2023届安徽省蚌埠市五河县高考第二次质检数学试卷

2023年安徽省五河县高考数学第二次质检试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  对于数集，，定义，  ，，若集合，则集合中所有元素之和为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数

A.  B.  C.  D.

3.  (    )

A.  B.  C.  D.

4.  若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知某地区中小学生人数如图所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了的学生进行调查，调查数据如图所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  已知椭圆的右焦点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7.  函数的图象如图所示，则下列结论成立的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8.  在中，已知，且，角是锐角，则的形状是(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  数列共有项常数为大于的正整数，对任意正整数，有，且当时，记的前项和为，则下列说法中正确的有

A. 若，则
B. 中可能出现连续五项构成等差数列
C. 对任意小于的正整数，，存在正整数，，使得
D. 对中任意一项，必存在，，使得，，按照一定顺序排列可以构成等差数列

10.  已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点、，若、两点在准线上的射影分别为、，线段的中点为，则下列叙述正确的是(    )

A.  B. 四边形的面积等于
C.  D. 直线与抛物线相交

11.  如图，在棱长为的正方体中，为线段上一动点包括端点，则以下结论正确的有(    )

A. 三棱锥外接球表面积为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为．

12.  已知函数，则下列说法中正确的是(    )

A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于轴对称
C. 函数在上是减函数 D. 函数的值域为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  设，，向量，，，且，，则______．

14.  的展开式中含的项的系数是______．

15.  若直线过点，则的最小值为______．

16.  已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在天里的销售记录，绘制了以下频数分布表：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

求在未来连续天里，有连续天的日销量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率；

用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的概率分布、均值和方差．

18.  本小题分

的内角的对边分别为，已知．

求角；

若，求的面积．

19.  本小题分
已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
Ⅰ求的值及数列的通项公式；
Ⅱ若求数列的前项和

20.  本小题分

如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，．

证明：平面；

若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．

21.  本小题分
点在以，为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．
Ⅰ求双曲线的离心率；
Ⅱ过点作直线分别与双曲线渐近线相交于，两点，且，，求双曲线的方程；
Ⅲ若过点为非零常数的直线与中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且为非零常数，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数，其中，函数．
Ⅰ当时，求函数在处的切线方程；
Ⅱ当时，
求函数的最大值；
记函数，证明：函数没有零点．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】试题分析：根据新定义，数集，，定义，  ，，集合，，，则可知所有元素的和为，故答案为．
考点：集合的交集
点评：主要是考查了集合的运算，属于基础题。
 

2.【答案】 

【解析】试题分析：，故选A
考点：本题考查了复数的运算
点评：熟练掌握复数的运算法则是解题的关键。
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式，两角差的余弦公式的应用，考查计算能力．
先利用诱导公式化简表达式，然后利用两角差的余弦公式化简表达式，即可求出表达式的值．

【解答】

解：


．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：曲线 即，
表示一个以为圆心，以为半径的位于轴上方的半圆，如图所示：
直线即
表示恒过点斜率为的直线
结合图形可得
，
解得
要使直线与半圆有两个不同的交点，的取值范围是
故选B
将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的的范围．
解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的范围问题
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：，，，
根据图知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：，，，
所以该地区学生的平均近视率为．
故选：．
先利用扇形统计图求出抽取的样本容量及小学生、初中生、高中生的人数，再利用条形统计图求出样本容量中近视的学生人数，从而求出平均近视率，得出结果．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
两边平方整理得，，
于是，解得或．
则或，
故选：．
求得直线的方程，利用点到直线的距离公式，利用椭圆离心率公式，即可求得椭圆的离心率．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，即，则，排除，，
，得，
故选：．
根据函数的定义域求出的符号，结合的值，判断的符号即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的性质是解决本题的关键．比较基础．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理的应用：边角互化，注意三角形内角的范围，属于中档题．
由和内角的范围得，由正弦定理化简，由是锐角求出，可判断出的形状．
【解答】
解：因为，且、，
所以，则是等腰三角形，
因为，则由正弦定理得，
，则，故，
又角是锐角，则，
所以是等边三角形，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的运算，考查了学生的推理能力，属于困难题．
结合等差数列的概念、等比数列的求和进行讨论可求得答案．

【解答】

解：对于，只需考虑为奇数，当为奇数时，要使，
只需，
 ，，A错误．
对于，取，则，，，，，，，
此时中，，，，，连续五项成等差数列，B正确
对于，由对称性，只需考虑为偶数的情形，任取，
且注意到
令，，知存在这样的，，而对于 正整数，其中，知都是形如或或的形式，
都必存在，使，C正确．
对于，当为偶数时，只需考虑的情形，
若，取，，而知，，成等差数列，
若，则，取，知，，成等差数列，
若，则对，取，，
，，成等差数列．
当为奇数时，则只需考虑的情形，其他与偶数情形一样．
此时取，知，，成等差数列，也存在，D正确．
故本题选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，考查抛物线的几何性质，抛物线中的面积问题，属于较难题．
对于选项AB，利用向量知识研究与，与的位置关系即可；对于选项C，可利用抛物线的定义确定、的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D，求出直线的斜率，并设抛物线在点处的切线方程为，与抛物线的方程联立，由求出，进而可判断出选项的正误．

【解答】

解：如图，由题意可得，抛物线的准线方程为．

设、，设直线的方程为，

联立，可得，利用根与系数的关系得，

因为线段的中点为，所以，

所以，，

所以
，

所以，选项正确；

对于选项，因为，所以，

所以，所以，

所以四边形的面积等于，故B正确；

对于选项，根据抛物线的定义知，，

所以，

，

所以，故C选项正确；

对于选项，直线的斜率为，

抛物线在点处的切线方程为，

联立，消去可得，

由题意可得，可得，即，则．

所以，直线与抛物线相切，故D错误．

故选ABC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查几何体的外接球问题，棱锥的体积，空间几何体的截面问题，直线与平面所成角，属于较难题．
求出三棱锥外接球的直径与表面积，可判断选项；先证明平面，再利用锥体的体积公式可判断选项；作出截面图形，利用三角形的面积公式可判断选项；计算出点到平面的距离，以及的取值范围，结合线面角的定义可判断选项．

【解答】

解：对于选项，三棱锥外接球即为正方体的外接球，

正方体的外接球直径为，

故三棱锥外接球的表面积为，对；
 

对于选项，且，四边形为平行四边形，

，平面，平面，平面，

，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

，，对；

对于选项，且，四边形为平行四边形，

，

平面，平面，平面，

又平面，，平面，
平面平面，

过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，

易知是边长为的等边三角形，
该三角形的面积为，错；

设点到平面的距离为，由知，

点到平面的距离为，

当点在线段上运动时，由，
若为的中点时，，则，

当点为线段的端点时，，即，

设直线与平面所成角为，
则，D正确．

故选：．

12.【答案】 

【解析】解：因为的定义域为，，
所以，
所以为偶函数，故A错误，B正确；
令，则，令，则，
当时，，
所以为增函数，
又为增函数，所以为增函数，
又为增函数，所以在上是增函数，
又为上的偶函数，
所以，所以的值域为，故C错误，D正确．
故选：．
根据奇偶性的定义判断选项；利用换元法分析函数的单调性，即可判断选项；根据单调性求值域即可判断选项．
本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，，
解得，，
，．
则．
故答案为：．
利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、向量坐标运算性质即可得出．
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项是，
令，解得，
所以，
所以的展开式中含的项的系数是．

故答案为：．
求出二项展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，从而可求得含的项的系数．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线过点，
．
，当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
由直线过点，可得，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：任取，，则，
因为是奇函数，所以，
解得．
故答案为：．
当时，，利用函数是奇函数，代入即可求函数的解析式．
本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将，转化为是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：（1）根据频数分布表知，日销售量不低于100个的概率为=0.6，日销售量低于50个的概率为．
   设事件A：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”，
​​​​​​​则．
（2）由频数分布表知，日销售量不低于150个的概率为=0.3，
可取0，1，2，3，依题意知~B(3,0.3)．
P(=0)=×=0.343，
P(=1)=0.3=0.441，
P(=2)=0.（1-0.3）=0.189，
．
的分布列为

E()=30.3=0.9，D()=30.30.7=0.63． 

【解析】本题考查了古典概型的概率，离散型随机变量的分布列与均值与方差,属于中档题.
（1）直接根据频率分布表及古典概率进行解答即可得到答案；
​（2）可能取的值为0，1，2，3，然后由二项分布求出其相应的概率，则均值与方差根据公式求解.
 

18.【答案】解：由已知及正弦定理，
得，
即．
故，
可得，
因为，
所以．
由已知及余弦定理得，，
又，
故，
因此，，
所以的面积． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．
由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得，结合的范围，即可得解的值．
由已知及余弦定理得，利用三角形面积公式即可计算得解．
 

19.【答案】解：Ⅰ，，成等差数列，
，即，
当时，，即，
当时，，
是等比数列，
，则，得，
数列的通项公式为，；
Ⅱ由得 ，
则前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得． 

【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．
Ⅰ由等差数列的中项性质和数列的递推式，等比数列的通项公式，可得所求；
Ⅱ求得，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
 

20.【答案】解：证明：设的交点为，连接，又为的中点，可知为的重心，

所以，，所以在中，，

所以，又平面，平面，

则平面．

因为所以

所以为等边三角形，所以，又因为，

所以，所以，

取的中点为，连接，则，

由于平面平面，平面平面，平面，

则平面，以为坐标原点，为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为与平面所成的角为，所以，

设菱形的边长为，所以，所以

，

因为，所以，

，

设为平面的法向量，

则，令，

所以，

设为平面的法向量，

，令，

所以，

则，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

【解析】本题考查线面平行的判定定理，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
设的交点为，连接，可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；

取的中点为，连接，由面面垂直的性质定理可证得则平面，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案．

21.【答案】解：，，，


渐近线为设，，
，，


代入化简，


假设在轴上存在定点
使，
设：，，
联立与的方程得
故


由
即为，将代入
有代入得
故在轴上存在定点使． 

【解析】，求得，，结合垂直关系利用勾股定理即可求得双曲线的离心率；
先设出，渐近线为设，，利用向量的运算即可求得值，从而求得双曲线的方程．
对于存在性问题，可先假设存在，即假设在轴上存在定点，再利用根与系数的关系，求出的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量的运算、双曲线方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ当时，函数的导数为，
可得函数在处的切线斜率为，切点为，
即有函数在处的切线方程为，
即为；
Ⅱ当时，，
，当时，，递减；
当时，，递增．
可得在处取得极大值，且为最大值；
证明：函数
，
令，可得，
由的导数为，
当时，，函数递减；当时，，函数递增．
即有函数的最大值为；
由可得，即有，
则方程无解．
即有函数没有零点． 

【解析】Ⅰ求出的函数的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
Ⅱ当时，求得的解析式和导数，以及单调区间，即可得到所求最大值；
求得函数的解析式，令，可得，由，求出导数，可得单调区间，可得的最大值，由的最小值为，即可判断．
本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点的判断，注意运用转化思想转化为求函数的最值问题，考查化简整理的运算能力，属于中档题．