2023届安徽省蚌埠市五河县二模数学试题含解析

2023届安徽省蚌埠市五河县二模数学试题

一、单选题

1．对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论.

【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，

故选：D.

2．复数

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接化简计算即可

【详解】，

故选：A

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据诱导公式，以及两角差的余弦公式直接化简，即可得出结果.

【详解】

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查利用两角差的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，属于基础题型.

4．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：，所以直线过定点，曲线变形为，表示圆的上半部分，，当直线与半圆相切时直线斜率为，当直线过点时斜率为，结合图像可知实数的取值范围是

【解析】直线与圆相交的问题

5．已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（    ）

A．50% B．32% C．30% D．27%

【答案】D

【分析】先利用扇形统计图求出抽取的样本容量及小学生、初中生、高中生的人数，再利用条形统计图求出样本容量中近视的学生人数，从而求出平均近视率，得出结果.

【详解】根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：350，450，200，根据图②知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：35，135，100，

所以该地区学生的平均近视率为，

故选：D.

6．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】D

【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式，椭圆离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

【详解】设，则直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，

两边平方整理得，，

于是，解得或，

则或，

故选：D

7．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据定义域及特殊点可判断.

【详解】解：∵的图象与轴交于，且点的纵坐标为正，∴，故，定义域为

其函数图象间断的横坐标为正，∴，故.

故选：

【点睛】本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.

8．在△ABC中，已知 ，且 ，角A是锐角，则△ABC的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】根据正弦定理化简可得继而求出，再结合即可判断三角形形状.

【详解】由，得，根据正弦定理，得，

所以，即,

又角A是锐角，所以,又 ，且B，C都为三角形的内角，

所以 . 故△ABC为等边三角形，

故选:D.

二、多选题

9．数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，.记的前项和为，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则

B．中可能出现连续五项构成等差数列

C．对任意小于的正整数，存在正整数，使得

D．对中任意一项，必存在，使得按照一定顺序排列可以构成等差数列

【答案】BCD

【分析】根据题中的条件可得数列具有对称性，故通过对称性及根据对称性举例来判断选项即可.

【详解】对于A，根据条件可知，数列具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0.下面对讨论.

当为偶数（数列各个数非零），，

得，所以.

当为奇数（数列），，解得，故A错误；

对于B，显然满足，如，故B正确；

对于C，通过数列具有对称性知，对任意小于的正整数有，的值是该数列中的一项或两项，当值为一项时，因为任意小于正整数，故该项必定为中间项，数列刚好具备相邻两项差为该数列的某一项；如果为两项，显然直接找出其两项即可，故C正确；

对于D，考虑到数列，满足，

当时，；当时，由对称性，也成立，

例：.

故选：BCD

【关键点点睛】解决本题的关键一是对称性的运用，二是通过举例来判断选项，三是分类讨论思想的运用.

10．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点、，若、两点在准线上的射影分别为、，线段的中点为，则下列叙述正确的是（    ）

A． B．四边形的面积等于

C． D．直线AC与抛物线相交

【答案】ABC

【分析】对于选项AB，利用向量知识研究与､与的位置关系即可；对于选项C，可利用抛物线的定义确定、的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D，求出直线的斜率，并设抛物线在点处的切线方程为，与抛物线的方程联立，由求出，进而可判断出D选项的正误.

【详解】解：如图，由题意可得，抛物线的准线方程为．

设、，设直线的方程为，

联立，可得，利用根与系数的关系得，

因为线段的中点为，所以，

所以，，

所以，

所以，A选项正确；

对于B选项，因为，所以，

所以，所以，

所以四边形的面积等于，故B正确；

对于C选项，根据抛物线的定义知，，

所以，

，

所以，故C选项正确；

对于D选项，直线的斜率为，

抛物线在点处的切线方程为，

联立，消去可得，

由题意可得，可得，即，则.

所以，直线与抛物线相切，故D错误.

故选：ABC.

11．如图，在棱长为的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（    ）

A．三棱锥外接球表面积为

B．三棱锥的体积为定值

C．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为

D．直线与平面所成角的正弦值的范围为

【答案】ABD

【分析】求出三棱锥外接球的直径与表面积，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；作出截面图形，利用三角形的面积公式可判断C选项；计算出点到平面的距离，以及的取值范围，结合线面角的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，三棱锥外接球即为正方体的外接球，

正方体的外接球直径为，

故三棱锥外接球的表面积为，A对；

对于B选项，因为且，故四边形为平行四边形，

所以，，平面，平面，平面，

，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

，，B对；

对于C选项，且，则四边形为平行四边形，

所以，，

平面，平面，所以，平面，

又因为平面，，所以，平面平面，

所以，过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，

易知是边长为的等边三角形，该三角形的面积为，C错；

设点到平面的距离为，由知，

点到平面的距离为，

当点在线段上运动时，因为，若为的中点时，，，

当点为线段的端点时，，即，

设直线与平面所成角为，，D正确.

故选：ABD．

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.

12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称

C．函数在上是减函数 D．函数的值域为

【答案】BD

【分析】根据奇偶性的定义判断AB选项；利用换元法分析函数的单调性，即可判断C选项；根据单调性求值域即可判断D选项.

【详解】因为的定义域为，

所以，所以为偶函数，所以A错误，B正确；

令，则，令，则，

当时，，所以为增函数，

又为增函数，所以为增函数，

又为增函数，所以在上是增函数.

又为上的偶函数，

所以，所以的值域为.所以C错误，D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．设，向量，，，且，，则=___________．

【答案】15

【详解】试题分析：由得由得，．

【解析】平面向量平行与垂直关系的坐标表示及数量积运算．

14．的展开式中含的项的系数是________．

【答案】112

【分析】求出展开式的通项公式，再由通项公式中x的幂指数为5时计算作答.

【详解】的展开式的通项是，

令，解得，则，

所以的展开式中含的项的系数是112．

故答案为：112

15．若直线过点，则的最小值为______．

【答案】/

【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．

【详解】∵直线过点，

．

，当且仅当，即，时取等号．

的最小值为．

故答案为：．

16．已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为___________.

【答案】

【分析】当时，，由可得结果.

【详解】当时，，.

故答案为：.

四、解答题

17．某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在天里的销售记录，绘制了以下频数分布表：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续天里，有连续天的日销量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率；

(2)用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的概率分布、均值和方差．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，E()=0.9，D()=0.63

【分析】（1）直接根据频率分布表及古典概率进行解答即可得到答案；

（2）可能取的值为0，1，2，3，然后由二项分布求出其相应的概率，则均值与方差根据公式求解.

【详解】（1）根据频数分布表知，日销售量不低于100个的概率为=0.6，日销售量低于50个的概率为．

 设事件A：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”，

则．

（2）由频数分布表知，日销售量不低于150个的概率为=0.3，

可取0，1，2，3，依题意知~B(3，0.3)．

P(=0)=×=0.343，

P(=1)=0.3=0.441，

P(=2)=0.（1-0.3）=0.189，

．

的分布列为

E()=30.3=0.9，D()=30.30.7=0.63．

18．△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求角C；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)结合正弦定理边化角和三角函数的诱导公式即可求解；

(2)结合余弦定理联立方程组即可求解.

【详解】（1）由已知及正弦定理，

得，即.

故，可得，∵，∴；

（2）由已知及余弦定理得，，又，

故，因此，，

∴△的面积.

19．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．

(1)求的值及数列的通项公式；

(2)若求数列的前项和

【答案】(1)，，；

(2)

【分析】（1）由等差数列的中项性质和数列的递推式，等比数列的通项公式，可得所求；

（2）求得，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和．

【详解】（1），，成等差数列，

，即，

当时，，即，

当时，，

是等比数列，

，则，得，

数列的通项公式为，；

（2），

则前项和，

，

两式相减可得

，

化简可得．

20．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.

(1)证明：平面；

(2)若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）设的交点为，连接，可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；

（2）取的中点为，连接，由面面垂直的性质定理可证得则平面，以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.

【详解】（1）设的交点为，连接，已知为的重心，

所以，，所以在中，，

所以，所以平面，平面，

则平面.

（2）因为所以

所以为等边三角形，所以，又因为，

所以，所以，

取的中点为，连接，则，

平面平面，平面平面，

则平面，以为坐标原点，为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为与平面所成的角为，所以，

设菱形的边长为，所以，所以

，

因为，所以，

，

设平面，

，令，

所以，

设平面，

，令，

所以，

则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

21．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．

(1)求双曲线的离心率；

(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；

(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在定点

【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的定义可求得、，利用勾股定理可得出关于、的等式，即可解得双曲线的离心率；

（2）求出双曲线的渐近线方程，设点、、，利用向量的线性运算与数量积的坐标运算可求得值，从而求得双曲线的方程；

（3）即假设在轴上存在定点，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用得到，再由平面向量数量积的坐标运算可得出，综合可求出的值，即可得出结论.

【详解】（1）因为，则，可得，

因为，由勾股定理可得，即，

所以，，因此，该双曲线的离心率为.

（2）因为，则，

所以，双曲线的方程为，即，

双曲线的渐近线方程为，设点、、，

，可得，

因为，即，可得，

即点，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得，

所以，，所以，，因此，双曲线的方程为.

（3）假设在轴上存在定点 使得，

设直线的方程为，设点、，

联立，可得，

由题意可得，可得，

由韦达定理可得，，易知、，

所以，，

，

因为，所以，，

即，即，

即，（*）

由可得，则，

将代入（*）可得，（**）

将代入韦达定理可得，所以，，

将代入（**）式可得，

故在轴上存在定点使得．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数，其中，函数．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)当时，

（i）求函数的最大值；

（ii）记函数，证明：函数没有零点．

【答案】(1)；

(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）求出的函数的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；

（2）（i）当时，求得的解析式和导数，以及单调区间，即可得到所求最大值；

（ii）求得函数的解析式，令，可得，由，求出导数，可得单调区间，可得的最大值，由的最小值为，即可判断．

【详解】（1）当时，函数的导数为，

可得函数在处的切线斜率为，切点为，

即有函数在处的切线方程为，

即为；

（2）（i）当时，，

，当时，，递减；

当时，，递增．

可得在处取得极大值，且为最大值；

（ii）证明：函数

，

令，可得，

由的导数为，

当时，，函数递减；当时，，函数递增．

即有函数的最大值为；

由（i）可得，即有，

则方程无解．

即有函数没有零点．

【点睛】关键点睛：证明函数是否有零点，关键是需转化为证明方程是否有解.本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点的判断，注意运用转化思想转化为求函数的最值问题，考查化简整理的运算能力，属于较难题．