人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程随堂练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程随堂练习题，共57页。试卷主要包含了经过点P称为直线的点斜式方程等内容，欢迎下载使用。

知识点01 直线的方程
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程 F（x，y）=0的直线.此时，"直线l"也可说成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）直线的方程是指（ ）
A．直线上点的坐标都是方程的解
B．以方程的解为坐标的点都在直线上
C．直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上
D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据直线方程的定义判断即可.
【详解】直线的方程是指直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上，
故选：C
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）方程①lgx-lgy=1；②lgx-y=1；③x-y2=1，④3x-2y=2中，能表示一条直线的方程是 ．（填序号）
【答案】②④
【分析】①由对数运算得到y=110x，结合对数函数定义域得到直线位于第一象限的部分，不合题意；②由对数运算得到x-y=10；③化简后得到x-y=1，表示两条直线；④由指数运算和对数运算求得x-2y=lg32，符合要求.
【详解】lgx-lgy=lgxy=1，即y=110x，x>0,y>0，表示直线位于第一象限的部分，不合题意，①错误；
lgx-y=1，即x-y=10，表示一条直线，故②正确；
x-y2=1，即x-y=1，即x-y=1或y-x=1，表示两条直线，不合题意，③错误；
3x-2y=2，即x-2y=lg32，表示一条直线，④正确.
故答案为：②④
知识点02直线的点斜式
1.经过点P（x，y）且斜率为k的直线方程为y-y=k（x-x0）称为直线的点斜式方程.
2.经过点P（x，y）且斜率为0的直线方程为y=y0,经过点P（x，y）且斜率不存在的直线方程为 x=x .
【即学即练3】（24-25高二上·全国·课后作业）经过点P0,2且斜率为2的直线的方程为（ ）
A．y=-2x-2B．y=2x-2C．y=2x+2D．y=-2x+2
【答案】C
【分析】根据直线的点斜式方程写出即可.
【详解】由点斜式可得直线的方程为y-2=2x-0，
化为y=2x+2.
故选：C.
【即学即练4】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点P5,2且斜率为-1的直线的点斜式方程为（ ）
A．y-5=-x-2B．y-2=-x-5
C．y+2=-x+5D．y+2=-x-5
【答案】B
【分析】根据点斜式公式带入条件即可.
【详解】将P5,2，斜率为-1带入直线方程点斜式y-y0=kx-x0，得y-2=-x-5.
故选：B.
知识点03 直线的斜截式
1.一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程.
2.直线y=kx＋b中k的几何意义是直线的斜率,b的几何意义是直线的截距（即直线在y轴上的截距）.
【即学即练5】（22-23高二上·湖南·期中）倾斜角为135°，在y轴上的截距为1的直线方程是（ ）
A．x-y-1=0B．x+y-1=0
C．x+y+1=0D．x-y+1=0
【答案】B
【分析】根据直线斜率和截距即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在y轴上的截距为1，所以所求直线方程为y=-x+1，即x+y-1=0.
故选：B
【即学即练6】（22-23高二上·江苏连云港·开学考试）若直线l的倾斜角α满足4sinα=3csα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是 .
【答案】3x-4y-9=0
【分析】由已知确定直线的斜率，应用斜截式写出直线方程.
【详解】由4sinα=3csα，所以tanα=34，
从而直线l的方程为y=34(x-3)，即3x-4y-9=0.
故答案为：3x-4y-9=0
知识点04 直线的两点式
经过两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2）(x2-x1≠0且y2-y1≠0)的直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，这种形式的直线方程称为直线的两点式方程.
【即学即练7】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点1,2，5,3的直线方程是（ ）
A．y-25-1=x-13-1B．y-23-2=x-15-1
C．y-15-1=x-32-3D．x-25-2=y-31-3
【答案】B
【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可.
【详解】因为直线过点1,2，5,3，所以直线方程为y-23-2=x-15-1，
故选：B.
【即学即练8】（2024高二上·全国·专题练习）经过两点5,0,2,-5的直线方程为 .
【答案】5x-3y-25=0
【分析】由直线的两点式方程直接写出，再化简.
【详解】经过两点5,0,2,-5的直线方程为：y-0-5-0=x-52-5，整理，
得5x-3y-25=0.
故答案为：5x-3y-25=0.
知识点05 之间的截距式
直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为xa+yb=1,这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴y轴上的截距都存在且不为0.
【即学即练9】（22-23高二上·海南·期中）在x轴、y轴上的截距分别是-2、3的直线方程为（ ）
A．x2+y3=1B．x2-y3=1
C．y3-x2=1D．x2+y3=-1
【答案】C
【分析】利用直线的截距式方程即可求解.
【详解】因为直线在x轴、y轴上的截距分别是-2、3，
所以直线方程是x-2+y3=1，即y3-x2=1．
故选：C．
【即学即练10】（23-24高二上·陕西·阶段练习）直线x-2y-2=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．a=2，b=1B．a=2，b=-1C．a=-2，b=1D．a=-2，b=-1
【答案】B
【分析】根据截距的定义计算即可.
【详解】令x=0，解得y=-1，故b=-1；
令y=0，解得x=2，故a=2．
故选：B
知识点06 直线的一般式
1.所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程,关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程.
3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=-ABx-CB,它表示的是斜率为-AB且截距为-CB的直线；如果B=0，则由A,B不同时为0可知A≠0,从而方程可以化为x=-CA,它表示的是斜率不存在且过点（-CA，0）的直线.
【即学即练11】（23-24高二上·江苏·课后作业）直线的一般方程中的几何要素
若直线的一般方程为Ax+By+C=0，
（1）当AB≠0时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ；
（2）当A=0时，直线的斜率为 ，横截距 ，纵截距为 ；
（3）当B=0时，直线的斜率 ，横截距 ，纵截距 ；
【答案】 -AB -CA -CB 0 不存在 -CB 不存在 -CA 不存在
【即学即练12】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）△ABC的顶点A-3,4,B1,4,C-3,6，则BC边上的中线所在的直线方程是 ．
【答案】x-2y+11=0
【分析】
求出线段BC的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；
【详解】BC中点坐标为(1-32,4+62)，即(-1,5)，
所以BC边上的中线所在的直线方程是：y-45-4=x+3-1+3，
整理得：x-2y+11=0.
故答案为：x-2y+11=0
难点：最值问题
示例1：（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线l:kx-y+2+k=0x∈R．
(1)求证：无论k为何值，直线l:kx-y+2+k=0恒过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)S的最小值为4，直线l的方程为y=2x+4
【分析】（1）将直线方程化为点斜式，从而求得定点的坐标.
（2）先求得S的表达式，然后利用基本不等式求得S的最小值，并求得此时直线l的方程.
【详解】（1）直线l:kx-y+2+k=0k∈R可化为y-2=kx+1，故过定点-1,2，
所以无论k为何值，直线l:kx-y+2+k=0恒过定点-1,2；
（2）因为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，所以k>0，
则kx-y+2+k=0中取y=0得x=-k+2k，取x=0得y=2+k，
S=12OA×OB=12×k+2k×2+k=12k+4+4k≥122k⋅4k+4=4，
当且仅当k=4k时，即k=2时取“＝”，
所以S的最小值为4，直线l的方程为y=2x+4．

【题型1：直线的点斜式方程】
例1．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）过点A(3,2)且斜率为1的直线方程是（ ）
A．x+y+1=0B．x+y-1=0
C．x-y+1=0D．x-y-1=0
【答案】D
【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可.
【详解】根据题意可得直线为y-2=x-3，化简得x-y-1=0.
故选：D
变式1．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线l过点A1,0，且倾斜角为直线y=3x倾斜角的一半，则直线l的方程为（ ）
A．x-3y-1=0B．3x-2y-3=0
C．x-3y-3=0D．3x+2y+3=0
【答案】A
【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程.
【详解】设直线y=3x的倾斜角为α0≤α<π，则tanα=3，解得α=π3，
因为直线l倾斜角为直线y=3x倾斜角的一半，
所以直线l倾斜角为α2=π6，从而tanα2=33，
即直线l的斜率为33，又直线l过点A1,0，所以直线l的方程为y=33x-1，
即x-3y-1=0.
故选：A.
变式2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线l经过点P0,1，且它的一个方向向量为1,2，则直线l的方程为（ ）
A．2x-y-1=0B．x+2y-2=0C．2x-y+1=0D．2x+y+1=0
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解即得.
【详解】直线l的一个方向向量为1,2，则直线l的斜率为2，而直线l过点P0,1，
所以直线l的方程为y-1=2(x-0)，即2x-y+1=0.
故选：C
变式3．（23-24高二上·四川达州·期末）经过点P2，2且倾斜角为π4的直线方程是（ ）
A．y=xB．y=x-2C．y=-x+4D．y=x+2
【答案】A
【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案.
【详解】直线斜率k=tanπ4=1，故直线方程为y-2=x-2，即y=x.
故选：A
变式4．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线l的斜率为3,在x轴上的截距为233,则直线l的方程为（ ）
A．y=3x+2B．y=3x-2
C．y=3x+12D．y=-3x+2
【答案】B
【分析】根据点斜式方程求解即可.
【详解】∵直线l在x轴上的截距为233，∴点233,0在直线l上，
又直线l的斜率为3,∴根据点斜式方程得y=3x-233,即y=3x-2.
故选：B.
变式5．（23-24高二上·全国·课后作业）过点P(-2,1)且倾斜角为0∘的直线方程为（ ）
A．y=1B．x=-2C．y=-2D．x=1
【答案】A
【分析】
根据直线的点斜式方程即得.
【详解】
因过P(-2,1)的直线倾斜角为0∘，即直线垂直于y轴，故其方程为y＝1．
故选：A.
变式6．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是-3，则此直线的方程是（ ）
A．y=2x-3B．y=2x+3C．y=-2x-3D．y=-2x+3
【答案】A
【分析】根据直线的斜截式方程求解即得.
【详解】根据直线的斜截式方程得，直线为y=2x-3.
故选：A
变式7.（24-25高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A-4,3，斜率k=3；
(2)经过点B-1,4，倾斜角为135∘．
【答案】(1)y-3=3x+4
(2)y-4=-x+1
【分析】（1）根据题中给出的点和斜率即可利用直线的点斜式方程求得答案；
（2）先根据倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求得答案.
【详解】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y-3=3x+4．
（2）由题意知，直线的斜率k=tan135∘=-1，
故所求直线的点斜式方程为y-4=-x+1．【方法技巧与总结】
关于点斜式方程的几点说明
（1）直线的点斜式方程的前提条件：
①己知一点P（x，y）和斜率k；
②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
（2）方程y-y=k（x-x）与方程k=y-y0x-x0不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P（x，y）的一条直线.
（3）当k取任意实数时，方程y-y=k（x-x）表示恒过定点（x，y）且不垂直于x轴的无数条直线.
【题型2：直线的斜截式方程】
例2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线l的斜率为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为 .
【答案】y=x+5
【分析】先求解出方程的根，再根据斜截式写出直线方程即可.
【详解】由题意，方程x2-2x+1=0的根为1，所以k=1，y轴截距为5
直线l的方程为y=x+5.
故答案为：y=x+5.
变式1.（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2，求直线的斜截式方程；
【答案】y=-33x-2
【分析】由题意可得斜率k=-33，再由直线的斜截式方程即得答案.
【详解】解：因为倾斜角α=150°，
所以斜率k=tan150°=-33，
由斜截式可得直线方程为y=-33x-2.
变式2.（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是-3；
(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2.
【答案】(1)y=3x-3
(2)y=3x+5
(3)y=12x-2
【分析】（1）由斜截式求解直线方程即可；
（2）先根据倾斜角求直线的斜率，再根据斜截式求解直线方程即可；
（3）根据直线过的两点，确定直线斜率，再根据斜截式求解直线方程即可.
【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y=3x-3.
（2）因为直线斜率为k=tan60°=3，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：y=3x+5.
（3）因为直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2，所以直线过点4,0，0,-2，
根据两点可求直线斜率k=-2-00-4=12，所以直线的斜截式方程为y=12x-2.
变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（ ）
A．－2B．2
C．－5D．5
【答案】B
【分析】直接利用直线方程求出在y轴上的截距为b.
【详解】令x＝0，则y＝2，
所以直线2x－5y＋10＝0在y轴上的截距是2.
故选：B
变式4．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知直线l1：y+3=2x+2，则l1在y轴上的截距为（ ）
A．0,1B．0,-1C．1D．-1
【答案】C
【分析】根据截距的定义令x=0即可得l1在y轴上的截距为1.
【详解】将方程y+3=2x+2化简可得y=2x+1，
令x=0，得y=1，
所以l1在y轴上的截距为1；
故选：C
变式5．（23-24高二上·山东聊城·期末）直线4x-y+2=0在x轴上的截距为（ ）．
A．-2B．-12C．12D．2
【答案】B
【分析】直接利用定义求解截距即可.
【详解】令y=0，解得x=-12，显然截距是-12.
故选：B
变式6．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线x+2y+2024=0在y轴上的截距为（ ）
A．-2024B．-1012C．1012D．2024
【答案】B
【分析】利用截距的定义，结合直线方程即可得解.
【详解】因为x+2y+2024=0，令x=0，得y=-1012，
所以直线x+2y+2024=0在y轴上的截距为-1012.
故选：B.
变式7．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线4a2-2x+2y+3=0（a为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．0,π4B．π4,π2C．0,π4∪π2,πD．0,π2∪3π4,π
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角的取值范围.
【详解】4a2-2x+2y+3=0的斜率一定存在，故倾斜角不为π2，
直线斜率2-4a22≤1，

结合正切的函数图象，可得倾斜角的取值范围是0,π4∪π2,π.
故选：C
变式8．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线l：x+my=0的倾斜角的取值范围为π4,π3，则直线l1：x-my-2=0的倾斜角的取值范围为（ ）
A．3π4,πB．0,π2∪2π3,5π6
C．3π4,5π6D．2π3,3π4
【答案】D
【分析】根据两直线的斜率互为相反数即可得到答案.
【详解】显然当m=0时，直线l的倾斜角为π2，不适合题意，
则m≠0，则直线l的斜率为-1m，直线l1的斜率为1m，
所以l与l1的斜率互为相反数，所以l与l1的倾斜角互补,
得l1的倾斜角的取值范围为2π3,3π4.
故选：D.
【方法技巧与总结】
对直线斜截式方程的理解
直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有区别，当k=0时，y=kx＋b即为一次函数；当k≠0时，y=kx＋b，不是一次函数，一次函数y=kx+b（k≠0）必是一条直线的斜截式方程.
截距不是距离，可正、可负也可为零.
【题型3：直线的两点式方程】
例3．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点x1,y1,x2,y2的直线方程可以表示为（ ）
A．x-x1x2-x1=y-y1y2-y1B．x-x2x1-x2=y-y2y1-y2
C．y-y1x2-x1=x-x1y2-y1D．y-y1=y2-y1x2-x1x-x1
【答案】C
【分析】根据直线两点式方程可得答案.
【详解】当经过x1,y1,x2,y2的直线不与x轴、y轴平行时，
所有直线均可以用x-x2x1-x2=y-y2y1-y2表示，
由于x1,x2可能相等，y1,y2也可能相等，
所以只有选项C满足包括与x轴、y轴平行的直线．
故选：C．
变式1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l过点A2,1点B-1,-1，则直线l方程为（ ）
A．2x-3y-1=0B．2x-3y+1=0
C．2x+3y+1=0D．2x+3y-1=0
【答案】A
【分析】利用直线的两点式方程即可得解.
【详解】因为l过点A2,1点B-1,-1，
所以直线l的方程为y-1-1-1=x-2-1-2，即2x-3y-1=0．
故选：A．
变式2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点A(-2,4)，B(4,-1)，则直线AB在y轴上的截距为（ ）
A．83B．73C．145D．135
【答案】B
【分析】由已知的两点求出直线AB的方程，将x=0代入直线方程即可求解y轴上的截距.
【详解】因为直线经过两点A(-2,4)和B(4,-1)，则直线方程为y+14+1=x-4-2-4，化简得5x+6y-14=0，
令x=0，则直线AB在y轴上的截距为6y=14,y=73.
故选：B.
变式3.（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点-3,-2，1,2，则下列不在直线l上的点是（ ）
A．-2,-1B．-1,0C．0,1D．2,1
【答案】D
【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为y--22--2=x--31--3，即x-y+1=0，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点-2,-1，-1,0，0,1都在直线l上，点2,1不在直线l上．
故选：D．
变式4．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点A-3,2,B4,4的直线的两点式方程为（ ）
A．y-22=x+37B．y-2-2=x-37
C．y+22=x-37D．y-2x+3=27
【答案】A
【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解
【详解】因为直线经过点A-3,2,B4,4，
所以由方程的两点式可得直线方程为y-24-2=x--34--3，即y-22=x+37．
故选：A
变式5．（22-23高二上·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点分别为A1,1,B3,1,C4,5，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A．2x+y-3=0B．2x-y+3=0
C．2x+y+3=0D．2x-y-3=0
【答案】D
【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.
【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得y-15-1=x-24-2，即2x-y-3=0.
故选：D
变式6．（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）在△ABC中,A2,1,B-2,3,C0,1,则BC边上的中线所在的直线的一般方程为 .
【答案】x+3y-5=0
【分析】BC边上的中线过BC的中点及A点,根据BC两点坐标,求出中点坐标,再结合A点坐标,用两点式即可求出方程.
【详解】解:由题知,B-2,3,C0,1,
故BC的中点坐标为:-1,2,
因为A2,1,
所以BC边上的中线所在的直线为:
y-12-1=x-2-1-2,
即:x+3y-5=0.
故答案为:x+3y-5=0
变式7．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A3,2，则过两点P1a1,b1、P2a2,b2的直线的方程为 ．
【答案】3x+2y+1=0
【分析】先将点代入得到两条直线方程，再由两点都在直线上得到过该两点的直线.
【详解】将点A3,2代入两条直线可得3a1+2b1+1=03a2+2b2+1=0，
所以点P1a1,b1,P2a2,b2都在直线3x+2y+1=0上，
而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是3x+2y+1=0，
故答案为：3x+2y+1=0.
【方法技巧与总结】
直线的两点式方程应注意的问题
要注意方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1和方程（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）形式
不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线.
【题型4：直线的截距式方程】
例4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x4-y8=1在y轴上的截距为（ ）
A．-8B．8C．-18D．18
【答案】A
【分析】对直线方程，令x=0，即可求得结果.
【详解】对方程x4-y8=1，令x=0，解得y=-8；
故直线x4-y8=1在y轴上的截距为-8.
故选：A.
变式1．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线l在x轴､y轴上的截距分别是32和-3，则直线l的一般式直线方程为 .
【答案】2x-y-3=0
【分析】由已知先求出直线的截距式方程，再化为一般式方程即可得解.
【详解】由题意，直线l的截距式方程为x32+y-3=1，
化为一般式方程为2x-y-3=0.
故答案为：2x-y-3=0.
变式2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点P3,1的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线l的方程为 ．
【答案】y=13x（答案不唯一：或y=-13x+2）
【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解.
【详解】由题意若过点P3,1的直线l在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即y=13x，
否则设满足题意的直线方程为x3a+ya=1，将P3,1代入得a=2，即y=-13x+2也满足题意.
故答案为：y=13x（答案不唯一：或y=-13x+2）.
变式3．（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 ．
【答案】4
【分析】设出直线的截距式方程，推出截距关系式，写出面积的表达式，再由不等式得最值．
【详解】设直线l为xa+yb=1a>0,b>0，
因为直线l过点P(2,1)，则2a+1b=1，
三角形OAB面积为S=12ab，
利用均值不等式，1=2a+1b≥22a⋅1b=22ab，即ab≥8，
当且仅当a=4,b=2等号成立，
于是，三角形OAB面积为S=12ab≥4．
故答案为：4
变式4．（2024高二上·全国·专题练习）若直线l:xa+yb=1a>0,b>0经过点1,2，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，ab= .
【答案】22/122
【分析】根据题意，由条件可得1a+2b=1，再结合基本不等式即可得到当a+b取最小值的条件，即可得到结果.
【详解】因为直线l:xa+yb=1a>0,b>0经过点1,2，可得1a+2b=1，
则a+b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，
当且仅当ba=2ab时，即b=2a=2+2时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为3+22，
此时b=2a，则ab=22.
故答案为：22.
变式5．（2024高二上·全国·专题练习）已知两点A(3,0),B(0,4)，动点P(x,y)在线段AB上运动，则xy的取值范围为 ．
【答案】[0,3]
【分析】由截距得直线线段AB方程即x,y的关系，用代入法化xy为关于x的二次函数，利用二次函数性质得其范围．
【详解】线段AB方程为x3+y4=1(0≤x≤3)，于是y=4(1-x3)(0≤x≤3)，
从而xy=4x⋅(1-x3)=-43(x-32)2+3，
显然当x=32时，xy取最大值3；当x=0或3时，xy取最小值0．
故答案为：[0,3]．
变式6.（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线l：2x-3y+1=0，则（ ）
A．l不过原点B．l的横截距为12
C．l的斜率为23D．l与坐标轴围成的三角形的面积为3
【答案】AC
【分析】根据直线方程的确定点是否再直线上可判断A，由横截距、斜率的概念可判断B，C，由横纵截距求解l与坐标轴围成的三角形的面积可判断D.
【详解】已知直线l：2x-3y+1=0，
对于A，原点0,0不满足直线方程，故l不过原点，故A正确；
对于B，当y=0时，x=-12，故l的横截距为-12，故B不正确；
对于C，直线l的方程可化为y=23x+13，则l的斜率为23，故C正确；
对于D，当x=0时，y=13，则l与坐标轴围成的三角形的面积为12×-12×13=112，故D不正确.
故选：AC.
变式7．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l：y=3x-1，则（ ）
A．直线l过点3,-2
B．直线l的斜率为3
C．直线l的倾斜角为60∘
D．直线l在y轴上的截距为1
【答案】BC
【分析】根据直线方程逐项判断.
【详解】对于A，将3,-2代入y=3x-1，可知不满足方程，故A不正确；
对于B，由y=3x-1，知直线l的斜率为3，故B正确；
对于C，设直线l的倾斜角为α，则tanα=3，可得α=60∘，故C正确；
对于D，由y=3x-1，令x=0，可得直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确．
故选：BC
【方法技巧与总结】
直线的截距式方程
我们把直线与x轴的交点（a，0）的横坐标a称为直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
方程xa+yb=1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以称为直线的截距式方程.
截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线.
（2）直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如x2-y3=-1就不是直线的截距式方程.
（3）由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便.
（4）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负.
【题型5：直线的一般式方程】
例5．(多选)（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知直线l:Ax+By+C=0，其中A,B不全为0，则下列说法正确的是（ ）
A．当C=0时，l过坐标原点
B．当AB>0时，l的倾斜角为锐角
C．当B=0,C≠0时，l和x轴平行
D．若直线l过点P(x0,y0)，直线l的方程可化为Ax-x0+By-y0=0
【答案】AD
【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为x=-CA可知；选项D，由直线l过点P(x0,y0)，得C=-Ax0-By0，代入直线方程可得.
【详解】选项A，当C=0时，x=0y=0是方程Ax+By=0的解，
即l过坐标原点，故A正确；
选项B，当AB>0时，直线l:Ax+By+C=0的方程可化为y=-ABx-CB，
则直线的斜率k=-AB<0，l的倾斜角为钝角，故B错误；
选项C，当B=0,C≠0时，由A,B不全为0，A≠0，
直线l:Ax+By+C=0的方程可化为x=-CA，
故直线l和x轴垂直，不平行，故C错误；
选项D，直线l过点P(x0,y0)，则Ax0+By0+C=0，
可得C=-Ax0-By0，代入直线方程l:Ax+By+C=0，
得Ax+By-Ax0-By0=0，即Ax-x0+By-y0=0，故D正确.
故选：AD.
变式1．（多选）（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线l:Ax+By+C=0（A,B不同时为0），则（ ）
A．当A=0,B≠0时，l与x轴垂直
B．当A≠0,B=0,C=0时，l与y轴重合
C．当C=0时，l过原点
D．当A>0,B>0时，l的倾斜角为锐角
【答案】BC
【分析】根据直线方程的特征一一分析即可.
【详解】对于A：当A=0,B≠0时直线l:By+C=0（B≠0），即y=-CB，表示与x轴平行（重合）的直线，故A错误；
对于B：当A≠0,B=0,C=0时直线l:Ax=0，即x=0，即l与y轴重合，故B正确；
对于C：当C=0时直线l:Ax+By=0，此时x=0y=0满足方程Ax+By=0，即l过原点，故C正确；
对于D：当A>0,B>0时直线l:Ax+By+C=0，即y=-ABx-CB，斜率k=-AB<0，
所以l的倾斜角为钝角，故D错误；
故选：BC
变式2．（22-23高二·全国·随堂练习）已知直线l:Ax+By+C=0（其中A，B不全为0）．
(1)写出直线l的一个法向量的坐标．
(2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
(3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？
(4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
【答案】(1)A,B；
(2)C=0，A,B不全为零；
(3)A=0,B≠0,C∈R；
(4)A≠0,B≠0,C≠0.
【分析】（1）根据直线的方向向量，即可求得法向量.
（2）根据点0,0满足直线方程，即可求得结果.
（3）根据直线斜率为零，即可求得结果.
（4）由直线的横纵截距都存在且不为0，即可求得结果.
【详解】（1）因为直线Ax+By+C=0的一个方向向量为B,-A，
显然向量A,B满足A⋅B+B⋅(-A)=0，即向量A,B与向量B,-A垂直，
所以该直线的一个法向量可以为A,B.
（2）若直线Ax+By+C=0经过原点，即0,0满足直线方程，即C=0，
所以C=0，A,B不全为零.
（3）若直线l与x轴平行或重合，则其斜率为零，显然B≠0,-AB=0，
所以A=0,B≠0,C∈R.
（4）若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则直线l的横纵截距都存在且不为0，则A≠0,B≠0,-CB≠0，
所以A≠0,B≠0,C≠0.
变式3．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）已知方程m2-2m-3x+2m2+m-1y+6-2m=0m∈R．
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．
【答案】(1)mm≠-1；
(2)m=12；3x-4=0；
(3)-53；
(4)43
【分析】（1）先令x，y的系数同时为零时得到m=-1，即得m≠-1时方程表示一条直线；
（2）由（1）知m=12时y的系数为零，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
（3）由（1）知x的系数不为零时，直线在x轴上的截距存在，解得截距构建关系，即解得参数m；
（4）由（1）知，y的系数为零时，直线的斜率存在，解得斜率构建关系式，解得参数m.
【详解】（1）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线．
令m2-2m-3=0，解得m=-1或m=3；
令2m2+m-1=0，解得m=-1或m=12．
所以x，y的系数同时为零时m=-1，
故若方程表示一条直线，则m≠-1，
即实数m的取值范围为mm≠-1；
（2）当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在，
由（1）知当m=12时，2m2+m-1=0且m2-2m-3≠0，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为3x-4=0；
（3）易知m≠-1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在.
依题意，令y=0，得直线在x轴上的截距2m-6m2-2m-3=-3，解得m=-53，（m=3舍去）．
所以实数m的值为-53；
（4）易知m≠-1且m≠12时，直线的斜率存在，
方程即y=-m2-2m-32m2+m-1x-6-2m2m2+m-1m∈R，
故斜率为-m2-2m-32m2+m-1.
因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以-m2-2m-32m2+m-1=1，解得m=43，（m=-1舍去）．
所以实数m的值为43．
变式4．（23-24高二上·甘肃武威·期中）直线xcsα-3y-2=0的斜率的取值范围是 ．
【答案】-33,33
【分析】根据余弦函数值域，结合直线斜率即可得到答案.
【详解】因为csα∈-1,1，
所以直线xcsα-3y-2=0的斜率k=csα3∈-33,33．
故答案为：-33,33.
变式5．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l：3x+y-1=0的倾斜角为α，则csα= .
【答案】-1010
【分析】由直线方程求直线的斜率，即可得倾斜角α的正切，进而求出csα的值.
【详解】由题可知直线l：3x+y-1=0的斜率为-3，
即tanα=-3，因为α∈0,π，所以csα=-1010.
故答案为：-1010.
变式6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：2x-y+1=0与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转45∘得到直线l'，则直线l'的方程为（ ）
A．2x+y-1=0B．3x-y+1=0
C．3x+y-1=0D．x+3y-3=0
【答案】C
【分析】设直线l：2x-y+1=0的倾斜角为θ，可得tanθ=2，从而利用两角和的正切公式求出直线l'的斜率，由直线的点斜式方程，即可得答案.
【详解】设直线l：2x-y+1=0的倾斜角为θ,0∘≤θ<180∘，则tanθ=2，
由题意可得A(0,1)，直线l'的倾斜角为θ+45∘，
则直线l'的斜率为tanθ+45∘=tanθ+tan45∘1-tanθ⋅tan45∘=tanθ+11-tanθ=2+11-2=-3，
所以直线l'的方程为y-1=-3(x-0)，即3x+y-1=0，
故选：C
【方法技巧与总结】
二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响
当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行.
当A≠0，B=0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直.
当A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合.
当A≠0，B=0，C=0时，方程表示的直线与y轴重合.
（5）当C=0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点.
【题型6：直线与坐标轴围成三角形问题】
例6．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线3x+4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为32，则b=（ ）
A．6B．6或-6
C．-6D．2或12
【答案】B
【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得.
【详解】令x=0，得y=b4；令y=0,得x=b3．
故与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×b4×b3=32，解得b=±6.
故选：B
变式1．（多选）（21-22高二上·浙江嘉兴·期中）直线l的方程为：x=my+1，则（ ）
A．直线l恒过定点1,0
B．直线l斜率必定存在
C．m=3时直线l的倾斜角为60∘
D．m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14
【答案】AD
【分析】对于A，把点1,0代入直线方程验证即可；对于B，当m=0时，直线的斜率不存在，故B错误；对于C，根据解析式，求出斜率，即可求得倾斜角；对于D，求出直线在坐标轴上的坐标，即可计算三角形的面积.
【详解】因为直线l的方程为：x=my+1，
把1,0代入得1=0×m+1，恒成立，故A正确；
当m=0时，直线方程为x=1，直线的斜率不存在，故B错误；
当m=3时，直线的斜率k=33=tanπ6，倾斜角为π6，故C错误；
当m=2时，直线方程为x=2y+1，
则与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点为(0,-12)，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S=1×122=14，故D正确，
故选：AD.
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为3x+4y-12=0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为 ．
【答案】6
【分析】分别求出直线与坐标轴的交点A,B的坐标，从而可求出△AOB的面积.
【详解】直线l的方程为3x+4y-12=0，
令x=0，得y=3，令y=0，得x=4，
不妨令A4,0，B0,3，则S△AOB=12×4×3=6．
故答案为：6
变式3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ．
【答案】4x+5y-20=0或4x-5y+20=0．
【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可．
【详解】由题意可设直线方程为xa+y4=1(a≠0)，
则12×4|a|=10，即a=±5，
所以直线方程为x5+y4=1或x-5+y4=1，
所以直线的一般式方程4x+5y-20=0或4x-5y+20=0．
故答案为：4x+5y-20=0或4x-5y+20=0．
变式4．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
【答案】y=16x+1或y=16x-1
【分析】根据直线的斜距式方程，可得x,y轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解.
【详解】设直线方程为y=16x+b，则x=0时，y=b,y=0时，x=-6b.
由已知可得12b-6b=3，
即6b2=6，∴b=±1.
故所求直线方程为y=16x+1或y=16x-1
变式5．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为-2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程．
【答案】y=-2x+4或y=-2x-4
【分析】直线l的斜截式方程为y=-2x+b，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形面积，解出b的值得方程.
【详解】设直线方程为y=-2x+b，则令x=0得y=b；令y=0得x=b2，
由题意得12b⋅b2=4，即b2=16，所以b=±4，
所以直线l的方程为y=-2x+4或y=-2x-4.
变式6．（22-23高二下·湖南长沙·期中）已知△ABC的三个顶点分别为A0,4，B-2,6，C-8,0.
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】(1)x-2y+8=0，x+y-4=0
(2)25
【分析】（1）由截距式直线方程与两点式直线方程即可写出直线方程；
（2）先将直线BD方程求出，再写出截距式直线方程即可求三角形面积.
【详解】（1）由截距式，得边AC所在直线的方程为x-8+y4=1，即x-2y+8=0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为y-46-4=x-0-2-0，即x+y-4=0.
（2）由题意，得点D的坐标为-4,2，
由两点式，得边BD所在直线的方程为y-26-2=x--4-2--4，
即2x-y+10=0，所以x-5+y10=1.
所以直线BD与坐标轴围成的三角形的面积S=12×5×10=25.
变式7．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点P-1,-2的直线l可表示为mx+1+ny+2=0，若直线l与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】
先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案.
【详解】mx+1+ny+2=0可化为mx+ny+m+2n=0①，
要使l与两坐标轴能围成三角形，则mn≠0且m+2n≠0，
由①令x=0得y=-m+2nn；令y=0得x=-m+2nm，
依题意，12×-m+2nn×-m+2nm=12×m+2nn×m+2nm=12×m2+4mn+4n2mn
=12×mn+4nm+4=6，所以mn+4nm+4=12或mn+4nm+4=-12,
所以mn+4nm=8或mn+4nm=-16，
设t=mn，则t+4t=8或t+4t=-16，
则t2-8t+4=0或t2+16t+4=0
解得t=8±64-162或t=-16±256-162，
即t=4±23或t=-8±215，
即mn=4±23或mn=-8±215，
所以这样的直线有4条.
故选：D
变式8．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f(x)=k(x-2)+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有二条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中，所有真命题的序号是（ ）．
A．①②③B．③④C．②④D．②③④
【答案】D
【分析】
根据题意，求得△AOB的面积为S△AOB=12×(2k-3)2k，结合基本不等式，求得k>0时，得到当且仅当k=32时，等号成立，所以S△AOB≥0；当k<0时，S△AOB>12时，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
由正弦y=k(x-2)+3与x和y轴交点的坐标分别为A(2-3k,0),B(0,3-2k)，
所以△AOB的面积为S△AOB=122-3k3-2k=12×(2k-3)2k，
当k>0时，S△AOB=12×4k2-12k+9k=12×(4k+9k-12)≥12(24k⋅9k-12)=0，
当且仅当k=32时，等号成立，所以S△AOB≥0，
所以，当S△AOB=m>0，结合对勾函数性质，在k>0时k有两个值，
当k<0时，S△AOB=12×4k2-12k+9-k=12×[(-4k)+9-k+12)≥124k⋅9k+12)=12，
当且仅当k=-32时取等号，当S△AOB=m>12时，在k<0时，k有两个值，
所以，当m=0时，k=32，则直线过原点，不存在△AOB的面积为m，所以故①不正确；
当0当m=12 时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，所以③正确；
当m>12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，所以④正确；
综上所述，真命题的序号是②③④.
故选：D.
【题型7：直线过定点问题】
例7．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知直线的方程是y+2=-x-1，则（ ）
A．直线经过定点2,-1，斜率为-1B．直线经过定点1,-2，斜率为-1
C．直线经过定点-2,-1，斜率为1D．直线经过定点-1,-2，斜率为-1
【答案】D
【分析】根据直线的点斜式方程，即可得到答案.
【详解】直线的方程y+2=-x-1可化为y--2=-x--1，
所以直线过定点-1,-2，斜率为-1．
故选：D
变式1．（22-23高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．(-2,3)B．(2,3)C．(2,-3)D．(-2,-3)
【答案】B
【分析】直线方程即k(2x+y-1)+(-x+3y+11)=0，一定经过2x-y-1=0和-x-3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．
【详解】直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0
即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0，
根据k的任意性可得2x-y-1=0-x-3y+11=0，解得x=2y=3，
∴不论k取什么实数时，直线(2k-1)x+(k+3)y-(k-11)=0都经过一个定点(2,3)．
故选：B
变式2．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数m取何值，直线l:x+m+1y+1=0都经过一个定点，则该定点坐标为 .
【答案】-1,0
【分析】变形得到方程组，求出定点坐标.
【详解】令x+1=0y=0，解得x=-1y=0，故l:x+m+1y+1=0经过的定点坐标为-1,0.
故答案为：-1,0
变式3．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）无论实数λ取何值，直线2λ-1x+λ+3y-λ-11=0恒过定点 .
【答案】2,-3
【分析】
将直线方程化为λ2x+y-1-x-3y-11=0，进而分析求解.
【详解】由2λ-1x+λ+3y-λ-11=0，可得λ2x+y-1-x-3y-11=0，
令2x+y-1=0x-3y-11=0，解得x=2y=-3，
所以直线2λ-1x+λ+3y-λ-11=0恒过定点2,-3.
故答案为：2,-3.
变式4．（23-24高二上·北京·期中）无论a取何值，直线ax+y-a-2=0恒经过一个定点P，P的坐标为 ，经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
【答案】 1,2 x+y-3=0或y=2x
【分析】将直线方程转化为ax-1+y-2=0，即可得出定点坐标，然后根据截距的概念分类讨论求直线方程即可.
【详解】直线ax+y-a-2=0，即ax-1+y-2=0，
所以直线过定点1,2，即点P的坐标.
过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程,
当截距为0时，直线的方程即：y=2x；
当截距不为0时，设截距为m，直线方程为：xm+ym=1，
点P1,2在直线上，所以1m+2m=1，解得m=3，
此时直线方程为x3+y3=1，即x+y-3=0，
故直线方程为：x+y-3=0或y=2x.
故答案为：1,2；x+y-3=0或y=2x.
变式5．（23-24高二上·广东惠州·期中）直线l:(m+2)x+(1-2m)y+6m-3=0过定点 .
【答案】0,3
【分析】首先整理可得m(x-2y+6)+2x+y-3=0，解方程组x-2y+6=02x+y-3=0即可得解.
【详解】由m+2x+1-2my+6m-3=0可得：
m(x-2y+6)+2x+y-3=0，
所以x-2y+6=02x+y-3=0，
解得x=0,y=3，所以定点坐标为0,3，
故答案为：0,3.
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第 象限.
【答案】二
【分析】
根据题意，将直线方程变形，列出方程代入计算，即可得到结果.
【详解】直线方程可变形为：(3x-y+7)+a(x+2y)=0，
由3x-y+7=0x+2y=0，求得x=-2y=1，
∴直线过定点(-2,1)，因此直线必定过第二象限，
故答案为：二.
变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线l:a-1y=2a-3x+1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)a≤1
【分析】（1）由方程变形可得a2x-y-3x+y+1=0，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图像可得解.
【详解】（1）由l:a-1y=2a-3x+1，即a2x-y-3x+y+1=0，
则2x-y=0-3x+y+1=0，解得x=1y=2，
所以直线过定点1,2；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当a=1时，直线斜率不存在，方程为x=1，不经过第二象限，成立；
当a≠1时，直线斜率存在，方程为y=2a-3a-1x+1a-1，
又直线不经过第二象限，则2a-3a-1>01a-1≤0，解得a<1；
综上所述a≤1.
变式8．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线l的方程为：2m+1x+m+1y-7m-4=0.
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)8+210
【分析】（1）将直线方程改写成m2x+y-7+x+y-4=0形式，解方程组2x+y-7=0x+y-4=0即可得解.
（2）设直线l1的方程为y-1=kx-3k<0，求出点A,B坐标，表示出△AOB面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解.
【详解】（1）证明：由2m+1x+m+1y-7m-4=0可得：m2x+y-7+x+y-4=0，
令2x+y-7=0x+y-4=0⇒x=3y=1，
所以直线l过定点M3,1．
（2）由（1）知，直线l1恒过定点M3,1，
由题意可设直线l1的方程为y-1=kx-3k<0，设直线l1与x轴，y轴正半轴交点为A,B，
令x=0，得yB=1-3k；令y=0，得xA=3-1k，
所以△AOB面积 S=121-3k3-1k=12-9k+-1k+6 ≥122-9k-1k+6=6，
当且仅当-9k=1-k，即k=-13时，△AOB面积最小，
此时A6,0，B0,2，|AB|=62+22=210，
△AOB的周长为6+2+210=8+210.
所以当△AOB面积最小时，△AOB的周长为8+210.
变式9．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线l1:kx-y-3-4k=0k∈R过定点P．
(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2方程；
(2)若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△ABC的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l1的方程．
【答案】(1)x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0
(2)最小值为24，直线l1:3x-4y-24=0
【分析】（1）求出直线l1过的定点，分a≠0，b≠0和a=b=0两种情况，当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa+yb=1，根据Q点4,-3在直线上求出直线方程，若a=b，求出直线方程，若a=-b，求出直线方程，当a=b=0，根据直线过原点，且过点4,-3求出直线的方程；
（2）求出直线l1交x轴的正半轴的点，交y轴的负半轴的点，求出△AOB的面积，根据基本不等式求出S的最小值时k的值.
【详解】（1）直线l1:y+3=kx-4，则直线l1过定点P4,-3，
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa+yb=1．
Q点4,-3在直线上，∴4a+-3b=1．
若a=b，则a=b=1，
∴直线的方程为x+y=1，
若a=-b，则a=7，b=-7，
∴直线的方程为x-y=7；
②当a=b=0时，直线过原点，且过点4,-3，
∴直线的方程为3x+4y=0，
综上所述，所求直线l的方程为x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0；
（2）令y=0，则x=4k+3k；令x=0，则y=-4k-3，
直线l1交x轴的正半轴于点A4k+3k,0，交y轴的负半轴于点B0,-4k-3，k>0，
O为坐标原点，设△AOB的面积为S，
则S=12⋅OA⋅OB=12⋅4k+3k⋅4k+3=12⋅16k+24+9k≥12⋅24+2⋅16k⋅9k=24，
当且仅当16k=9k时，即k=34时取等号，
故S的最小值为24，此时k=34，
直线l1:3x-4y-24=0．
【题型8：一般式方程与象限问题】
例8．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线l方程为y=x+1，l绕点0,1顺时针旋转518π，得到直线l2，则l2不过第（ ）象限.
A．一B．二C．三D．四
【答案】C
【分析】显然直线l2依然过定点0,1，故只需得出只需l2的倾斜角，以此来判断斜率即可得解.
【详解】直线l方程为y=x+1，它的倾斜角为45∘，l绕点0,1顺时针旋转518π，即l绕点0,1顺时针旋转50∘，得到直线l2，
则直线l2依然过定点0,1，且直线l2与x轴负半轴夹角为50∘-45∘=5∘，这意味着l2的倾斜角为175∘，这表明l2的斜率小于0，
所以l2不过第三象限.
故选：C.
变式1．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）关于一次函数y=kx+bk>0，下列结论正确的有（ ）
A．当b>0时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当b<0时，函数图象经过第一、三、四象限
C．∀b∈R，函数图象必经过第一、三象限
D．∀b∈R，函数在R上恒为减函数
【答案】ABC
【分析】根据k,b的正负判断函数的单调性及所过象限.
【详解】若k>0，b>0，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确；
若k>0，b<0，则函数图象经过第一、三、四象限，B正确；
若k>0，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误．
故选：ABC
变式2．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数B．任何直线都存在斜率和倾斜角
C．直线的一般式方程为Ax+By+C=0D．任何一条直线至少要经过两个象限
【答案】BCD
【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，直线的倾斜角α∈(π2,π)，则其斜率k=tanα<0，A正确；
对于B，倾斜角为π2的直线不存在斜率，B错误；
对于C，直线的一般式方程为Ax+By+C=0，A2+B2≠0，C错误；
对于D，当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.
故选：BCD
变式3．（多选）（23-24高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知直线l的方程是Ax+By+C=0（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（ ）
A．A2+C2≠0
B．若C=-A，则直线l过定点(1,0)
C．若A⋅B<0且B⋅C>0，则直线l不过第二象限
D．若AC>0，则直线l必过第二、三象限
【答案】BCD
【分析】对于A：举例分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于CD：根据直线斜率和截距分析判断.
【详解】选项A：例如y=0（x轴），可得A=C=0,B≠0，则A2+C2=0，故A错误；
选项B：若C=-A，则Ax+By-A=Ax-1+By=0，
当x=1,y=0时，式子恒成立，
所以直线l过定点(1,0)，故B正确；
选项C：若A⋅B<0且B⋅C>0，则y=-ABx-CB，且-AB>0,-CB<0，
即直线l的斜率大于0，纵截距小于0，
所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确；
选项D：若AC>0，则x=-BAy-CA，且-CA<0，
即直线l的斜率不为0，横截距小于0，
所以直线l必过第二、三象限，故D正确；
故选：BCD．
变式4．（多选）（23-24高二上·新疆·期中）已知abc≠0，直线l:ax+by+c=0经过第一、二、四象限，则（ ）
A．ab>0B．bc<0C．ac<0D．a<0
【答案】ABC
【分析】先将直线方程转化为点斜式直线方程，根据直线所过象限列出关于斜率、纵截距的不等式进行求解即可.
【详解】将直线l的方程转化为y=-abx-cb，因为l经过第一、二、四象限，
所以-ab<0,-cb>0,即ab>0，bc<0，ac<0.
对D，若a>0，则b>0，c<0，满足题意，故D错误.
故选：ABC.
变式5．（多选）（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如果AB<0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0经过的所有象限是 ．
【答案】一，三，四
【分析】将直线方程化为斜截式，即可得到斜率与纵截距，从而判断.
【详解】因为AB<0，BC>0，所以A，B，C均不为零，
直线Ax+By+C=0即y=-ABx-CB，
所以-AB>0，-CB<0，所以直的斜率k=-AB>0且与y轴交于负半轴，
所以直线Ax+By+C=0经过一、三、四象限.
故答案为：一、三、四
变式6．（多选）（23-24高二上·安徽·期中）已知直线l:y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，纵截距分别为b1，b2，则下列说法正确的是（ ）
A．-1C．b1>b2D．b1b2>0
【答案】AC
【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断.
【详解】解：由图可知，k1<-1故选：AC．
【题型9：图象选择问题】
例9．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线ax+by+c=0的图象如图，则（ ）
A．若c>0，则a>0，b<0B．若c>0，则a<0，b>0
C．若c<0，则a>0，b>0D．若c<0，则a>0，b<0
【答案】C
【分析】将直线方程化为斜截式，则由图象可得-ab<0，-cb>0，从而分析判断.
【详解】易知b≠0，由直线ax+by+c=0，可得y=-abx-cb，
根据图象可得-ab<0，-cb>0，
若c<0，则a>0，b>0；
若c>0，则a<0，b<0．
故选：C
变式1．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线l1:y=ax-b,l2:y=bx+a，当a,b满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由两直线的解析式可得直线l1的斜率为a、纵截距为-b，l2的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】选项A，由l1的图象可知，a<0，-b>0，由l2的图象可知，b>0，a>0，
不成立，A错误；
选项B，由l1的图象可知，a>0，-b>0，由l2的图象可知，b<0，a>0，
可能成立，B正确；
选项C，由l1的图象可知，a<0，-b>0，由l2的图象可知，b<0，a>0，
不成立，C错误；
选项D，由l1的图象可知，a>0，-b>0，由l2的图象可知，b>0，a>0，
不成立，D错误.
故选：B.
变式2．（20-21高二上·天津武清·阶段练习）直线l1：ax-y+b=0与l2：bx-y+a=0（其中a≠0，b≠0，a≠b），在同一坐标系中的图象是图中的（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】首先将直线方程化为斜截式，再结合各选项一一判断.
【详解】直线l1：ax-y+b=0，即y=ax+b，kl1=a且与y轴交于点0,b，
直线l2：bx-y+a=0，即y=bx+a，kl2=b且与y轴交于点0,a，
对于A：直线l1中a>0，b>0，直线l2中a>0，b>0，且b>a，
则kl2>kl1，所以l2的倾斜角大于l1的倾斜角，不符合题意，故A错误；
对于B：直线l1中a>0，b>0，直线l2中a>0，b>0，且b>a，
则kl2>kl1，所以l2的倾斜角大于l1的倾斜角，符合题意，故B正确；
对于C：直线l1中a<0，b>0，直线l2中a>0，b>0，矛盾，故C错误；
对于D：直线l1中a>0，b<0，直线l2中a>0，b>0，矛盾，故D错误；
故选：B
变式3．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：xA+yB=C，则以下四个情况中，可以使l的图象如下图所示的为（ ）
A．A>0，B<0，C>0B．A<0，B<0，C>0
C．A<0，B<0，C<0D．A>0，B<0，C<0
【答案】D
【分析】由直线方程求出直线在坐标轴上的截距，再根据图象列不等式可求得结果.
【详解】由xA+yB=C，当x=0时，y=BC，
当y=0时，x=AC，
由图可知BC>0AC<0，
所以当C<0时，A>0,B<0，当C>0时，A<0,B>0，
所以ABC错误，D正确，
故选：D
变式4．（2021高二·全国·专题练习）方程y=ax+1a表示的直线可能是图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分a<0、a>0两种情况讨论，分析直线y=ax+1a的斜率及其在y轴上的截距，由此可得出结果.
【详解】直线y=ax+1a的斜率为a，在y轴上的截距为1a，则a≠0.
当a>0时，直线y=ax+1a的斜率a>0，该直线在y轴上的截距1a>0，四个选项都不符合；
当a<0时，直线y=ax+1a的斜率a<0，该直线在y轴上的截距1a<0，B选项符合.
故选：B.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）直线xm-yn=1与xn-ym=1m≠n在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项；
【详解】易知直线xm-yn=1的斜率为nm，直线xn-ym=1的斜率为mn，
于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，
检验4个选项，知只有B选项满足题意．
故选：B.
变式6．（23-24高一上·四川绵阳·开学考试）一次函数l2:y=kx+b与l1:y=kbx(k,b为常数，且kb≠0)，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可．
【详解】对于选项A中，直线l1的kb>0,直线l2的k>0,b<0,kb<0∴A错；
对于选项B中，直线l1的kb>0,直线l2的k<0,b>0,kb<0，∴B错；
对于选项C中，直线l1的kb<0,直线l2的k<0,b>0,kb<0∴C对；
对于选项D中，直线l1的kb<0,直线l2的k>0,b>0,kb>0∴D错．
故选：C．
变式7．（多选）（21-22高二上·江苏南通·阶段练习）直线l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0ab≠0,a≠b，下列图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线l1:y=ax-b,l2:y=bx+aab≠0,a≠b，
A选项，由图可知：l1:a<0-b>0⇒a<0b<0,l2:a>0b>0，所以A选项错误.
B选项，由图可知：l1:a>0-b<0⇒a>0b>0,l2:a>0b>0，所以B选项正确.
C选项，由图可知：l1:a>0-b>0⇒a>0b<0,l2:a>0b<0，所以C选项正确.
D选项，由图可知：l1:a<0-b>0⇒a<0b<0,l2:a>0b<0，所以D选项错误.
故选：BC
【题型10：最值问题】
例题10．（21-22高一下·四川德阳·阶段练习）已知过定点直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．x-2y-7=0B．x-2y+7=0C．2x+y-6=0D．x+2y-6=0
【答案】C
【分析】由题意可知，k<0，求出直线kx-y+4-k=0与两坐标轴的交点A0,4-k，B1-4k,0，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【详解】直线kx-y+4-k=0可变为kx-1-y+4=0，所以过定点P1,4，又因为直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值，可知k<0，
令x=0,y=4-k，所以直线与y轴的交点为A0,4-k，
令y=0,x=1-4k，所以直线与x轴的交点为B1-4k,0，
所以4-k+1-4k=5+-k+-4k≥5+2-k⋅-4k=5+4=9，
当且仅当-k=-4k即k=-2时取等，所以此时直线为：2x+y-6=0.
故选：C.
变式1．（20-21高二上·重庆黔江·阶段练习）在平面直角坐标系中有两个定点A(1,5)、B(4,1)，若在y轴有一动点P，使得PA+PB值最小，此时P点坐标为（ ）
A．215,0B．72,0C．0,72D．0,215
【答案】D
【分析】同侧求最短问题，先求A(1,5)关于y轴的对称点C-1,5，由B,C求出直线方程，令x=0即可.
【详解】A(1,5)关于y轴的对称点C-1,5，又B(4,1)，kBC=5-1-1-4=-45，故过B,C的直线方程为y=-45x+1+5，当x=0时，y=215，使得PA+PB值最小，故P点为0,215.
故选：D
变式2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线ax+y-2=0与过定点B的直线x-ay+4a-2=0交于点P(P与A、B不重合)，则△PAB面积的最大值为（ ）
A．2B．22C．2D．4
【答案】C
【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值.
【详解】由题意可知，动直线ax+y-2=0经过定点A0,2，
动直线x-ay+4a-2=0即x-2+(-y+4)a=0，经过点定点B2,4，
∵过定点A的直线ax+y-2=0与过定点B的直线x-ay+4a-2=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴有PA⊥PB，
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=8.故|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=4,当且仅当|PA|=|PB|=2时取等号，
所以△PAB面积的最大值为12×2×2=2.
故选:C.
变式3．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线2-mx+2m+1y+3m+4=0，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 .
【答案】2x+y+4=0
【分析】由题可得直线所过定点为-1,-2，则设直线为xa+yb=1，其中a,b<0，则问题转化为已知a,b<0，-1a-2b=1，求12ab的最小值，利用基本不等式可得答案.
【详解】2-mx+2m+1y+3m+4=0⇔2y-x+3m+2x+y+4=0
⇒2y-x+3=02x+y+4=0⇒x=-1y=-2，即直线所过定点为-1,-2.
由题设直线方程为：xa+yb=1，其中a,b<0，则Aa,0,B0,b,-1a-2b=1.
由基本不等式，1=1-a+2-b≥22ab⇒ab≥8，△AOB面积12|ab|的最小值为4，
当且仅当1-a=2-b，即a=-2,b=-4时取等号.
则三角形AOB面积最小时直线方程为x-2+y-4=1⇔2x+y+4=0
故答案为：2x+y+4=0
变式4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设m为实数，直线2m+1x+m+1y-5m-3=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求l1的方程．
【答案】(1)证明见解析，(2 ， 1)
(2)y=-22x+2+1
【分析】（1）列出方程m(2x+y-5)+x+y-3=0，解方程组2x+y-5=0x+y-3=0，可求出定点；
（2）设出直线l1的方程xa+yb=1 (a>0 ， b>0)，将点M(2 ， 1)代入，可得2a+1b=1 ，利用基本不等式可求得a+b取最小值时的a，b，从而得解.
【详解】（1）因为直线（2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0，
所以m(2x+y-5)+x+y-3=0，对∀m∈R恒成立，
从而由2x+y-5=0x+y-3=0，解得x=2y=1，从而直线过定点M(2 ， 1).
（2）由题意设l1:xa+yb=1 (a>0 ， b>0)，
因为直线l1过定点(2 ， 1)，所以2a+1b=1 ，
l1与两坐标轴的正半轴的截距之和为a+b，
∴a+b=(a+b)(2a+1b)=3+2ba+ab≥3+22，当且仅当ab=2ba，
即a=2+2 ， b=2+1时等号成立，
从而l1的方程为x2+2+y2+1=1，即y=-22x+2+1.
变式5．（2022高二上·全国·专题练习）已知直线l的方程为：2+mx+1-2my+4-3m=0．
(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)2x+y+4=0
【分析】（1）列出方程x-2y-3m+2x+y+4=0，分别令x-2y-3=0，2x+y+4=0可求出定点；
（2）先令y=0，x=k-2-k，令x=0，y=k-2，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）证明：∵直线l的方程为：2+mx+1-2my+4-3m=0
∴提参整理可得：x-2y-3m+2x+y+4=0．
令x-2y-3=02x+y+4=0，可得x=-1y=-2，
∴不论m为何值，直线必过定点M-1,-2.
（2）设直线l1的方程为y=kx+1-2(k<0)．
令y=0， 则x=k-2-k，
令x=0，．则y=k-2，
∴直线l1与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积S=12k-2-kk-2=12-k+4-k+4≥122-k⋅4-k+4=4．
当且仅当-k=4-k，即k=-2时，三角形面积最小．
此时l1的方程为2x+y+4=0．
变式6．（21-22高二·全国·课后作业）求经过点P1,4，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)在两坐标轴上的截距相等；
(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．
【答案】(1)x+y=5或y=4x
(2)2x+y-6=0
【分析】（1）分过O(0,0)时，不过O(0,0)时两种情况讨论，由过点(1,4)求解即可；
（2）设出直线方程的截距式，把经过的点P(1,4)的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．
【详解】（1）①当过O(0,0)时，两坐标轴上截距为0，k=4-01-0=4，
所以直线方程为l:y=4x；
②当直线不过原点时，设直线方程为xa+ya=1，即x+y=a，
∵过点A(1,4)，∴1+4=a，a=5，∴直线方程l:x+y=5.
综上：直线方程l:x+y=5或y=4x
（2）设直线的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，则有1a+4b=1，
∴a+b=(a+b)×1=(a+b)×(1a+4b)=5+ba+4ab⩾5+4=9，
当且仅当ba=4ab，即a=3，b=6时取“=”．
∴直线方程为2x+y-6=0．
变式7．（21-22高二·全国·课后作业）过点P1,2作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若△AOB是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①OA+OB最小，②△AOB面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
【答案】(1)x+y-3=0
(2)选①：2x+y-2-2=0；选②：2x+y-4=0.
【分析】（1）由题意，求出直线l的倾斜角为3π4，进而可得直线l的斜率，最后利用点斜式即可写出直线l的方程；
（2）设A(a,0)，B(0,b) (a,b>0)，直线l的方程为xa+yb=1，把点P(1,2)代入可得1a+2b=1，若选①：|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(1a+2b)=3+2ab+ba⩾3+22，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选②：1a+2b=1⩾22ab，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程．
【详解】（1）解：因为过点P1,2作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且△AOB是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角为3π4，
所以直线l的斜率为k=tan3π4=-1，
所以直线l的方程为y-2=-x-1，即x+y-3=0；
（2）解：设A(a,0)，B(0,b) (a,b>0)，直线l的方程为xa+yb=1，代入点P(1,2)可得1a+2b=1，
若选①：OA+OB=a+b=(a+b)(1a+2b)=3+2ab+ba≥3+22ab×ba=3+22，当且仅当a=2+1,b=2+2时等号成立，
此时直线l的斜率k=-ba=-2，
所以直线l的方程为y-2=-2x-1，即2x+y-2-2=0；
若选②：由1a+2b=1⩾22ab，可得ab⩾8，当且仅当a=2,b=4时等号成立，
所以S△AOB=12ab⩾4，即△AOB面积最小为4，
此时直线l的斜率k=-ba=-2，
所以直线l的方程为y-2=-2x-1，即2x+y-4=0.
一、单选题
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方程为x-y+12=0，则该直线的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【答案】B
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线x-y+12=0的斜率k=1，所以该直线的倾斜角为π4.
故选：B
2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）下列方程所表示的直线中，倾斜角为π4的是（ ）
A．2x-y-1=0B．x+2y-1=0
C．x-y-1=0D．x+y-1=0
【答案】C
【分析】将直线方程化成斜截式得到直线斜率，由此确定直线的倾斜角是否符合.
【详解】对于A项，直线的斜率为2，故直线的倾斜角不是π4，故A项错误；
对于B项，直线的斜率为-12，故直线的倾斜角不是π4，故B项错误;
对于C项，直线的斜率为1，故直线的倾斜角是π4，故C项正确；
对于D项，直线的斜率为-1，故直线的倾斜角不是π4，故D项错误.
故选：C.
3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线x-2y+2024=0在x轴上的截距为（ ）
A．-2024B．-1012C．1012D．2024
【答案】A
【分析】对直线方程，令y=0，即可求得x轴的截距.
【详解】对方程x-2y+2024=0，令y=0，得x=-2024，
故该直线在x轴上的截距为-2024.
故选：A．
4．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线a-2y=3a-1x-1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是（ ）
A．-∞,2B．(-∞,2]
C．(2,+∞)D．2,+∞
【答案】D
【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数a的不等式，求解不等式，即可得到答案．
【详解】若a-2=0，即a=2时，直线方程可化为x=15，此时直线不经过第二象限，满足条件；
若a-2≠0，直线方程可化为y=3a-1a-2x-1a-2 ，此时若直线不经过第二象限，则3a-1a-2>0且1a-2≥0，解得a>2，
综上满足条件的实数a的范围是2,+∞.
故选：D
5．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）当点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)距离的最大时，直线l的一般式方程是（ ）
A．3x+2y-5=0B．2x-3y+1=0C．3x+2y+5=0D．2x-3y+2=0
【答案】A
【分析】将直线方程变形为x+y-2+(3x+y-4)λ=0，得直线系恒过点A(1,1)，由此得到P到直线l的最远距离为|PA|，此时直线垂直于PA，即可求出直线方程．
【详解】因为直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0，
所以可将直线方程变形为x+y-2+(3x+y-4)λ=0，
∴ x+y-2=03x+y-4=0，解得x=1，y=1，
由此可得直线系恒过点A(1,1)
P到直线l的最远距离为|PA|，此时直线垂直于PA，∵ kPA=23，
∴直线l的斜率为-32，
∴ -1+3λ1+λ=-32，∴ λ=13，
∴直线l的一般方程为3x+2y-5=0．
故选：A
6．（24-25高二上·全国·课后作业）下列直线中过第一、二、四象限的是（ ）
A．y=2x+1B．y=12x+4C．y=-2x+4D．y=32x-3
【答案】C
【分析】根据直线经过的象限确定斜率及y轴截距判断选项即可.
【详解】若直线y=kx+b过第一、二、四象限，则k<0,b>0，
选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足k<0,b>0．
故选：C.
7．（23-24高二下·上海·阶段练习）“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直，
则1×a+a×-1=0，所以不管a为何值，两直线垂直，
所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
8．（21-22高二上·北京·期中）已知直线l的方程为x-my+2=0，则直线l（ ）
A．恒过点-2,0且不垂直x轴
B．恒过点-2,0且不垂直y轴
C．恒过点2,0且不垂直x轴
D．恒过点2,0且不垂直y轴
【答案】B
【分析】由直线l的方程，令y=0，对m分类讨论即可求解.
【详解】由直线l的方程为x-my+2=0，
令y=0，解得x=-2．
∴直线恒过点-2,0，
若m≠0，则直线y=1mx+2不垂直y轴，
若m=0，则直线x=-2不垂直于y轴，
综上所述，恒过点-2,0且不垂直y轴.
故选：B．
二、多选题
9．（23-24高二上·浙江湖州·期末）对于直线l：mx+ny-3m=0（m2+n2≠0，m,n∈R），下列说法正确的是（ ）
A．直线l的一个方向向量为n,-mB．直线l恒过定点3,0
C．当m=3n时，直线l的倾斜角为60°D．当m=-2且n>0时，l不经过第二象限
【答案】ABD
【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可.
【详解】对于A：直线l的一个方向向量为n,-m，A正确；
对于B：直线l的方程可化为mx-3+ny=0，所以直线l恒过定点3,0，B正确；
对于C：当m=3n时，直线l的斜率为-3，此时倾斜角为120∘，C错误；
对于D：当m=-2且n>0时，直线l为y=2nx-3，所以l不经过第二象限，D正确.
故选：ABD.
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点M-1,1，N1,3，直线l：mx+y-m+1=0与线段MN有交点，则m可以为（ ）
A．6B．2C．1D．-1
【答案】ABC
【分析】求得直线l恒过定点Q，求得斜率，结合图象可求得m的范围，进而可得结果.
【详解】由直线l：mx+y-m+1=0，可得y+1=-mx-1，
故过定点Q1,-1，斜率为-m，
所以kQM=1--1-1-1=-1,而QN的斜率不存在，
结合图形可知：-m≤-1，即m≥1.
故选：ABC.
11．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线x-y-2=0的倾斜角为π4
B．直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点1,4的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x-y+3=0
D．过1,4、x0,y0两点的直线方程为y-4y0-4=x-1x0-1
【答案】AB
【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD.
【详解】对于A，直线x-y-2=0的斜率为k=1，其倾斜角为π4，A正确；
对于B，直线x-y-2=0交x,y轴分别于点(2,0),(0,-2)，
该直线与坐标轴围成三角形面积为S=12×2×2=2，B正确；
对于C，过点1,4与原点(0,0)的直线y=4x在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点1,4且在两坐标轴上的截距之和为0的直线可以是直线y=4x，C错误；
对于D，当x0=1,y0≠4时的直线或当y0=4,x0≠1时的直线方程不能用y-4y0-4=x-1x0-1表示出，D错误.
故选：AB
三、填空题
12．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线l经过点A(0,1)，且倾斜角为直线y=3x-2的倾斜角的一半，则l的方程为 .
【答案】33x-y+1=0
【分析】根据直线倾斜角得到k=tanπ6=33，代入点坐标得到答案.
【详解】直线y=3x-2的倾斜角为α，α∈0,π，则tanα=3，α=π3，
直线l的倾斜角为α2=π6，k=tanπ6=33，直线过点A(0,1)，
故直线方程为y=33x+1，即33x-y+1=0.
故答案为：33x-y+1=0.
13．（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点-4,-1，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为 .
【答案】x+2y+6=0或x-4y=0
【分析】分截距为0和不为0两种情况求解.
【详解】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y=kx.
∵直线过点-4,-1，
∴-1=k-4，∴k=14，
即直线的方程为x-4y=0.
当截距均不为0时，设直线的方程为x2a+ya=1.
∵直线过点-4,-1，
∴42a+1a=1，解得a=-3，
即直线方程为x+2y+6=0.
综上，所求直线方程为x+2y+6=0或x-4y=0.
故答案为：x+2y+6=0或x-4y=0.
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知A3,4，B-1,0，则过AB的中点且倾斜角为120∘，直线的点斜式方程是 ．
【答案】y-2=-3x-1
【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果.
【详解】设AB的中点为M，则M1,2，
又斜率k=tan120∘=-3，
所以直线的点斜式方程为y-2=-3x-1．
故答案为：y-2=-3x-1
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·课堂例题）设l1,l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1,l2是否唯一.如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标(x,y)应该满足什么条件.
（1）已知l1的斜率不存在；
（2）已知l1的斜率不存在且l1过点A(-2,1)；
（3）已知l2的斜率为3；
（4）已知l2的斜率为3且l2过点B(1,2).
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，利用直线的方程的性质，逐个判定，并求得唯一的直线方程，即可求解.
【详解】对于（1）中，当直线l1的倾斜角为90∘时，直线l1的斜率不存在，这样的直线有无数条；
对于（2）中，当直线l1的斜率不存在且过点A(-2,1)时，直线l1的方程为x=-2，
这样的直线是唯一的，满足题意；
对于（3）中，直线l2的斜率为3的直线有无数条，表示一束平行线，不满足题意；
对于（4）中，当l2的斜率为3且l2过点B(1,2)，可得直线方程为y-2=3(x-1)，
即3x-y+2-3=0，这样的直线是唯一的，满足题意.
如图所示：
16．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l过点P43,2，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点.
(1)当OA=OB时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
【答案】(1)3x+3y-10=0；
(2)3x+4y-12=0或3x+y-6=0
【分析】（1）设直线l的截距式为xa+yb=1(a>0,b>0)，由题意列出方程组，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解.
【详解】（1）设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，且A(a,0),B(0,b)
由|OA|=|OB|，得a=b，由直线l过点P(43,2)，得43a+2b=1，解得a=103b=103，
所以直线l的方程为3x+3y-10=0.
（2）设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，且直线l不经过原点，
由题意知，ab=12，43a+2b=1，解得a=4b=3或a=2b=6，
所以直线l的方程为3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
17．（24-25高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线OA:x-y=0x≥0，过点P3,1作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．
(1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程；
(2)求△OAB面积的最小值．
【答案】(1)x+y-4=0
(2)4
【分析】（1）由题意可设Ax1,x1、Bx2,0，根据中点坐标公式可得x1=2，x2=4，进而可得直线方程；
（2）分类讨论直线斜率是否存在，求得A3k-1k-1,3k-1k-1，B3k-1k,0，即可得面积S△OAB=12⋅3k-1k⋅3k-1k-1，换元结合二次函数可得最大值.
【详解】（1）由题意可设Ax1,x1、Bx2,0，且x1、x2>0．
当AB的中点为P时，则x1+x2=2×3x1+0=2×1，解得x1=2，x2=4，
所以A2,2、B4,0．
所以直线AB的方程为y-20-2=x-24-2，即一般式方程为：x+y-4=0．
（2）当过点P3,1的直线斜率不存在时，A3,3、B3,0，
此时S△OAB=12OB⋅h=12×3×3=92．
当过点P3,1的直线斜率存在时，
设直线AB的方程为y-1=kx-3k≠1,k≠0．
直线AB与x-y=0x≥0相交，可得A3k-1k-1,3k-1k-1，
直线AB与x轴正半轴相交于B，可得B3k-1k,0．
由3k-1k-1>03k-1k>0，解得k>1或k<0．
则S△OAB=12OB⋅h=12xByA=12⋅3k-1k⋅3k-1k-1．
令t=3k-1，则k=13t+1（t>2或t<-1），
可得S△OAB=92×t2t2-t-2=92×11-1t-2t2，
由t>2或t<-1，可得0<1t<12或-1<1t<0，1-1t-2t2>0，
当1t=-14，即t=-4，k=-1时，1-1t-2t2=98，
即0<1-1t-2t2≤98，则S△OABmin=4，
此时A2,2、B4,0符合题意．
综上，S△OABmin=4．
18．（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3x+y=0或x+y+ 2=0．
(2)存在，(-∞,-1]．
【分析】（1）确定a≠-1，再分别求出直线l在x,y轴上的截距，列出方程求解即得.
（2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）当a=-1时，直线l平行于x轴，在x轴上无截距，不合题意，
则a≠-1，直线l在x,y轴上的截距分别为a-2a+1,a-2，
依题意，a-2a+1=a-2，解得a=2或a=0，
当a=2时，直线l的方程为3x+y=0，当a=0时，直线l的方程为x+y+2=0，
所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+ 2=0．
（2）假设存在实数a，使直线l不经过第二象限，
而直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2，
则有-(a+1)≥0a-2≤0，解得a≤-1，
所以存在实数a使直线l不经过第二象限，a的取值范围为(-∞,-1]．
19．（22-23高二上·四川南充·阶段练习）过点P43，2的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点.
(1)求△OAB面积的最小值以及面积最小时直线l的方程;
(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12，若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.
【答案】(1)最小值为163，3x+2y-8=0
(2)存在，3x+4y-12=0 或45x+24y-108=0
【分析】（1）设直线l:xa+yb=1，代入点坐标，利用均值不等式求解即可；
（2）结合43a+2b=1，以及周长为12列出方程组，求解即可.
【详解】（1）设 A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则直线l:xa+yb=1，
直线l过点P43，2 ，
则43a+2b=1，
故1=43a+2b≥283ab⇒ab≥323，
故 S△OAB=12ab≥163，
当且仅当43a=2b43a+2b=1，
即a=83b=4时取得等号，此时直线l:3x8+y4=1，
故S△OABmin=163，此时直线l的方程为3x+2y-8=0.
（2）假设存在满足条件的直线 l:xa+yb=1，a>0，b>0） ，
由已知有43a+2b=1a+b+a2+b2=12
解得a=4b=3 或a=125b=92
故存在满足条件的直线 l:3x+4y-12=0 或45x+24y-108=0
课程标准
学习目标
理解直线的倾斜角和斜率的概念，
2.掌握两点的直线斜率的计算公式，以及直线方程的五种形式。
1.重点:直线的倾斜角与斜率，直线方程的五种形式
2.难点:根据直线的斜率计算倾斜角，恰当地选择直线方程的某一种形式采用待定系数法确定直线方程。