湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷

这是一份湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷，共23页。

A．B．
C．D．
2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应为（ ）
A．0.149×106B．1.49×107C．1.49×108D．14.9×107
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5B．（x3）3＝x6
C．x（x+1）＝x2+1D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
4．（3分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是24B．众数是24
C．平均数是20D．方差是9
5．（3分）下列关于x的一元一次不等式x﹣1＞0的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（ ）
A．40°B．60°C．80°D．120°
7．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣2，1）
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与直线y＝﹣2x+3平行
D．y随x的增大而增大
8．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
9．（3分）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8B．12C．16D．18
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：﹣a2﹣6a﹣9＝ ．
12．（3分）请写出一个经过点（0，﹣2），且y随着x增大而增大的一次函数： ．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
14．（3分）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝ m．
15．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠CDM＝71°，则∠AOC＝ ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．
19．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 ；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在图中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标： ．
20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数．
21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
22．（9分）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
23．（9分）国庆节期间，某品牌月饼经销商销售甲、乙两种不同味道的月饼，已知一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为14元，每个甲种月饼的利润是6元，每个乙种月饼的售价比其进价的2倍少1元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元．
（1）甲、乙两种月饼的进价分别是多少元？
（2）在（1）的前提下，经销商统计发现：平均每天可售出甲种月饼200个和乙种月饼150个．如果将两种月饼的售价各提高1元，则每天将少售出50个甲种月饼和40个乙种月饼．为使每天获取的利润更多，经销商决定把两种月饼的价格都提高x元．在不考虑其他因素的条件下，当x为多少元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元？
24．（10分）如图（1），正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（0°≤α≤45°）．
（1）如图（2），正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点P，在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图1所示，直线与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．
湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、C、D是中心对称图形，故B、C、D选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应为（ ）
A．0.149×106B．1.49×107C．1.49×108D．14.9×107
【解答】解：将149000000用科学记数法表示为：1.49×108．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5B．（x3）3＝x6
C．x（x+1）＝x2+1D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
【解答】解：A、x2•x3＝x5，本选项符合题意；
B、（x3）3＝x9≠x6，本选项不符合题意；
C、x（x+1）＝x2+x，本选项不符合题意；
D、（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1≠4a2﹣1，本选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是24B．众数是24
C．平均数是20D．方差是9
【解答】解：将数据按从小到大排列为：16、19、22、23、24、24、29，
故中位数为：23，故A选项错误，不符合题意；
众数是24，故B选项正确，符合题意；
平均数为，故C错误，不符合题意；
方差是：，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列关于x的一元一次不等式x﹣1＞0的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，
x＞1，
在数轴上表示如图，
．
故选：B．
6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（ ）
A．40°B．60°C．80°D．120°
【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°
∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°
∴∠AOE＝60°．
故选：B．
7．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣2，1）
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与直线y＝﹣2x+3平行
D．y随x的增大而增大
【解答】解：A、当x＝﹣2，y＝﹣2x+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则点（﹣2，1）不在函数y＝﹣2x+1图象上，故本选项错误；
B、由于k＝﹣2＜0，则函数y＝﹣2x+1的图象必过第二、四象限，b＝1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；
C、由于直线y＝﹣2x+1与直线y＝﹣2x+3的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确；
D、由于k＝﹣2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误；
故选：C．
8．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠2，
∴∠2＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，
∴∠2＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：B．
9．（3分）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项A符合题意；
选项B中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项B不符合题意；
选项C中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项D不符合题意；
故选：A．
10．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8B．12C．16D．18
【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：﹣a2﹣6a﹣9＝ ﹣（a+3）2 ．
【解答】解：﹣a2﹣6a﹣9
＝﹣（a2﹣+6a+9）
＝﹣（a+3）2．
故答案为：﹣（a+3）2．
12．（3分）请写出一个经过点（0，﹣2），且y随着x增大而增大的一次函数： y＝x﹣2（答案不唯一） ．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵y随着x增大而增大，
∴k＞0，
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣2），取k＝1，
∴﹣2＝1×0+b，
∴b＝﹣2，
∴一次函数的解析式可以为y＝x﹣2．
故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．
【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
14．（3分）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 10 m．
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝16m，
∴AD＝BD＝8m，
设BO＝x m，则DO＝（x﹣4）m，
在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
即桥拱所在圆的半径是10m．
故答案为：10．
15．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为 1 ．
【解答】解：∵x＝3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32﹣3k﹣6＝0，解此方程得到k＝1．
16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠CDM＝71°，则∠AOC＝ 142° ．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B＝∠CDM＝71°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×71°＝142°，
故答案为：142°．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣+4﹣1+
＝2﹣+4﹣1+﹣1
＝4．
18．（6分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．
【解答】解：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5）
＝y2+2y+1﹣（y2+4y﹣5）
＝y2+2y+1﹣y2﹣4y+5
＝﹣2y+6，
当时，原式＝．
19．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 （﹣3，﹣2） ；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在图中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标： （3，﹣1） ．
【解答】解：（1）如图，点A′即为所求作．A′（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
（2）如图，△A1OB1即为所求作，点B1的坐标（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC；
（2）解：如图，连接DE，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵∠AEB＝∠ADC＝130°，
∴∠BED＝130°﹣60°＝70°．
21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，
∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，
∴∠B＝30°；
（2）过O作OE⊥BD于E，
∵OE过O，
∴BE＝DE，
∵圆心O到BD的距离为3，
∴OE＝3，
∵AO＝BO，DE＝BE，
∴AD＝2OE＝6．
22．（9分）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
【解答】解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2＝（﹣2﹣2）（﹣2+a），
解得：a＝4；
（2）①由（1）抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），
当y＝0时，得：0＝（x﹣2）（x+4），
解得：x1＝2，x2＝﹣4，
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0），
当x＝0时，得：y＝﹣2，即E（0，﹣2），
∴S△BCE＝×6×2＝6；
②由抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x＝﹣1，
根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为y＝kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴直线BE解析式为y＝﹣x﹣2，
将x＝﹣1代入得：y＝﹣2＝﹣，
则H（﹣1，﹣）．
23．（9分）国庆节期间，某品牌月饼经销商销售甲、乙两种不同味道的月饼，已知一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为14元，每个甲种月饼的利润是6元，每个乙种月饼的售价比其进价的2倍少1元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元．
（1）甲、乙两种月饼的进价分别是多少元？
（2）在（1）的前提下，经销商统计发现：平均每天可售出甲种月饼200个和乙种月饼150个．如果将两种月饼的售价各提高1元，则每天将少售出50个甲种月饼和40个乙种月饼．为使每天获取的利润更多，经销商决定把两种月饼的价格都提高x元．在不考虑其他因素的条件下，当x为多少元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元？
【解答】解：（1）设甲种月饼的进价是x元/个，乙种月饼的进价是y元/个，则
，
解得．
故甲种月饼的进价是8元/个，乙种月饼的进价是6元/个；
（2）依题意有（6+x）（200﹣50x）+（6﹣1+x）（150﹣40x）＝2650，
解得x1＝1，x2＝﹣，
∵x＞0，
∴x＝1．
答：当x为1元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元．
24．（10分）如图（1），正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（0°≤α≤45°）．
（1）如图（2），正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点P，在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
（2）解：如图1，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于点H，
∵∠BEA＝120°，
∴∠AEH＝180°﹣∠BEA＝60°，
∵∠AHE＝90°，
∴∠EAH＝90°﹣60°＝30°，
∴EH＝AE＝×6＝3，
∴AH＝＝＝3，
在Rt△ABH中，BH＝＝＝3，
∴BE＝BH﹣EH＝3﹣3；
（3）解：存在．如图2，连接AF，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF＝6，∠AEF＝90°，
∴AF＝＝＝12，
∵BF＝BC＝AB＝12，
∴AF＝BF＝AB＝12，
∴△ABF是等边三角形，
∵BA＝BF，EA＝EF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∵EG是线段AF的垂直平分线，
∴直线BE与直线EG是同一条直线，
∴点P与点G重合，即DP＝DG，
设EG与AF交于点O，则AO＝EO＝AF＝6，∠AOB＝90°，
∴BO＝＝＝6，
∴BE＝BO﹣EO＝6﹣6，
∵∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴DG＝BE，
∴DP＝BE＝6﹣6．
25．（10分）如图1所示，直线与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∵点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣x+3；
（2）如图，作PD⊥OB于D，
设Q（m，﹣m2﹣m+3），P（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣m，
∵PD∥OA，
∴△BPD∽△BAO，
∴＝，
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝＝＝5，
∴，
∴PB＝﹣m，
∴PQ+PB＝﹣m2﹣m﹣m＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，PQ+PB取得最大值，
∵×（﹣）+3＝，
∴P（﹣，）；
（3）如图，作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，
∵C（1，2），G（﹣1，0），
∴CN＝GN＝2，
∴∠CGN＝∠NCG＝45°，
∴∠CFD+∠GDF＝45°，
∵∠CFD+∠ABH＝45°，
∴∠GDF＝∠ABH，
∵∠GDF＝∠HBO，
∴∠ABH＝∠HBO，
∴OM＝MT，
∵S△ABM+S△BOM＝S△AOB，
∴AB•MT+OB•OM＝OB•OA，
∴5OM+3OM＝3×4，
∴OM＝，
∴M（﹣，0），
∴直线BM的解析式为：y＝2x+3，
∵C（1，2），G（﹣1，0），
∴直线CG的解析式为：y＝x+1，
由2x+3＝x+1得，x＝﹣2，
∴x+1＝﹣1，
∴H（﹣2，﹣1）．