备战2025年高考数学压轴题训练专题08一元函数的导数及其应用(全题型压轴题)(学生版+解析)

这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题08一元函数的导数及其应用(全题型压轴题)(学生版+解析)，共24页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc753" 一、已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc753 \h 1
\l "_Tc7019" 二、变量分离法 PAGEREF _Tc7019 \h 2
\l "_Tc17743" 三、双变量型 PAGEREF _Tc17743 \h 3
\l "_Tc17114" 四、双变量型 PAGEREF _Tc17114 \h 4
\l "_Tc6407" 五、最值法 PAGEREF _Tc6407 \h 5
一、已知函数在区间上存在单调区间
1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
4．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
二、变量分离法
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
3．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数在区间上的单调性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
4．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数．
(1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围；
(2)已知，，求实数a的取值范围．
4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
四、双变量型
1．（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知函数，，m，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围.
2．（23-24高二下·四川资阳·期中）已知，.
(1)当时，求极值；
(2)讨论单调性；
(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
3．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.
五、最值法
1．（2024·四川泸州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求实数a的取值范围．
2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若都有求实数a的取值范围；
(3)设若使得成立，求实数a的取值范围.
3．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，设函数，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是的导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在实数使成立，求的取值范围.
专题08 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc753" 一、已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc753 \h 1
\l "_Tc7019" 二、变量分离法 PAGEREF _Tc7019 \h 3
\l "_Tc17743" 三、双变量型 PAGEREF _Tc17743 \h 6
\l "_Tc17114" 四、双变量型 PAGEREF _Tc17114 \h 10
\l "_Tc6407" 五、最值法 PAGEREF _Tc6407 \h 14
一、已知函数在区间上存在单调区间
1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.
【详解】因为存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
令，则，令，解得(负值舍去)，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，故，
故选：A.
2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ）
A．0B．1C．2D．e
【答案】CD
【优尖升-分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上存在单调递减区间，
即在有解，即在有解，
设，可得，
所以函数单调递增，所以，即，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【优尖升-分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可.
【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则.
故答案为：
4．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【优尖升-分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，求导得，
依题意，不等式在上有解，等价于在上有解，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：．
二、变量分离法
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【优尖升-分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可.
【详解】因为，由，即，
即，设，
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
【答案】/
【优尖升-分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由得，显然，
所以有解，
令，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，则，即的最小值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出.
3．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数在区间上的单调性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)递增；
(3)存在，.
【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由导数值恒正判断函数单调递增.
（3）假定存在，分离参数构造函数，利用导数探讨最大值即可得解.
【详解】（1）函数，求导得，
则，而，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，，因此，
所以函数在区间上的单调递增.
（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，
令，求导得，
令，求导得，即函数在上递增，
则，即，于是，而，
因此，函数在上单调递增，，，则，
所以的取值范围是.
4．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数．
(1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围；
(2)已知，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）先得到不是方程的根，参变分离得到，构造，求导得到函数单调性，画出函数图象，数形结合得到答案；
（2）转化为在上有解，构造，，求导得到函数单调性，得到，求出答案．
【详解】（1）令，得，
显然不是方程的根，
故，，
令，则，
所以当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
作出函数的大致图象如下所示，观察可知，，
故实数a的取值范围为．
.
（2）由题意，不等式在上有解，显然不是该不等式的解，
所以不等式在上有解，
设，，则．
设，，则．
所以在单调递减，，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以实数的取值范围为．
三、双变量型
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
由，
解得或，
所以不等式的解集为.
（2）当时，，
对称轴为，且，，
所以对任意的，.
时，是增函数，，
由得，
若对任意的，总存在，使成立，
所以，解得，
所以正实数的取值范围是.
2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.
(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；
(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解；
（2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，
当时，此时；
当时，，
因为，故，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
故；
综合得：；
（2）记，，
因为对，，使得，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
当时，在上单调递增，
所以，
故，
因为，
所以，即，
又，
故.
3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，.
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得即可解决；
（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减
因为函数在区间上存在零点，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）记函数，的值域为集合，
，的值域为集合，
则对任意的，总存在，使得成立，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以当，
，，
得，
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，
因为，
所以，解得；
当时，的值域为，
因为，所以，解得，
综上，实数的取值范围为.
4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解；
（2）求出的值域，根据题意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围.
【详解】（1）依题意，
，
设，，则.
令，.
由已知性质得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
又∵，，，
∴.
∴的值域为.
（2）为减函数，
故，.
由题意得，当时，的值域是的值域的子集，
∴解得.
【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及化简运算能力，属于中档题.
四、双变量型
1．（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知函数，，m，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【优尖升-分析】（1）取出，分别解不等式即可得出函数的单调区间；
（2）当时，先求出，将问题转化为使成立，设，利用导数求出其最小值即可得出答案.
【详解】（1）由，则
由，解得，，解得
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减
所以函数在上单调递增. 在上单调递减，
又，，所以
，使成立，即
即使成立
即在上有解
设，则
所以当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以
要使得在上有解，则
2．（23-24高二下·四川资阳·期中）已知，.
(1)当时，求极值；
(2)讨论单调性；
(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)答案见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）先求导数，再结合导数判断单调性，求出极值；
（2）先求导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性；
（3）利用导数分别求解的最大值，然后可得答案.
【详解】（1）由题可知，函数定义域为，由
当，解得，当，解得，所以函数在处取得极大值，无极小值.
（2），
①所以当时，有恒成立，在单调递增，
②当时，由解得：，在上单调递增；
由解得：，在上单调递减；
综上，时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，
根据题意，不等式等价于，，
对于，，，
所以在上单增，所以，则有，
设，，则，
在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是.
3．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【优尖升-分析】（1）由，按，进行分类讨论求解；
（2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围．
【详解】（1），
①当时，由于，故，，
所以的单调递增区间为；
②当时，由，得，
在区间上，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题目知，只需要即可
又因为，所以只需要即可
即等价于恒成立，
由变量分离可知，，
令，下面求的最小值，
令，所以得，
所以在为减函数，为增函数，
所以，所以.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.
【答案】
【优尖升-分析】转化对，，，，恒有成立为，利用二次函数的性质和导数分别求解两个函数的最小值，代入解不等式即可
【详解】若对，，，，恒有成立，
只需在，上，即可.
，
，，
在，，，，
故与，是单调递增区间.
在，，
故，是单调递减区间.
因此的极小值为又，
所以
所以，
解得的范围为.
五、最值法
1．（2024·四川泸州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）对求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）先利用导数分析的单调性，再构造，将问题转化为，利用的单调性，分析得，从而得解.
【详解】（1）因为，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程；
（2）因为，且，
所以当时，，单调递减，
当或时，，单调递增；
不妨令，
当，即时，在单调递增，在单调递减，
且，
所以，此时符合题意；
当，即时，在和单调递增，在单调递减，
显然在处取得极小值，此时极小值为，
而，
所以，
要使，则必有，解得，故，
综上:的取值范围是.
【点睛】结论点睛：
（1）有解；有解．
（2）有解；有解．
（3）有解；有解．
（4），，．
2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若都有求实数a的取值范围；
(3)设若使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）代入，求导即可得出函数的单调区间；
（2），都有等价于时，恒成立，然后分类讨论求即可.
（3）令，即存在，使得，然后分类讨论求即可求解.
【详解】（1）当时，，
令，解得
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），都有，
即时，恒成立,
,令,
①当，即时,
，，所以在单增，
所以，满足题意.
②当，即时，
此时，，
i）当时，即时，
，，所以在单增，
所以，满足题意.
ii）当时，即时，
此时，所以，不满足题意.
综上所述：当时，满足时，恒成立.
.
【优尖升-分析】（1）根据给定条件，分离参数构造函数，利用导数求出函数的最小值即得.
（2）求出函数，利用导数探讨单调性确定在上的最大值，再讨论求解即得.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，依题意，在上恒成立，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，所以的取值范围为.
（2）当时，，求导得，
若对任意，存在，使得成立，即成立，
由，得在上恒成立，即在上为增函数，
于是，因此或在时恒成立，
而在时不恒成立，则在时恒成立，
即或在时恒成立，又在时不恒成立，
从而在时恒成立，即在时恒成立，于是，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是的导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在实数使成立，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【优尖升-分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）分类讨论求解函数的最大值，然后利用有解问题转化求解即可.
【详解】（1），
所以，
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
则，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
所以，所以在上单调递减，
所以，不符合题意；
当时，令得，令得，
所以在单调递减，在单调递增.
当时，，所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，，所以在单调递减，在单调递增，，所以，
若，即，则在[0，1]上单调递减，
所以，不符合题意；
若，即，则存在，使，
所以在单调递减，在单调递增，
若存在使成立，则，
解得，所以.
综上：的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.