浙江省杭州第十四中学2024−2025学年高二上学期限时训练（一） 数学试卷（含解析）

这是一份浙江省杭州第十四中学2024−2025学年高二上学期限时训练（一） 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数z满足zi=3+2i， 则复数z(1－i)的虚部为（ ）
A．－5B．－5iC．－3D．－3i
2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：则这组数据的（ ）
A．众数是30B．分位数是30.5
C．极差是37D．中位数是43
4．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为( )
A．4B．3C．2D．1
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，，则在上的投影向量为
10．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（ ）
A．两人均获得满分的概率
B．两人至少一人获得满分的概率
C．两人恰好只有甲获得满分的概率
D．两人至多一人获得满分的概率
11．扎马钉（图1），是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．为正四面体的中心
C．
D．四面体的外接球表面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为 .
13．将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点 重合.
14．学校为了解学生身高(单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.

(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；
(3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17．已知点，直线和
(1)过点作的垂线，求垂足的坐标；
(2)过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程．
18．已知函数满足，且在上有最大值.
(1)求，的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知中，角，，的对边分别是，，，.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】由复数的运算法则求得复数z(1－i)，然后根据复数的定义得结论．
【详解】由已知，，其虚部为．
故选：A
2．【答案】B
【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底；
对于B中，假设共面，则存在，使得，
即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底；
对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底；
对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底.
故选：B.
3．【答案】B
【分析】由众数定义可判断A错误，将数据从小到大排列后根据中位数、极差、百分位数定义可判断CD错误，B正确.
【详解】根据题意可知，每个数出现的次数都是一次，即众数不是30，即A错误；
将这10个数据从小到大排列为；
易知为整数，所以分位数是第一个数与第二个数的平均值，即为，即B正确；
易知其极差为，即可得C错误；
中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，可得D错误.
故选：B
4．【答案】C
【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.
【详解】因为，所以，解得，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
5．【答案】A
【分析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】依题意，，
设平面的法向量，则，令，得，
则点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为.
故选：A
6．【答案】A
【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案.
【详解】，
则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，
即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，
即．
故选：A.
7．【答案】C
【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可
【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是.
故选C．
8．【答案】D
【分析】求出直线与直线过的定点，由得到两直线垂直，从而得到，由勾股定理得到，结合基本不等式求出最大值.
【详解】动直线经过定点，
动直线，即，
令，解得：，故直线过定点，
因为直线，
所以过定点的直线与定点的直线始终垂直，
又是两条直线的交点，
，
，
故（当且仅当时取“=”）.
故选：D.
9．【答案】ACD
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确；
对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；
对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确;
对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
10．【答案】ACD
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得.
【详解】设“甲获得满分”， “乙获得满分”，则,
对于A，“两人均获得满分”可表示为,因两人能否获得满分相互独立，
故, 即A正确；
对于B，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为 “两人都没获得满分”,
则“两人至少一人获得满分”的概率为：，故B错误；
对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为，其概率为：，故C正确；
对于D，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”，
则“两人至多一人获得满分”为：,故D正确.
故选：ACD .
11．【答案】AB
【分析】容易判断B；将图形还原成正四面体，取CD中点F， 进而证明平面ABF，然后判断A；设E为A在平面BCD上的投影，设出正四面体的棱长，进而根据勾股定理求出棱长，然后判断C；根据球的表面积公式可以判断D.
【详解】如图，正四面体ABCD，由题意，，则O为正四面体ABCD的中心，B正确；
设E为A在平面BCD上的投影，易知点E为三角形BCD的中心，连接CF交CD于F，则F为CD的中点，连接AF，则，而，所以平面ABF，所以.A正确；
设该正四面体棱长为，则，因为，，联立解得a=263.C错误；
易知该四面体外接球半径为1，则外接球的表面积为.
故选：AB.
12．【答案】
【分析】由，借助模长公式得出的长.
【详解】因为
所以
即
故答案为：
13．【答案】
【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.
【详解】已知点与点，可知线段的中点为，
且，则线段的中垂线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以所求点为.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案．
【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为，
其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，
则样本的平均数，
样本的方差，
用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为．
故答案为：．
15．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面；
（2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值；
【详解】（1）如图所示，连接．

因为，分别是棱，的中点，
所以，
因为，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，
平面,
所以，
又因为，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题中数据可得，，
，．
设平面的法向量为，
则
令，得．
因为，,
所以平面
平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则．
故，
即平面与平面的夹角的正弦值为．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数；
（2）由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数.
（3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【详解】（1）由直方图知：，可得，
∴500名志愿者中年龄在的人数为人.
（2）因为，，
所以第百分位数在区间内，若该数为，
∴，解得.
（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线的位置关系求方程，再联立求解交点坐标，
（2）设出点坐标，由中点表示点坐标，分别代入直线方程联立求解．
【详解】（1），即，
则，直线为，
即，联立方程，解得，故．
（2）不妨设，则，则，
解得，故直线过点和点，
故直线方程为，即．
18．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先代入，再利用基本不等式求最值，列式求得；
（2）求出的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可.
【详解】（1），，
，即，
，
在上有最大值.
，即，
由得，；
（2）由（1）得的解析式，
由题意得当，则只有当或时，才恒有意义，
当时，，等价为，
等价为的最大值，
易知的对称轴为，在上单调递增，
即，得，（舍去）；
当时，由得，
即，
设，对称轴为，
当时，，得，
当时，，得（舍）；
综上，的取值范围为.
19．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理得到，消去B后进行弦化切即可得到；
（2）利用面积公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理求出，即可求出周长的最小值.
【详解】（1）已知中，角，，的对边分别是，，，.
若，所以，整理得：，
整理得：，
解得.
（2）的平分线交于点，且，
利用三角形的面积：
所以，
整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以，解得，
所以周长的最小值为.