苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题06易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型(原卷版+解析)

这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题06易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型(原卷版+解析)，共25页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31205" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31205 \h 1
\l "_Tc197" 【易错类型一 利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 PAGEREF _Tc197 \h 1
\l "_Tc13815" 【易错类型二 利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 PAGEREF _Tc13815 \h 3
\l "_Tc4251" 【易错类型三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 PAGEREF _Tc4251 \h 7
\l "_Tc19187" 【易错类型四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 PAGEREF _Tc19187 \h 9
\l "_Tc21072" 【易错类型五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 PAGEREF _Tc21072 \h 13
【典型例题】
【易错类型一 利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是（）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·四川达州·九年级校考期末）若关于的方程是一元二次方程．则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期末）已知方程，当= 时，是关于x的一元二次方程．
5．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知：是关于x的一元二次方程，则 ．
【易错类型二 利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程，常数项为，则的值等于（ ）
A．B．C．或D．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（ ）
A．1B．C．0D．
2．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（ ）
A．B．0C．1D．1或者
3．（2023春·北京东城·八年级北京市第一六六中学校考期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则实数的值为（ ）
A．2B．C．或2D．或0
1．（2023秋·辽宁丹东·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
4．（2023·全国·九年级假期作业）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
5．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则 ．
6．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ．
7．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【易错类型三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】
例题：（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．0或4B．4或8C．8D．4
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）已知方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
3．（2023·河南南阳·统考三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
5．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根．
7．（2023·全国·九年级假期作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【易错类型四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】
例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．
3．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；
(2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值．
【易错类型五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】
例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．18或9
2．（2023春·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根．则这个等腰三角形的周长可能是（ ）
A．8B．10C．8或10D．9
3．（2023·安徽合肥·校考一模）等腰三角形的两边长为方程的两根，则这个等腰三角形的周长为
4．（2023春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
(2)若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
专题06 易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31205" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31205 \h 1
\l "_Tc197" 【易错类型一 利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】 PAGEREF _Tc197 \h 1
\l "_Tc13815" 【易错类型二 利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】 PAGEREF _Tc13815 \h 3
\l "_Tc4251" 【易错类型三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】 PAGEREF _Tc4251 \h 7
\l "_Tc19187" 【易错类型四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】 PAGEREF _Tc19187 \h 9
\l "_Tc21072" 【易错类型五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 PAGEREF _Tc21072 \h 13
【典型例题】
【易错类型一 利用方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，即含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，可得方程，解方程即可求解．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键．
2．（2022秋·四川达州·九年级校考期末）若关于的方程是一元二次方程．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的概念得出关于的方程，进而得出结果．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程
∴，且，
∴
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】利用二次方程的定义列方程及不等式解题即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次方程的定义及二次根式的非负性，能够根据定义及性质列式是解题关键．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期末）已知方程，当= 时，是关于x的一元二次方程．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
5．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）已知：是关于x的一元二次方程，则 ．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程的定义即得出且，解出m即可．
【详解】根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程必须满足的两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0是解题关键．
【易错类型二 利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程，常数项为，则的值等于（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义即可求得的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程，常数项为，
∴，
∴或，
∵关于的方程是一元二次方程，
∴,
∴，
∴；
故选．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定a的值．
【详解】解：把代入一元二次方程
得，
解得，
而，
的值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义，解题的关键是注意．
2．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（ ）
A．B．0C．1D．1或者
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，根据二次项系数不为0，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能等于0．
3．（2023春·北京东城·八年级北京市第一六六中学校考期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则实数的值为（ ）
A．2B．C．或2D．或0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴将代入，可得且，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
1．（2023秋·辽宁丹东·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】
【分析】把代入方程，解方程即可求得的值，且，从而即可得到答案．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于的一元二次方程二次项系数不为零，即．
4．（2023·全国·九年级假期作业）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
5．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则 ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据一元二次方程的解的定义将代入原方程，得到关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入关于x的一元二次方程得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
把代入方程，得：
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．
7．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【答案】0
【分析】根据题意可知将代入方程所得式子仍然成立，可得的值为0或-1，利用一元二次方程成立的条件可知，从而可得答案．
【详解】解：把代入方程可得
或-1
方程是一元二次方程
，即

故答案为：
【点睛】此题考查一元二次方程的解的定义，需要注意一元二次方程成立的条件，将解代入方程并保证二次项系数不等于0是解题的关键．
【易错类型三 利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”】
例题：（2023春·浙江金华·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．0或4B．4或8C．8D．4
【答案】D
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立方程，求出值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，（舍去）．
∴k的值为4，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）已知方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】根据根的判别式和已知得出且，求出解集即可．
【详解】方程有两个实数根，则，且，
即，
解得：且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是解此题的关键．
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
3．（2023·河南南阳·统考三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，结合二次项系数不等于0，可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
∵，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】C
【分析】根据根与系数关系及一元二次方程定义列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
故选C；
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时．
5．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且，
∴m的取值范围为且；
（2）∵且，且m为正整数，
∴，
∴原方程为，
即，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组；（2）代入m的值，求出方程的解．
7．（2023·全国·九年级假期作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，且，求出的取值范围即可；
（2）得到的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
即，且，
解得：且；
（2）满足条件的最小正整数是，
此时方程为，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答本题的关键．
【易错类型四 利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】
例题：（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系得到，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．
【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得或，
又∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
，
即；
（2）解：由根与系数的关系可知：，，
，
，
解得或，
而，
的值为．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．
3．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；
(2)若是方程的两个实数根，且满足，求的值．
【答案】(1)的值为，另一个根为
(2)的值为
【分析】（1）直接把代入方程中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将代入方程得，，
解得
设另一个根为，则，
解得
∴的值为，另一个根为；
（2）解：由题意得：，
同时满足即，
∴，
∵，
∴
∴
解得或，
∵
∴，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
【易错类型五 与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】
例题：（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为
【答案】15
【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．
【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
此时能构成三角形，的周长为：
若为底，则，即方程有两个相等的实根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得：的周长为15．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．18或9
【答案】B
【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系，
∴等腰三角形的腰为，底为，
∴周长为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和构成三角形的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（2023春·重庆·九年级重庆八中校考阶段练习）一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根．则这个等腰三角形的周长可能是（ ）
A．8B．10C．8或10D．9
【答案】B
【分析】求出方程的解，得出三角形的三边长，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴或，
∴或，
当三边是2，2，4时，
∵，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是3，3，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，解一元二次方程的应用，解题的关键是能求出方程的解．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）等腰三角形的两边长为方程的两根，则这个等腰三角形的周长为
【答案】
【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公式即可得．
【详解】解：，
因式分解，得，
解得，
等腰三角形的边长是方程的两个根，
这个等腰三角形的两边长为，
(1)当边长为的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，
此时，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
(2)当边长为的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，
此时，满足三角形的三边关系定理，
则这个等腰三角形的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
4．（2023春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
(2)若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可；
（2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解．
【详解】（1）证明：中，
，，，
，
无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入，
得，即，
因式分解得，
解得，，
当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系，
等腰三角形的周长；
当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1，
，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在，
综上可知，等腰三角形的周长是6．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．