浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高二上学期限时训练(一)数学试卷(Word版附解析)
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1. 已知复数z满足zi=3+2i, 则复数z(1-i)的虚部为( )
A. -5B. -5iC. -3D. -3i
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的运算法则求得复数z(1-i),然后根据复数的定义得结论.
【详解】由已知,,其虚部为.
故选:A
2. 已知为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间基底的概念,结合选项,判断每组向量是否共面,即可求解.
【详解】对于A中,由,所以不能作为一组空间基底;
对于B中,假设共面,则存在,使得,
即,可得,此时方程组无解,所以不共面,所以向量可以作为空间的一组基底;
对于C中,由,所以不能作为空间的一组基底;
对于D中,由,所以不能作为空间的一组基底.
故选:B.
3. 某产品售后服务中心选取了10个工作日,分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位:次):则这组数据的( )
A. 众数是30B. 分位数是30.5
C. 极差是37D. 中位数是43
【答案】B
【解析】
【分析】由众数定义可判断A错误,将数据从小到大排列后根据中位数、极差、百分位数定义可判断CD错误,B正确.
【详解】根据题意可知,每个数出现的次数都是一次,即众数不是30,即A错误;
将这10个数据从小到大排列为;
易知为整数,所以分位数是第一个数与第二个数的平均值,即为,即B正确;
易知其极差为,即可得C错误;
中位数为第5个数和第6个数的平均数,即,可得D错误.
故选:B
4. 已知直线:,:,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.
【详解】因为,所以,解得,
所以“”是“”的充要条件,
故选:C
5. 已知,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出平面的法向量,再利用空间向量求出点到平面的距离.
【详解】依题意,,
设平面的法向量,则,令,得,
则点到平面的距离为,
所以点到平面的距离为.
故选:A
6. 著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点,可得的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和,可知当A,P,B三点共线时取得最小值可得答案.
【详解】,
则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和,
即,则可知当A,P,B三点共线时,取得最小值,
即.
故选:A.
7. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动,甲、乙两位同学各自任选其中一项参加,则他们选择同一项活动的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出树状图,利用概率公式求解即可
【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C,
画树状图如下,
共有9种等可能的结果,甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况,
故他们选择同一项活动的概率是,
故选:C.
8. 过定点M的直线与过定点N的直线交于点P,则的最大值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线与直线过的定点,由得到两直线垂直,从而得到,由勾股定理得到,结合基本不等式求出最大值.
【详解】动直线经过定点,
动直线,即,
令,解得:,故直线过定点,
因为直线,
所以过定点的直线与定点的直线始终垂直,
又是两条直线的交点,
,
,
故(当且仅当时取“=”).
故选:D.
二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相垂直”充要条件
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线
D. 已知向量,,则在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项,利用两直线的垂直及充要条件的定义即可判断B选项,利用空间向量的基本定理可判断C选项;利用投影向量的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项,直线的倾斜角为,则,因为,所以,所以,故A正确;
对于B选项,因为直线与直线互相垂直,所以,即,解得或,所以“”是“或”的充分不必要条件,所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件,故B错误;
对于C选项,若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,不妨设这两个非零向量不共线,设这两个非零向量为,由空间向量的基本定理可知,在空间中必存在非零向量,使得为空间的一个基底,假设不成立,故这两个非零向量共线,故C正确;
对于D选项,因为向量,所以在上的投影向量为,故D正确.
故选:ACD.
10. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”,甲、乙两人能得满分的概率分别为,,两人能否获得满分相互独立,则( )
A. 两人均获得满分的概率
B. 两人至少一人获得满分的概率
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率
D. 两人至多一人获得满分的概率
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得.
【详解】设“甲获得满分”, “乙获得满分”,则,
对于A,“两人均获得满分”可表示为,因两人能否获得满分相互独立,
故, 即A正确;
对于B,因“两人至少一人获得满分”的对立事件为 “两人都没获得满分”,
则“两人至少一人获得满分”的概率为:,故B错误;
对于C,“两人恰好只有甲获得满分”可表示,其概率为:,故C正确;
对于D,因“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”,
则“两人至多一人获得满分”为:,故D正确.
故选:ACD .
11. 扎马钉(图1),是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示,四个钉尖分别记作,连接这四个顶点构成的几何体为正四面体,组成该“钉”的四条等长的线段公共点为,设,则下列结论正确的是( )
A.
B. 为正四面体的中心
C.
D. 四面体的外接球表面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】容易判断B;将图形还原成正四面体,取CD中点F, 进而证明平面ABF,然后判断A;设E为A在平面BCD上的投影,设出正四面体的棱长,进而根据勾股定理求出棱长,然后判断C;根据球的表面积公式可以判断D.
【详解】如图,正四面体ABCD,由题意,,则O为正四面体ABCD的中心,B正确;
设E为A在平面BCD上的投影,易知点E为三角形BCD的中心,连接CF交CD于F,则F为CD的中点,连接AF,则,而,所以平面ABF,所以.A正确;
设该正四面体棱长为,则,因为,,联立解得a=263.C错误;
易知该四面体外接球半径为1,则外接球的表面积为.
故选:AB.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 如图,在平行六面体中,底面是边长为的正方形,若,且,则的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由,借助模长公式得出的长.
【详解】因为
所以
即
故答案为:
13. 将一张坐标纸对折,如果点与点重合,则点与点______重合.
【答案】
【解析】
【分析】先求线段的中垂线方程,再根据点关于直线对称列式求解即可.
【详解】已知点与点,可知线段的中点为,
且,则线段的中垂线的斜率,
则线段中垂线方程为,即,
设点关于直线的对称点为,
则,解得,
所以所求点为.
故答案为:.
14. 学校为了解学生身高(单位:情况,采用分层随机抽样的方法从名学生(男女生人数之比为)中抽取了一个容量为的样本.其中,男生平均身高为,方差为,女生平均身高为,方差为,用样本估计总体,则该学校学生身高的方差为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,求出样本的平均数和方差,结合用样本估计总体的思路,即可得答案.
【详解】根据题意,由于男女生人数之比为,则样本中男女生人数之比为,
其中,男生平均身高为,方差为,女生平均身高为,方差为,
则样本的平均数,
样本的方差,
用样本估计总体,则该学校学生身高的方差为.
故答案为:.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 如图,在四棱锥中,,,平面,,、分别是棱、的中点.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【解析】
【分析】(1)由中位线易证明四边形是平行四边形,进而得到,进而得到平面;
(2)由题易知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值,再用同角三角函数的基本关系计算正弦值;
【小问1详解】
如图所示,连接.
因为,分别是棱,的中点,
所以,
因为,,
所以,,
所以四边形是平行四边形,
则.
因为平面,平面,
所以平面.
【小问2详解】
因为平面,
平面,
所以,
又因为,
所以,,两两垂直,
以为坐标原点,,,的方向分别为,,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可得,,
,.
设平面的法向量为,
则
令,得.
因为,,
所以平面
平面的一个法向量为.
设平面与平面夹角为,
则.
故,
即平面与平面的夹角的正弦值为.
16. 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄的分组区间是:第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.
(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数;
(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数;
(3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中,采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动,再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)由直方图频率和为1,列方程求,再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数;
(2)由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75,列方程求第75百分位数.
(3)由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布,再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【小问1详解】
由直方图知:,可得,
∴500名志愿者中年龄在的人数为人.
【小问2详解】
因为,,
所以第百分位数在区间内,若该数为,
∴,解得.
【小问3详解】
由题设,第2组、第4组和第5组的频率之比为,知6名志愿者有2名来自,3名来自,1名来自,
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为,
则抽取两人的基本事件有,
,共15个,
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17. 已知点,直线和
(1)过点作的垂线,求垂足的坐标;
(2)过点作分别于交于点,若恰为线段的中点,求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由直线的位置关系求方程,再联立求解交点坐标,
(2)设出点坐标,由中点表示点坐标,分别代入直线方程联立求解.
【小问1详解】
,即,
则,直线为,
即,联立方程,解得,故.
【小问2详解】
不妨设,则,则,
解得,故直线过点和点,
故直线方程为,即.
18. 已知函数满足,且在上有最大值.
(1)求,的值;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)首先代入,再利用基本不等式求最值,列式求得;
(2)求出的解析式,将不等式进行转化,利用参数分离法进行求解即可.
【小问1详解】
,,
,即,
,
在上有最大值.
,即,
由得,;
【小问2详解】
由(1)得的解析式,
由题意得当,则只有当或时,才恒有意义,
当时,,等价为,
等价为的最大值,
易知的对称轴为,在上单调递增,
即,得,(舍去);
当时,由得,
即,
设,对称轴为,
当时,,得,
当时,,得(舍);
综上,的取值范围为.
19. 已知中,角,,的对边分别是,,,.
(1)若,求的值;
(2)若的平分线交于点,且,求周长的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理得到,消去B后进行弦化切即可得到;
(2)利用面积公式求出,利用基本不等式求出的最小值,利用余弦定理求出,即可求出周长的最小值.
【详解】(1)已知中,角,,的对边分别是,,,.
若,所以,整理得:,
整理得:,
解得.
(2)的平分线交于点,且,
利用三角形的面积:
所以,
整理得,
所以,
当且仅当时,等号成立.
所以,解得,
所以周长的最小值为.
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