湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．以上都不是
3．如图，在菱形ABCD中，对角线，，则菱形ABCD的面积（ ）
A．96B．54C．48D．24
4．如图，等边△OAB边长为2，顶点O在平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（，1）C．（1，）D．（，）
5．你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染升水，这个数字用科学计数法表示为（ ）
A．升B．升C．升D．升
6．下列说法正确的是（ ）
A．是整式B．0是单项式
C．的系数是D．是一次三项式
7．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）
A．181B．175C．176D．175.5
8．开学前，学校需要对教室、食堂等场所进行消毒处理．某商场的84消毒液，第一天销售量达到200瓶，第二天、第三天销售量连续增长，第三天销售量达到700瓶，且第二天与第三天的增长率相同，设增长率为，根据题意列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＞y1＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
10．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．16
二、填空题
11．如图，A、B、C在上，若，则 ．
12．抛物线y=(x+2)2-2的顶点是 ．
13．如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为 ．
14．已知，则的值为 ．
15．如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，点C恰好落在边上，若，则 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标2,0，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的是 ．

三、解答题
17．．
18．先化简，再求值：，其中．
19．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，O0,0．
(1)将向右平移4个单位，画出平移后的；
(2)以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是______；
20．“山水连云，醉美港城”．某校数学兴趣小组就“最想去的连云港市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为_____；
(2)补全条形统计图；扇形统计图中E的扇形圆心角的度数为_____；
(3)若该校共有1200名学生，请估计“最想去景点C”的学生人数．
21．如图，已知为直径，是弦，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
22．已知关于x的方程．
（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，方程有两个不相等的整数根?
23．某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
(1)若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
24．问题发现
已知：如图1，等边三角形A1A2A3，点P是A1A2下方的任意一点，∠A1PA3＝∠A3PA2＝60°，可证：PA1+PA2＝PA3，从而得到是定值．
（1）这个定值是 ．
（2）请写出上述证明过程．
类比探究
如图2，把（1）中条件“等边三角形A1A2A3，∠A1PA3＝∠A3PA2＝60°，”改为“正方形A2A1A3A4，∠A1PA4＝∠A4PA3＝∠A3PA2＝45°，”其余条件不变．
（3）请问：还是定值吗？
（4）如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
25．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题：
(1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值；
(2)若直线的“幸福值”为，求的值；
(3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解.
【详解】解：A：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D ．
2．C
【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C. 是最简二次根式，故此选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解答此题的关键．
3．C
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：菱形ABCD中，，，
菱形ABCD的面积，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形面积的计算，熟记菱形的各种计算面积公式是解题的关键．
4．C
【分析】根据等边三角形的性质解答即可
【详解】过B作BD⊥OA，
∵等边△OAB边长为2，
∴OD=1，BD=3，
即点B的坐标为（1，3），
故选C．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答
5．A
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查单项式，多项式，整式的定义及系数次数的判断，根据单项式，多项式的定义，系数，次数的概念直接逐个判断即可得到答案
【详解】解：不是整式，故A错误，不符合题意，
0是单项式，故B正确，符合题意，
的系数是，故C错误，不符合题意，
是二次三项式，故D错误，不符合题意，
故选：B．
7．D
【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．
【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，
∴这6个数据的中位数为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个时是求中间两个数的平均数．
8．C
【分析】设增长率为x，根据第一天及第三天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2 ＝700．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，能根据题目意思列出正确的方程是解题的关键．
9．A
【分析】把三个点的坐标代入抛物线解析式分别计算出y1，y2，y3，然后进行大小比较即可．
【详解】把A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）分别代入y=-（x+1）2+1得y1=-（-2+1）2+1=0，y2=-（-1+1）2+1=1，y3=-（2+1）2+1=-8，
所以y2＞y1＞y3．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．C
【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
则，
，
∴的长为的最小值，
∴周长的最小值为．
故选：C．
11．
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
12．（﹣2，﹣2）．
【分析】抛物线y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），而抛物线y=(x+2)2-2是顶点式，通过比较可求顶点坐标．
【详解】y=(x+2)2-2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（-2，-2），
故答案为（﹣2，﹣2）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出抛物线的顶点坐标．
13．
【分析】利用数形结合即可得出结论．
【详解】解：∵直线与x轴交于点，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．
14．
【分析】利用非负数的性质求出、的值，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，因式分解，求代数式的值等知识，利用非负数的性质求出、的值，并整体代入计算是解题的关键．
15．
【分析】由旋转的性质可得，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是绕点O顺时针旋转后得到的图形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
16．①③④
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①正确；
当时，，
由图象可知此时，即，因此②不正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴，故③正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴当时，，
∴顶点为，因此④正确；
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握相关运算法则即可．
【详解】解：原式
18．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．(1)见解析
(2)见解析，平行四边形
【分析】本题考查了平移作图、画中心对称图形以及平行四边形的判定等知识点，作出对应点是作图关键．
（1）将各顶点分别向右平移4个单位即可完成作图；
（2）作出各顶点以点为对称中心的对应点即可完成作图；由可得四边形的形状是平行四边形；
【详解】（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求
∵，
∴四边形的形状是平行四边形，
故答案为：平行四边形
20．(1)
(2)画图见解析，
(3)人
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，扇形圆心角的度数，利用样本估计总体．
（1）用最想去A景点的人数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）先计算出最想去D景点的人数，再补全条形统计图，然后用乘以最想去E景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点E”的扇形圆心角的度数；
（3）用1200乘以样本中最想去C景点的人数所占的百分比即可．
【详解】（1）解：本次调查的样本容量为；
故答案为：4；
（2）解：组人数有（人），
补全图形如下：
；
∴扇形统计图中E的扇形圆心角的度数为；
（3）解：（人）；
∴该校共有1200名学生，估计“最想去景点C”的学生人数有人．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理的应用，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）由垂径定理可知，据此即可求证；
（2）设的半径为，则，可得；根据即可求解；
【详解】（1）证明：∵为直径，是弦，且，
∴，
∴
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴
∵为直径，是弦，且，
∴
∵，
∴，
解得：
22．（1）证明见详解；（2）．
【分析】（1）分别对该方程为一元二次方程和一元一次方程展开证明即可；
（2）利用因式分解解该一元二次方程，求出方程的根，利用整数概念进行求值即可．
【详解】解：（1）当 时， 是关于的一元二次方程．

∵不论为何值时，Δ≥0，
∴方程总有实数根；
当时，是关于的一元一次方程．
∴
∴
∴方程有实数根
∴不论为何值时，方程总有实数根；
（2）
分解因式得
解得：
∵方程有两个不相等的整数根
∴为整数，且
所以
【点睛】本题考查了根的判别式，掌握方程与根的关系，及因式分解解一元二次方程，和整数的概念是解题的关键.
23．(1)，
(2)每个书包降价6元
(3)当降价4元时利润最大，最大利润为320元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是：
（1）根据每个书包降价元，利用每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个，即可得出降价后书包多卖个，每个盈利元；
（2）利用书包降价后每天盈利每个的利润卖出的个数降低的价格）增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（3）由（2）得关系式：，配方后可解答．
【详解】（1）解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元；
故答案为：，；
（2）设每个书包降价元，可盈利300元，
则，
解得：（舍去），，
每个书包降价6元；
（3）设每个书包降价元，最大利润为元，
则
，
，
当时，有最大值，最大值为320；
答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元．
24．（1）这个定值为；（2）是定值，证明见解析；（3）是定值．（4）=.
【分析】（1）（2）是定值．作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延长线于点M．证明△A1A3P≌△A1A2M可得PA3＝MA2，推出PA3＝MA2＝PA2+PM＝PA2+PA1，由此即可解决问题．（3）（4）结论：是定值．在A4P上截取AH＝A2P，连接HA1．想办法证明PA4＝HA4+PH＝PA2+PA1，PA3＝PA1+PA2，可得（+1）（PA1+PA2）＝PA3+PA4，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）这个定值为 ．
故答案为
（2）证明：如图1，作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延长线于点M．
∵∠MPA1＝∠PA1M＝60°，
∴△PMA1是等边三角形，
∴PM＝PA1，
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2＝60°，
∴∠A3A1P＝∠A2A1M
又A3A1＝A2A1，∠A1A3P＝∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3＝MA2，
∵PM＝PA1，
∴PA3＝MA2＝PA2+PM＝PA2+PA1．
∴ ，是定值．
（3）结论：是定值．
（4）：在A4P上截取AH＝A2P，连接HA1．
∵四边形A1A2A3A4是正方形，
∴A4A1＝A2A1，
∵∠A1A4H＝∠A1A2P，A4H＝A2P，
∴△A1A4H≌△A1A2P，
∴A1H＝PA1，∠A4A1H＝∠A2A1P，
∴∠HA1P＝∠A4A1A2＝90°
∴△HA1P的等腰直角三角形，
∴PA4＝HA4+PH＝PA2+PA1，
同法可证：PA3＝PA1+PA2，
∴（+1）（PA1+PA2）＝PA3+PA4，
∴PA1+PA2＝（﹣1）（PA3+PA4），∴ ．
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一次函数的增减性、二次函数的最值等知识点，掌握相关函数的性质是解题关键.
（1）求出点的坐标即可求解；
（2）由题意得，根据可得随的增大而增大．即可得当时，有最小值，据此即可求解；
（3）由题意得抛物线的顶点坐标为：，继而得；令可求其对称轴为直线；分类讨论，，，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：将代入得：，
∴
∴点的“双减差”的值为：
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∴随的增大而增大．
故：当时，有最小值，且最小值为：，
∴，
解得：（舍去）
∴
（3）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为：，
∴
∴
令，则其对称轴为直线；
∵，
∴，即：；
，此时（不符合题意）；
，即：，
此时，当，取最小值，
则，
解得：（舍去），
∴；
，即：，
此时，当，取最小值，
则，
解得：（舍去），
综上所述，该抛物线的解析式为：；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
A
B
D
C
A
C