湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024－2025学年九年级上学期第一次调研考试数学试题

这是一份湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024－2025学年九年级上学期第一次调研考试数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列函数中，二次函数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12B．2，3，4C．4，6，7D．3，4，5
4．如图，在中，，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则度数是（ ）
A．70°B．60°C．30°D．20°
5．为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（ ）
A．这组数据的平均数B．这组数据的方差
C．这组数据的众数D．这组数据的中位数
6．如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A．30B．60C．65D．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴D．正方形的对角线平分一组对角
8．抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表所示：
从上表可知，时，y的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润5万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一月份到二月份的增长率为x，二月份到三月份的增长率是，若三月份获得利润为7.8万元，则可列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．二次函数的最大值为，且中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（ ）
A．这两点一定是M和NB．这两点一定是Q和R
C．这两点可能是M和QD．这两点可能是P和Q
二、填空题
11．一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 ．
12．若二次根式有意义，则x的取值范围是 .
13．若关于的方程的一个根为3，则的值为 ．
14．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ．
15．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．

16．如图，中，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，已知线段，用直尺和圆规作菱形：
①以A为顶点，任意作一条射线；
②以A为圆心，长为半径画弧交射线于点D；
③分别以B，D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，连接，．
根据作图步骤及痕迹回答下列问题：
(1)能得到四边形是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
(2)连接，若，求的度数．
19．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？
20．某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
(1)表中a的值为__________，本次检测采用的是__________调查（填“全面”或“抽样”）；
(2)根据上述信息，下列说法中正确的是__________（写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足．
(3)估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
21．已知关于x的方程．
(1)当时，解这个方程；
(2)若方程有两个实数根，，且，求k的值．
22．某次气象探测活动中，在一广场上同时释放两个探测气球．1号探测气球从距离地面5米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球距离地面的高度y（单位：米）与上升时间x（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求y关于x的函数解析式；
(2)探测气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度？此时它们距离地面多少米？
23．如图，矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．
(1)求证：；
(2)当时，求的值．
24．我们约定：平面直角坐标系中，点，满足，，则称A，B为一对“等值点”．根据约定，解决下列问题：
(1)若点和点为函数图象上的一对“等值点”，求的值；
(2)关于x的函数（k，b为常数）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，请指出它有多少对“等值点”，如果不是，请说明理由；
(3)已知二次函数（a，b，c是常数，）的图象与x轴交于 C，D两点，点和，点和是该函数图象上的两对“等值点”，且满足．若以，，这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，试求该直角三角形的周长．
25．已知抛物线（n为常数）的顶点为P．
(1)求证：当时，抛物线与x轴无交点；
(2)若时，y有最小值7，时，y有最小值3，求t的值；
(3)如图，抛物线与直线交于A，B两点，记的面积为S，的周长为l，当n取不同实数时，求的最大值．
x
…
0
1
3
y
…
6
2
0
2
…
完全充放电次数t
充电宝数量/个
2
a
10
5
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义：形如的函数叫二次函数，据此判断即可．
【详解】解：A．符合二次函数的定义，本选项符合题意；
B．是一次函数，不符合题意；
C．是正比例函数，不符合题意；
D．是反比例函数，不符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．D
【分析】根据勾股定理的逆定理分别判断即可．
【详解】解：A、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．B
【分析】因为点D、E分别是直角边AC、BC的中点，所以DE是的中位线，三角形的中位线平行于第三边，进而得到，求出的度数，即为的度数．
【详解】解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质以及三角形内角和，由三角形中位线定义，找到平行线是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据题意，选择方差即可求解．
【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差，
故选：B．
【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键．
6．B
【分析】先根据平行四边形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用平行四边形的面积公式即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
则的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与面积公式、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
7．B
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题．
【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意；
D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的对称性，先由时所对应的和，得出该抛物线的对称轴为，结合二次函数的对称性，则与关于直线对称轴对称，且时，y的值为，据此即可作答．
【详解】解：∵当时，所对应的和，
∴该抛物线的对称轴为，
∵与关于直线对称轴对称，
∴时，y的值为6，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，表示出三月份获得利润即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意可得，二月份获得利润万元，三月份获得利润万元，
∴．
故选：D．
10．C
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，得到a＜0，对称轴x＝﹣1，根据题意逐项判断即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为a﹣b+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，
A. 若M和N不在该二次函数图象上，则由题意知P（1，m），Q（2，n），R（3，n+1）一定在图象上，而x＞﹣1时y随x增大而减小，这与Q（2，n），R（3，n+1）矛盾，故A不符合题意；
B. 若Q和R不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，而抛物线与y轴交点（0，c）一定在图象上，这样抛物线对称轴为，这与抛物线对称轴为x＝﹣1矛盾，故B不符合题意；
C. M和Q可能不在该二次函数图象上，故C符合题意；
D. 若P和Q不在该二次函数图象上，则M（﹣4，c）一定在图象上，同B理由，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标特征，解题的关键是根据题意得到a＜0，对称轴x＝﹣1，理解二次函数的性质．
11．1
【分析】本题考查众数，关键是掌握众数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，延长即可得到答案．
【详解】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1．
故答案为：1
12．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得-x≥0，再解不等式即可．
解答
【详解】由题意得：-x⩾0，
解得：，
故答案为.
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
13．
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
14．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，先利用A点坐标，观察函数图象得到当x<2 时，的图象都在直线的下方，由此得到不等式的解集．
【详解】解：∵ ，
观察函数图象得到：当x<2 时，的图象都在直线的下方，
即不等式的解集x<2．
故答案为：x<2．
15．4．
【分析】根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间.
【详解】解：依题意，令得：
∴
得：
解得：（舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单.
16．3
【分析】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
根据三角形斜边中线的性质求得，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3．
【详解】解：如图，连接、，
中，，
∴，
∵，点、分别是、的中点，
，
当、、在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：．
故答案为：3．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式除法化简，再计算即可．
【详解】解：原式．
18．(1)B
(2)
【分析】本题考查菱形的判定与性质；
（1）根据尺规作图步骤可得，即可得到菱形；
（2）根据菱形的性质可得，根据求解即可．
【详解】（1）解：根据作图步骤可得，
∴四边形是菱形，依据是四边相等的四边形是菱形，
故选：B；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
19．450m.
【分析】若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长．
【详解】解：，，
，
在中，，，
，
．
答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.
20．(1)，抽样
(2)①②
(3)个
【分析】此题主要考查了全面调查与抽样调查，频数分布表，中位数，加权平均数和用样本估计总体等知识，正确利用已知数据获取正确信息是解题关键．
（1）根据抽样调查和普查的特点即可得出答案；
（2）分别根据频数分布表，中位数和加权平均数判断即可；
（3）用总数乘以样本中完全充放电次数在次及以上的个数所占的百分比即可．
【详解】（1）解：，
因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
故答案为：，抽样；
（2）①由统计表可知这个充电宝的完全充放电次数都不低于次，故正确；
②这个充电宝的完全充放电次数的中位数满足，故正确；
③这个充电宝的完全充放电次数在中只有2个，故平均数一定大于400，故不正确；
∴故答案为：①②；
（3）解：(个),
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在次及以上的数量为个．
21．(1)，
(2)或
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）将代入原方程，利用配方法解一元二次方程，即可得出方程的根；
（2）由可得出，结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【详解】（1）解：当时，方程化为，
配方得，
∴，
解得，．
（2）解：，
方程总有实数根，
又，
或，
当时，，解得；
当时，则，解得；
或0．
22．(1)
(2)探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米
【分析】（1）设关于的函数解析式为，将点代入计算即可得；
（2）先求出1号气球上升分时，高度为米，再根据两个气球位于同一高度建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由题意，设关于的函数解析式为，
将点代入得：，
解得，
则关于的函数解析式为．
（2）解：由题意可知，1号气球上升分时，高度为米，
则，
解得，
此时，
答：探测气球上升20分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面25米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质可以得到，，然后根据角平分线的定义得到，进而得到，证明即可解题；
（2）证明为等边三角形，设，，根据勾股定理得到，解得，即可代入解题即可．
【详解】（1）证明：矩形中，，，，
平分，
，又，
，又，
，即，
又，，
，
；
（2）解：，且，
为等边三角形，
，设，，
则，，
，整理得，
故，开方得，又，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，分母有理化等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)当时，存在无数对“等值点”；当时，不存在“等值点”，理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据定义可得，再由，求出 ，即可求的值；
（2）分两种情况讨论：当 时，函数的图象是一条平行于轴的直线，存在无数对“等值点”；当 时，由于，则有此时，上不存在“等值点”；
（3）由题意求出，，再根据和，和是两对“等值点”，则有，，，，然后表示出，，，然后根据勾股定理计算解题即可．
【详解】（1）解：，是函数图象上的一对“等值点”，
，且，，又，
，
；
（2）法一：当时，函数的图象是一条平行于轴的直线，其上的点的纵坐标都相等，故存在无数对“等值点”；
当时，假设函数图象是一条与轴不平行的直线，其上任意两点的纵坐标都不相等，故不存在“等值点”；
法二：假设函数的图象上存在一对“等值点”x1,y1，x2,y2，满足，，
那么，，故，
，又，
当时，上式恒成立，此时存在无数对“等值点”，
当时，上式不成立，此时不存在“等值点”．
（3），
，
，，又和，和是两对“等值点”，
，，，，
，为方程的两根，
，
同理可知：，为方程的两根，
，
设，的横坐标为，，它们为方程的两根，
，
显然，又以，，这三条线段的长为边长的三角形是直角三角形，
，即，
，
，，，
该直角三角形的周长为．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，能将所求问题转化为二次函数的性质 是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数交点，线段和最小值，难度比较大；
（1）根据可得抛物线的顶点在第一象限，又抛物线开口向上，即可得到抛物线与x轴无交点；或者计算判别式，根据判别式即可证明；
（2）根据题意可得整个二次函数的最小值为，即，据此求解即可；
（3）先联立一次函数和二次函数求出，，得到，再利用铅锤法得固定不变，只需要求出最小值即可得到的最大值．
【详解】（1）证明：法一：，
抛物线的顶点在第一象限，又抛物线开口向上，
此时抛物线与轴无交点．
法二：令，得，即，
，又，
，
方程无实根，即此时抛物线与轴无交点．
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，有最小值，对称轴为直线，
∵若时，y有最小值7，时，y有最小值3，
∴抛物线的最小值为3，
∴，且在对称轴直线左边，即，
∴当时，随的增大而减小，
时，有最小值7，即，
解得或，
．
（3）解：联立，
消整理得，
，
，，
，，
，，
∴；
如图，过点作轴，交直线于点，
∴，
的面积，为定值．
当取不同实数时，线段在直线上滑动，且保持不变，
设点关于直线的对称点为，连接，并构造平行四边形，
，
的周长，
∵直线与轴交点，与交点，连接，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴轴，
∴，
∵平行四边形，
∴到与到平移规则一致，
∴，
∴，
，
，
∴的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
B
B
B
D
D
C