标为，
由，得，
所以，且，
因为的重心在轴上，所以，
所以，
所以，
因为在上的投影向量相等，所以，且，
所以直线的方程为，
所以，
所以点，
又点在上，所以，
即
又因为，所以，所以直线的方程为.
19．(1)是“H数列”；理由见解析
(2)1，2，3，6；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“H数列”定义判断即可.
（2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解.
（3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”.
【详解】（1）因为，当时，，
当时，也成立，
所以，
对任意m，且，，
是“H数列”.
（2）因为 ，，，
所以，所以，
由已知得也为数列中的项，
令，即，
所以，所以d为6的正因数，
故d的所有可能值为1，2，3，6.
（3）设数列的公差为d，所以存在，对任意，，即，
当时，则，故，此时数列为“H数列”；
当时，，取，则，所以，，
当时，均为正整数，符合题意，
当时，均为正整数，符合题意，
所以，，
设，，，即，
所以任意m，且，，
显然，所以为数列中的项，
是“H数列”.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列定义问题.其中关键点是理解“H数列”定义，并与已学知识等差数列进行结合，利用等差数列的定义与求和公式，分情况讨论即可证明结论.
2
4
6
8
10