湖南省长沙市西雅中学和雅礼实验中学联考2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

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一．选择题（共10小题）
1．在实数3、、、0中，最小的实数是
A．3B．C．0D．
【解答】解：，，
，
实数3、、、0的大小关系为．
故选：．
2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【答案】
【解答】解：．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
3．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了170万年误差不超过1秒．数据170万用科学记数法表示
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：170万．
故选：．
4．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：、，故此选项符合题意；
、与不能合并，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
5．把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：先向上平移2个单位，得到，再向右平移3个单位．
故得到抛物线的解析式为．
故选：．
6．某车间20名工人日加工零件数如表所示：
这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是
A．5、6B．5、5C．6、5D．6、6
【答案】
【解答】解：因为5出现的次数最多，
所以众数是5，
将这组数据按从小到大进行排序后，第11个数和第10个数的平均数即为中位数，
所以中位数是，
故选：．
7．下列命题中，正确的命题是
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．经过三点一定可以作圆
D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
【解答】解：、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原命题缺少条件，不是正确的命题；
、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题，没有排除直径，不是正确的命题；
、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题缺少条件，不是正确的命题；
、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是正确的命题．
故选：．
8．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为
A．B．C．D．
【解答】解：绕点逆时针旋转，得到
，
由三角形内角和
故选：．
9．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是
A．点在上B．点在内C．点在外D．无法确定
【答案】
【解答】解：设与交于点，
弦的长为，，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得（负值舍去），
，
，
，
点在圆外．
故选：．
10．如图，是的直径，点在上，垂足为，，，点在上运动（不与重合），点为的中点，则的最大值为
A．B．6C．D．8
【答案】
【解答】解：如图，连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，
的最大值为6，
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．使函数表达式有意义的自变量的取值范围是 ．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
12．如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 2.4 ．
【答案】2.4．
【解答】解：平分，，，
，
，
，
．
故答案为：2.4
13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 2 ．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：2．
14．如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 3 ．
故答案为3
15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 120 ．
【答案】120．
【解答】解：如图，连接，
是的直径，，
，
为等边三角形，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
故答案为：120．
16．飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【解答】解：，
当时，取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
三．解答题（共8小题）
17．计算．
【答案】．
【解答】解：
．
18．先化简再求值：，其中．
【答案】18. 解: 原式 =x-1x-1-1x-1⋅x+1x-1x-22=x-2x-1⋅x+1x-1x-22=x+1x-2 (..4 分)
当 x=-3 时,原式 =-3+1-3-2=25 .
19. 如图,在边长为 1 的正方形组成的网格中, △ABC 的顶点均在格点上,点 A、B 的坐标分别是 A -2,3、B-3,1.△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到 △A1B1C1 .
(1)在网格中画出 △A1B1C1 ;
(2)点 B 关于点 O 中心对称的点的坐标为___；
(3)求 △AOA1 的面积.

【解答】解：19. 解: (1) 如图所示. .2 分
(2) 3,-1 ..4 分
(3)根据旋转角度为 90∘ ,可得 ∠AOA1=90∘ ,
∴S△AOA1=12OA×A1=12OA2=132 . . .6 分
20．为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，诵读经典”活动，学习随机抽查了部分学生，对他们每天的课外阅读时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天诵读时间分钟的学生记为类，20分钟分钟记为类，40分钟分钟记为类，分钟记为类，收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 50 名学生进行调查统计，扇形统计图中类所对应的扇形圆心角大小为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有2000名学生，请你估计该校类学生约有多少人？
【解答】解：（1），
所以这次共抽查了50名学生进行调查统计；
扇形统计图中类所对应的扇形圆心角大小为：，
故答案为50；；
（2）如图，类人数为，
（3），
所以估计该校类学生约有320人．
21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在△中，，，
，
．
22．如图，在中，、为弦，为直径，于，于，与相交于．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：于，于，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
在中，，
设圆心为，连接，设，则，
在中，，
即，
解得：，
即的半径为．
23．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件与销售单价（元件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）销售单价应定为50元；
（3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解答】解：（1）设每天的销售数量（件与销售单价（元件）之间的关系式为，
把，代入得：
，
解得，
；
（2）根据题意得：，
解得，，
规定销售单价不低于成本且不高于54元，
，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利元，
，
，对称轴是直线，
而，
时，取最大值，最大值是（元，
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
24．如图，的半径为1，，，，是上的四个点，．
（1）判断的形状： 等边三角形 ；
（2）试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)记 △ABC、△ACQ、△BCQ 的面积分别为 S、 S1、 S2 ,若 1S+1S2=1S1,AC=2 ,求 AQ 的长.
【解答】解：24. 解: (1) △ABC 是等边三角形. 理由如下: ..1 分
∵∠BAC 与 ∠CPB 是 BC 所对的圆周角, ∠ABC 与 ∠APC 是 AC 所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB, ∠ABC=∠APC ,
又 ∵∠APC=∠CPB=60∘ ,
∴∠ABC=∠BAC=60∘ ,
∴△ABC 为等边三角形; . .3 分
(2)在 PC 上截取 PD=AP ,连接 AD ,如图 1,
∵∠APC=60∘,∴△APD 是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60∘ ,即 ∠ADC=120∘ .
又 ∵∠APB=∠APC+∠BPC=120∘ ,
∴∠ADC=∠APB ,
在 △APB 和 △ADC 中, ∠APB=∠ADC∠ABP=∠ACDAP=AD ,
∴△APB≅△ADCAAS , 图1
∴BP=CD ,
又 ∵PD=AP,∴CP=AP+BP ; (方法不唯一) …6 分
(3)过点 C 作 CH⊥AB,S1=12AQ⋅CH;S2=12BQ⋅CH;S=S1+S2=12AB⋅CH
∵1S+1S2=1S1∴S1S+S1S2=S1S1=1
∴12AQ⋅CH12AB⋅CH+12AQ⋅CH12BQ⋅CH=1 ,即 AQAB+AQBQ=1
设 AQ=x,BQ=2-x,x2+x2-x=1 解得 x=3±5;∵x1=3+5>2∴x1=3+5 舍去
x2=3-5 检验: x=3-5 是原分式方程的根, ∴AQ=3-5 .10 分
25. 定义: 如果抛物线 C1 的顶点在抛物线 C2 上,抛物线 C2 的顶点也在抛物线 C1 上,且抛物线 C1 与 C2 的顶点不重合,我们称抛物线 C1 与 C2 互为 “伴随抛物线”.
(1)判断下列抛物线是否为抛物线 y=x2 的 “伴随抛物线”,是的打 “ ​ ”,不是的打 “ × ”:
① y=-x2-2x ___；② y=x2-4x+4 ___；③ y=-x2+4x ___
(2)若抛物线 C1:y=mx2-2mx+2nm,n为实数且m≠0 与 C2:y=-mx2+4nx-2m 互为 “伴随抛物线”,请问抛物线 C2 的图象是否经过定点? 若经过,求出定点的坐标,否则,请说明理由; (3)已知抛物线 C1:y=ax2+2bx+c ( a,b,c 为实数且 a≠0 ) 与 x 轴交于点 M、N ,抛物线 C2 : y=-ax2+2cx+b 与 x 轴交于点 P、Q ,若抛物线 C1 与 C2 互为 “伴随抛物线”,且 a-b-c=0 , 请问 MN2+PQ2 是否为定值,若是,求出这个值; 若不是,请说明理由.
【解答】解：25. (1) ① ​ ; ②x; ③ ​ . .3 分
(2) ∵C1:y=mx2-2mx+2n=mx-12+2n-m2 ,
∴C1 的顶点坐标为 1,2n-m ,
: 抛物线 C1 与 C2 互为 “伴随抛物线”, ∴ 点 1,2n-m 在抛物线 C2 上,
∴2n-m=-m+4n-2m ,化简得 n=m , ..4 分
∴ 抛物线 C2 化简为: y=-mx2+4mx-2m=-mx2-4x+2 ,
∴x2-4x+2=0 ,解得 x=2+2 或 x=2-2 ,
∴ 抛物线 C2 过定点,坐标为 2+2,0、2-2,0 ; . .6 分
(3) ∵ 抛物线 C1:y=ax2+2bx+c,∴ 抛物线 C1 的顶点为 -ba,ac-b2a ，
∵ 抛物线 C1 与 C2 互为 “伴随抛物线”,
∴ 点 -ba,ac-b2a 在抛物线 C2:y=-ax2+2cx+b 上,
∴ac-b2a=-a⋅-ba2+2c⋅-ba+b ,
化简得 ac=-2bc+ab ①,
∵a-b-c=0 , ∴c=a-b ,
代入①得: a2=2b2 ②, ..7 分
∵ 抛物线 C1:y=ax2+2bx+ca≠0 与 x 轴交于点 M、N ,
∴xM、xN 是关于 x 的一元二次方程 ax2+2bx+c=0a≠0 的两根,
∴xM+xN=-2ba, xMxN=ca
∵MN2=xM-xN2=xM+xN2-4xMxN=-2ba2-4ca=4b2-4aca2
=4b2-4aa-ba2=4b2-4a2+4aba2 分
同理可得 PQ2=4a2+4b2-4aba2 分
∴MN2+PQ2=4b2-4a2+4aba2+4a2+4b2-4aba2=8b2a2=8b22b2=4 ,
∴MN2+PQ2 为定值,定值为 4 . . .10 分
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/9 14:32:29；用户：数学8；邮箱：huijia0008@xyh.cm；学号：48733920日加工零件数
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
销售单价（元件）
35
40
45
每天销售数量（件
90
80
70