人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程导学案，共10页。学案主要包含了圆的标准方程，点与圆的位置关系，待定系数法求圆的方程等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．
导语
同学们，生活中和圆形有关的事物很多，比如各种球的截面，大多水果的截面，各类硬币，以及同学们圆圆的脸蛋，唐代诗人李白在《古朗月行》中写道“小时不识月，呼作白玉盘，又疑瑶台镜，飞在青云端”，描写了小时候不认识月亮，把月亮比作飞在天空的圆圆的白玉盘或梳妆镜，今天我们就把圆放到坐标系中，看它有没有方程．
一、圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
确定圆的因素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
问题2 已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq \r(x－a2＋y－b2)＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
知识梳理
1．定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合称为圆，其中定点是圆心，定长为半径．
2．标准方程：在平面直角坐标系中，以C(a，b)为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
注意点：(1)圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
(2)单位圆：x2＋y2＝1.
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但圆的半径不变．
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
解 (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
问题3 点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
知识梳理
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
例2 (1)已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外
C．点P在圆C上 D．无法确定
答案 A
解析 由题意，得a＋b＝1，ab＝－eq \r(2)，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq \r(2)<8，
∴点P在圆C内．
(2)已知点P(2,1)和圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．
答案 －2或－6 a<－6或a>－2
解析 由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,2)))2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或－6.
当点P在圆C外时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,2)))2＋(1－1)2>1，
解得a<－6或a>－2.
反思感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
跟踪训练2 已知点M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
答案 [0,1)
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2<26，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,26a<26，))解得0≤a<1.
三、待定系数法求圆的方程
例3 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝r2，,1－a2＋1－b2＝r2，,2a＋3b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－3，))
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝eq \r(42＋－32)＝5.
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
反思感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练3 过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 方法一 因为kAB＝eq \f(1＋1,－1－1)＝－1，线段AB的中点坐标为(0,0)．
所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
所以圆心坐标为(1,1)，半径为2，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二 本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D；
根据点B(－1,1)在圆上，排除A.
1.知识清单：
(1)圆的标准方程．
(2)点与圆的位置关系．
2．方法归纳：数形结合法、转化法．
3．常见误区：由标准方程得圆心时，符号出错．
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)，eq \r(3) B．(1，－5)，eq \r(3)
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
答案 B
2．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
答案 B
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 方法一 (直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，则eq \r(0－12＋b－22)＝1，
∴b＝2，
∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心坐标为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
4．方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 由m2－m－2>0，
得m>2或m<－1.
课时对点练
1．方程(x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个点
C．两条射线和一个圆 D．一条直线和一个圆
答案 C
解析 因为(x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0，
所以x＝1或x2＋y2＝3，
又当x＝1时，eq \r(x2＋y2－3)＝eq \r(y2－2)，
所以y≥eq \r(2)或y≤－eq \r(2)，
所以该方程表示两条射线和一个圆．
2．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
答案 B
解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(3＋52＋－2－42)＝5，所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
3．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝eq \f(\r(3),3)x的距离是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
答案 A
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，
所以圆心到直线y＝eq \f(\r(3),3)x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3))),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2))＝eq \f(1,2).
4．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为r＝eq \r(2－02＋－3－02)＝eq \r(13).
故所求圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
5．(多选)若点P(－1，eq \r(3))为圆x2＋y2＝m2外一点，则m的值可以是( )
A．2 B．1 C．－1 D．0
答案 BC
解析 ∵点P在圆外，
∴(－1)2＋(eq \r(3))2>m2，
即m2<4，
∴－26．(多选)若方程(x－m)2＋(y＋m－4)2＝m2－1表示圆心在第一象限的圆，则m的值可以是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 AB
解析 圆心为(m，－m＋4)，半径r＝eq \r(m2－1)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,－m＋4>0，,m2－1>0，))解得17．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为________________．
答案 (x－1)2＋y2＝18
解析 圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，
则eq \f(πr2,πR2)＝eq \f(1,2)，所以r2＝18，
又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝18.
8．若圆C的圆心坐标为(0,0)，且圆C经过点M(3,4)，则圆C的半径为________．
答案 5
解析 圆C的半径为|CM|＝eq \r(32＋42)＝5.
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
解 (1)点M满足圆N方程
(6－5)2＋(9－6)2＝a2(a>0)，
解得a＝eq \r(10).
(2)依题意[(3－5)2＋(3－6)2－a2][(5－5)2＋(3－6)2－a2]<0，
即(a2－13)(a2－9)<0，
即9又a>0，∴3所以实数a的取值范围是(3，eq \r(13))．
10．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解 (1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10).
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)方法一 AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝eq \f(1,3)x.即x－3y＋3＝0，
由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝eq \r(1－32＋－2－22)＝2eq \r(5).
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二 待定系数法
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋－2－b2＝r2，,－1－a2＋4－b2＝r2，,2a－b－4＝0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,r2＝20，))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
11．如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度AB＝40米，拱高OP＝10米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2的高度大约是( )
A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米
答案 A
解析 如图，以O为原点，以AB为x轴，以OP为y轴建立平面直角坐标系，
设圆心坐标为(0，a)，P(0,10)，A(－20,0)，
则圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10－a2＝r2，,400＋a2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－15，,r＝25，))
∴圆的方程为x2＋(y＋15)2＝625，
将x＝－4代入圆的方程，得y＝|A2P2|≈9.7(米)．
12．已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 令x＝0，y＝6，令y＝0，x＝8，
故直线与坐标轴的交点为A(0,6)，B(8,0)，
∵∠AOB＝90°，经过点A，B，O的圆即是以AB为直径的圆，
∴圆心为(4,3)，r＝eq \r(42＋32)＝5.
13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案 B
解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,3x－2y＋5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝eq \r(－1－22＋1＋32)＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
14．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
答案 (x－4)2＋y2＝1
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－3)·－1＝－1，,\f(a＋3,2)＋\f(b－1,2)－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，))
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
15．经点P(2，－3)，作圆x2＋y2＝20的弦AB，使得P平分AB，则弦AB所在的直线方程是________．
答案 2x－3y－13＝0
解析 设圆x2＋y2＝20的圆心为O，则O(0,0)．
由P是AB的中点，知AB⊥OP.
因为22＋(－3)2＝13<20，
所以点P在圆O内，且kOP＝eq \f(－3－0,2－0)＝－eq \f(3,2)，
所以弦AB所在直线的斜率是kAB＝－eq \f(1,kOP)＝eq \f(2,3)，
则弦AB所在的直线方程是y＋3＝eq \f(2,3)(x－2)，
整理可得，2x－3y－13＝0.
16.如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M，N两地之间的铁路是圆心在l2上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.
(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
(2)若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于eq \r(29) km，求该校址距离点O的最近距离．(注：校址视为一个点)
解 (1)分别以l2，l1为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意得M(0,3)，N(4,5)，
∴kMN＝eq \f(5－3,4－0)＝eq \f(1,2)，MN的中点为(2,4)，
∴线段MN的垂直平分线方程为y－4＝－2(x－2)，
故圆心A的坐标为(4,0)，
半径R＝eq \r(4－02＋0－32)＝5.
∴弧MN的方程为(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4,3≤y≤5)．
(2)设校址选在B(a,0)(a>4)，
eq \r(x－a2＋y2)≥eq \r(29)，对0≤x≤4恒成立．
即eq \r(x－a2＋25－x－42)≥eq \r(29)，对0≤x≤4恒成立，
整理得(8－2a)x＋a2－20≥0，对0≤x≤4恒成立．
令f(x)＝(8－2a)x＋a2－20.
∵a>4，∴8－2a<0，
∴f(x)在[0,4]上为减函数．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>4，,f4＝8－2a×4＋a2－20≥0，))解得a≥6，
即校址选在距O最近6 km的地方．位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2