数学选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程优秀课件ppt

2.3　圆及其方程

2.3.1　圆的标准方程

知识点1　圆的定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．

1．确定一个圆需要几个要素？

[提示]　圆心——确定圆的位置(定位)．

半径——确定圆的大小(定形)．

2．平面直角坐标系中的一个圆，是否可以用方程表示？

[提示]　可以．

知识点2　圆的标准方程

方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定． (　　)

(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　)

(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2，3)，半径是9． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

[提示]　(1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．

(2)错误．当m＝0时，不表示圆．

(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．

知识点3　点与圆的位置关系

设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：

3．若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？

[提示]　若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．

2．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)

A．在圆外　　　B．在圆内　　C．在圆上　　D．不确定

A　[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]

类型1　直接法求圆的标准方程

【例1】　根据下列条件，求圆的标准方程．

(1)圆心在点C(－2，1)，且过点A(2，－2)；

(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．

[解]　(1)所求圆的半径r＝|CA|＝＝5．

又因为圆心为(－2，1)，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．

(2)设此直径两端点分别为(a，0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝＝，从而所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．

确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.

[跟进训练]

1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．

[解]　设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25．

类型2　待定系数法求圆的标准方程

例2】　(对接教材人教B版P99例2)求下列各圆的标准方程．

(1)圆心在y＝0上且过两点A(1，4)，B(3，2)；

(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．

[解]　(1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，

则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

∵圆心在y＝0上，故b＝0，

∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2．

又∵该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，

∴

解得a＝－1，r2＝20．

∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20．

(2)设所求圆的标准方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由条件知

解得

故所求圆的标准方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10．

待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么？

[提示]　设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0))→列方程组(由已知条件，建立关于a，b，r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a，b，r)→得方程(将a，b，r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．

[跟进训练]

2．求经过点A(10，5)，B(－4，7)，半径为10的圆的方程．

[解]　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝100，

将A，B两点代入得

①－②得7a－b－15＝0，即b＝7a－15．　③

将③代入①得a2＋8－6a＝0，

∴或

故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100．

类型3　圆的标准方程的实际应用

【例3】　已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？

[解]　以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0，0)，A(6，－2)．

设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．

将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10，

∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100．

当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．

将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，求得x0＝，

∴水面下降1米，水面宽为2x0＝2(米)．

解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面

[跟进训练]

3．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入？

[解]　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入圆的方程，得y＝＝＜3，即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．

类型4　与圆有关的最值问题

【例4】　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3．求的最大值和最小值．

1．点A(x，y)与坐标原点的连线斜率是什么？

[提示]　kOA＝．

2．代数式的几何意义是什么？

[提示]　点(x，y)与原点间的距离．

[解]　原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，

解得k＝±．

故的最大值为，最小值为－．

与圆有关的最值问题的几种常见类型

(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．

(2)形如l＝ax＋by(b≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

[跟进训练]

4．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．

(1)求此圆的标准方程；

(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．

[解]　(1)由题意，并结合图可知圆心C的坐标为(3，0)，半径r＝2，

所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4．

(2)如图，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D．

由点到直线的距离公式可得|CD|＝＝2．

又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2．

1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为(　　)

A．(2，1)　　　　　 B．(2，－1)

C．(－2，1) D．(－2，－1)

B　[结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．]

2．以(2 020，2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为(　　)

A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212

B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212

C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021

D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021

A　[由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212．]

3．圆心为点P(－2，3)，并且与x轴相切的圆的方程是(　　)

A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4

C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9

D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9

C　[因为圆心P(－2，3)到x轴的距离为3，且圆与x轴相切，所以圆的半径为3，则该圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]

4．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为________．

∪(1，＋∞)　[因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－．]

5．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．

(x＋2)2＋y2＝10　[因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m．

∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m一定表示圆吗？

[提示]　不一定．当m＞0时，表示圆心为C(a，b)，半径为的圆；

当m＝0时，表示一个点C(a，b)；

当m＜0时，不表示任何图形．

2．如何求解圆的标准方程？

[提示]　(1)直接代入法：根据已知条件求圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程．

(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．

第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r．

第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．