备战2025年高考数学压轴题训练专题15三角函数中新定义题(全题型压轴题)(学生版+解析)

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc14472" 一、选填（新定义题） PAGEREF _Tc14472 \h 1
\l "_Tc15949" 二、解答题（新定义题） PAGEREF _Tc15949 \h 2
一、选填（新定义题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期末）定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）．
A．0.5394B．0.8419C．0.8415D．0.5398
3．（多选）（23-24高一上·重庆·阶段练习）若存在两个不相等的实数、，使、、均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为 .
5．（23-24高一下·江西·阶段练习）定义：对于非常数函数，若，，，则称是“米函数”．已知函数是“米函数”，则ω的最小值为 ．
6．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论：
①若点的横坐标为，则； ②的最大值是；
③的最小值是2； ④的最小值是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
二、解答题（新定义题）
1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数满足且，则称函数为“M函数”．
(1)试判断是否为“M函数”，并说明理由；
(2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值；
(3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
2．（23-24高一下·江西南昌·期末）对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
(2)证明，上是上凸函数；
(3)若A、B、C、，且，求的最大值．
6．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．
7．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.
(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；
(2)若为函数的“可消数对”，求的值；
(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.
8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量，，定义运算，同时定义.
(1)若，求实数的取值集合；
(2)已知，求；
(3)已知定义域为的函数满足为奇函数，为偶函数，且时，，是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
9．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
10．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围．
专题15 三角函数（含新定义解答题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc14472" 一、选填（新定义题） PAGEREF _Tc14472 \h 1
\l "_Tc15949" 二、解答题（新定义题） PAGEREF _Tc15949 \h 7
一、选填（新定义题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期末）定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得，然后对每个函数逐一求解即可.
【详解】因为，
所以点的横坐标相等，点在线段上，所以，
对于，由函数，得，，
直线方程为，
而在上的值域是，
，线性近似系数为．
对于，由函数可得，，方程为，
由三角函数图象与性质可知，线性近似系数为，
故所求为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于充分理解新定义，并得到，由此即可顺利得解.
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）．
A．0.5394B．0.8419C．0.8415D．0.5398
【答案】C
【优尖升-分析】本题先由已知结合诱导公式求出，再由已知条件给定的公式代入计算，同时作估算分析即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以
故选：C.
【点睛】关键点点睛：（1）利用诱导公式转化所求的值；（2）理解公式的含义，并在条件式中的运用，分析估算所求的函数值.
3．（多选）（23-24高一上·重庆·阶段练习）若存在两个不相等的实数、，使、、均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【优尖升-分析】根据题中性质的定义，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A，函数的定义域为，且，
所以，
由于，所以恒成立，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，
取，，则，
则，
所以成立，故B正确；
对于C，假设具有性质，
则存在，使得，
则，即，
若同号，则，即，
所以，得，显然不成立；
若异号，则，即，
将上述方程看作关于的二次方程，解得，
此时满足，故C正确；
对于D，因为函数的定义域为，
又，故为奇函数，
取，则，所以，，
所以成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解性质的定义，结合函数的性质即可得解.
4．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为 .
【答案】
【优尖升-分析】解不等式，得集合，画出的图象，根据图象得到g(x)