安徽省蚌埠市五河第一中学2024-2025学年高二上学期9月学科培优 数学试题（含解析）

这是一份安徽省蚌埠市五河第一中学2024-2025学年高二上学期9月学科培优 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．点关于平面的对称点为（ ）．
A．B．C．D．
2．已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线分别与轴交于两点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
6．如图，在棱长为的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，则的最小值等于（ ）
A．B．6C．D．
8．正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．直线与圆相切时，
D．圆心到直线的距离最大为4
10．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
11．如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（ ）
A．球与该正方体的体积之比为
B．球与该正方体的表面积之比为
C．直线被球截得的线段的长度为
D．过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，，若，，共面，则 ．
13．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱底面，底面边长与侧棱长都等于2，，分别为，的中点，则平面与平面之间的距离为 ．
14．已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求圆在轴截得的弦长．
16．已知圆，点在直线上，过点作圆的两条切线，、为切点.
（1）若点横坐标为，求直线的方程；
（2）求切线长的最小值，及此时点的坐标.
17．如图，在三棱锥中，平面，.
(1)求证；平面平面；
(2)若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值.
18．已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
(1)求，当为何值时，最小，最小值为多少？
(2)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由.
19．如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点．

(1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
(2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
1．A
【分析】根据点关于平面的对称点的公式，结合题中数据即可写出所求对称点的坐标．
【详解】解：点关于平面的对称点，横坐标、纵坐标不变
而竖坐标互为相反数
点关于平面的对称点为
故选：．
【点睛】本题求定点关于平面的对称点的坐标．着重考查了空间坐标系点的坐标及对称点的求法等知识，属于基础题．
2．B
【分析】根据投影向量概念求解即可.
【详解】因为空间向量，，
所以
则在上的投影向量坐标是：
故选：B
3．A
【分析】作点关于直线对称的点，连接交直线于点，求出坐标即可.
【详解】
由题直线分别与轴交于两点，
则，
设点关于直线对称的点为，
则，所以，
则直线，
联立，
所以.
故选：A
4．C
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得.
【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为，
对于A，，直线的方向向量，
，显然，直线与不垂直，A不是；
对于B，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，直线与不垂直，B不是；
对于C，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，，C是；
对于D，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，直线与不垂直，D不是.
故选：C
5．B
【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得.
【详解】因为两直线交于，
则，即，且，则；
由原点到直线的距离
由，
则，当且仅当时，取最大值，此时.
即两直线重合时，原点到直线的距离最大.
故选：B.
6．B
【分析】先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可.
【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系,
是左侧面上的一个动点, 设，其中
，，
又，
设，
设，，
在上单调递减，在上单调递增，且
又且在上单调递减，时取最大值 与的夹角的最大值为
故选：B
7．D
【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上，
设线段的中点为，则，
到原点的距离，
依题意点在直线上，
所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为，
因此的最小值为，因此的最小值等于.
故选：D.
8．B
【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可.
【详解】解：因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点，连接，
如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为M是棱上一动点，设，且，所以，则，
因为，所以在直角三角形中可得：，所以，
即，于是令，
所以，，又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段MN长度的最小值为.
故选：B.
9．BC
【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
10．ACD
【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D.
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则
对于B，，使得与所成的角满足：
，
因为，故，故，
而，B错误；
对于C，平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，故
故，
而，，
故即的取值范围为，C正确；
对于D，，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
11．BC
【分析】根据正方体和球的表面积和体积公式，可判定A错误；B正确；连接，取中点，得到，求得到的距离，结合圆的弦长公式，可判定C正确；以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到过三点的正方体的截面恰好过球的球心，可判定D错误.
【详解】因为球与棱长为2的正方体的六个面都相切，
对于A中，可得正方体的体积为，
球的半径为，体积为，
球与该正方体的体积之比为，所以A不正确；
对于B中，正方体的表面积为，球的表面积为，
所以球与该正方体的表面积之比为，所以B正确；
对于C中，连接，可得，
再连接，在直角中，可得，
取中点，连接，则，可得，
即点到的距离为，
所以直线被球截得的线段的长度为，
所以C正确；
对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
可得过三点的正方体的截面恰好过球的球心，
所以截面交线的周长为，所以D错误.
故选：BC.
12．
【分析】根据向量共面定理得到存在使得，从而得到方程组，求出答案.
【详解】由题意得，存在使得，即，
故，解得.
故答案为：
13．##
【分析】先证明平面平面，则平面与平面间的距离即为点到平面的距离，以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离，从而可得答案.
【详解】如图，连接，则，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
∴平面与平面间的距离即为点到平面的距离.
根据题意，底面，，两两垂直，
则以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
∵，，，，
，
设为平面的法向量，则，
即，取可得，
点到平面的距离记为d，
则d＝＝＝，
∴平面与平面间的距离为.
故答案为：.
14．1
【分析】设Px0,y0，则，，Bx2,y2，首先得出切线方程为，同理，从而直线AB的方程为，由此可得，，结合三角形面积公式、基本不等式推论即可求解.
【详解】

设Px0,y0，则，
设，Bx2,y2，
当时， ，
所以切线方程为：，而，化简为：，
显然当或时也适合，所以切线方程为，
同理，
将P的坐标代入上述直线方程，则有，
于是直线AB的方程为，
因此，，
的面积为，
当且仅当，即时取等号.
所以面积的最小值为1.
故答案为：1.
【点睛】关键点点睛：关键是表示出直线的方程（含参即用点坐标表示直线方程），由此即可顺利得解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；
（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.
【详解】（1）设圆心的坐标为,
则.
化简得，解得,
所以点坐标为，
半径，
故圆的方程为.
（2）圆心到轴的距离为，
所以圆在轴截得的弦长为.
16．（1）；（2）切线长的最小值为，此时点的坐标为.
【分析】（1）求出点的坐标，设点、，写出直线、的方程，将点的坐标代入两条切线方程，观察式子结构，说明点、所在的直线，进而可得出直线的方程；
（2）利用勾股定理可得，可知当取最小值时，最小，可知，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，求出此时直线的方程，将直线与直线的方程联立，可求得点的坐标.
【详解】（1）设点，则，解得，即点，
先证明：圆在其上一点处的切线方程为.
证明如下：
由于点在圆上，则，
圆心到直线的距离为，
且的坐标满足方程，
所以，圆在其上一点处的切线方程为.
由上可知，直线的方程为，同理可知，直线的方程为.
将点的坐标代入这两条直线方程并化简可得，
所以，点、的坐标满足方程，
而两点确定一条直线，因此，直线的方程为；
（2）切线长，所以，当最小时，切线长最小，
当与直线垂直时，取得最小值，此时直线方程为，
则，.
联立，解得，
因此，切线长的最小值时，点的坐标为.
【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下：
（1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；
（2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程；
（3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面得到，再结合，可证明平面，从而可求解；
（2）由题意知求出，建立空间直角坐标系，再利用空间面面夹角向量方法，从而可求解.
【详解】（1）证明：由题意得平面，因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，，所以，
又因为三棱锥的体积为，即，得，
由题意可得以为原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，则，
设二面角为，则.
所以锐二面角的余弦值为.
18．(1)时，最小值为
(2)，过定点
【分析】（1）根据题意结合切线长公式分析求解；
（2）求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线AB的方程，进而可求出定点的坐标.
【详解】（1）
（2）以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
则直线的方程为，即，
经判断直线过定点，即所以直线过定点..

19．(1)存在，P是中点，证明见解析；
(2)．
【分析】（1）利用面面平行和线面平行确定点的位置，然后利用线面平行判定定理证明即可；
（2）过点D作，以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据面面夹角的向量公式求解可得.
【详解】（1）存在，证明如下：
在四棱柱中，因为平面平面，
所以可在平面内作，
由平面几何知识可证，所以，可知P是中点，
因为平面，所以平面．
即存在线段的中点，满足题设条件．
满足条件的点只有一个，证明如下：
当平面时，因为平面，
所以过作平行于CQ的直线既在平面内，也在平面内，
而在平面内过只能作一条直线，
故满足条件的点P只有唯一一个．
所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面．
（2）过点D作，垂足为F，又因为平面ABCD，

所以DA，DF，两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则A2,0,0，，，，，
，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则有即
令，得，，所以．
设平面的法向量为．
则有即
令，得，，所以．
所以．
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．