【考点清单】专题02+条件概率与事件的独立性-高二数学下学期期末考点大串讲试卷（人教B版2019选择性必修第二册）

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【考点题型一】条件概率的计算
1、条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
2、条件概率的求法：
（1）定义法：；
（2）缩小样本空间法：．
【例1】（23-24高二下·河南·月考）从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.
从而，，故.故选：A.
【变式1-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】记男生甲被选中为事件A，女生乙被选中为事件B，
则，所以.故选：D
【变式1-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两名游客慕名来到哈尔滨旅游，准备分别从中央大街、圣索菲亚大教堂、太阳岛、东北虎园林、龙塔这5个景点中随机选一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择中央大街”，事件B为“两人选择的景点不同”，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，,，
所以．故选：D．
【变式1-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】用表示女孩，表示男孩，
则样本空间．
分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件，
则，，
所以．故选：B
【考点题型二】条件概率的性质及应用
已知，，都是事件，且，则条件概率具有概率的性质：
（1）任何事件的条件概率都在和1之间，即；
（2）；
（3）如果与互斥，则；
（4）设事件的对立事件为，则
【例2】（2024·湖北武汉·二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，则，故，
而，则，又，
所以.故选：D
【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】因为，，，
且，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.故选：ABC
【变式2-2】（23-24高二下·山西大同·月考）已知事件A和B是互斥事件，，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，，
则．
【变式2-3】（22-23高二下·黑龙江佳木斯·期中）银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过3次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设表示第次按对密码，表示不超过3次就按对，
则有,
因为事件两两互斥，
由概率的加法的公式和乘法公式可得，
,
.
（2）记事件:最后1位是偶数，
则.
【考点题型三】乘法公式的应用
1、乘法公式：由条件概率计算公式可知，，这就是说，根据事件发生的概率，以及已知事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出与同时发生的概率.
【例3】（23-24高二下·安徽安庆·期中）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（ ）
A．0.4B．0.16C．0.68D．0.17
【答案】C
【解析】设表示第次打击后该构件没有受损，，
则由已知可得，，
所以由乘法公式可得，
即该构件通过质检的概率是0.68.故选：C.
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏·月考）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，，
由条件概率公式得，则,故选：B．
【变式3-2】（22-23高二下·河北衡水·月考）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495%B．0.9405%C．0.99%D．0.9995%
【答案】A
【解析】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件
则，
故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为
，故选：A
【变式3-3】（22-23高二下·新疆·期中）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，
所以，
所以两次都取到红球的概率为.故选：C.
【考点题型四】全概率公式的应用
（1）全概率公式：；
（2）全概率公式的推广：若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且．
【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8．现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（ ）
A．0.69B．0.7C．0.71D．0.72
【答案】C
【解析】用，分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门，用表示选到的方案是优秀方案．
由题意得，，，，
所以由全概率公式得．故选：C
【变式4-1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ）
A．0.24B．0.36C．0.5D．0.52
【答案】C
【解析】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5.故选：C.
【变式4-2】（23-24高二下·山西忻州·月考）某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖，
则，，，，
由全概率公式得，
所以甲参加抽奖活动中奖的概率．故选：D
【变式4-3】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为（注：比赛结果没有平局），则甲队最终获胜且种子选手上场的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，
由全概率公式知，
因为每名队员是否上场是随机的，故，，，
所以，，
，
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.故选：B.
【考点题型五】贝叶斯公式的应用
（1）定义：一般地，当且时，有
（2）贝叶斯公式的推广：若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
（3）利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算，即；
第二步：计算，可利用求解；
第三步：代入求解．
【例5】（22-23高二下·湖北·月考）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，
用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，
则，，，
由全概率公式可得，
所以，.故选：B.
【变式5-1】（23-24高二下·湖南张家界·期中）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，
记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，
则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.故选：A.
【变式5-2】（22-23高二下·江苏镇江·期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”，
“抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”，
则，
由全概率公式得，
所以它来自生产线的概率是.故选：B
【变式5-3】（22-23高二下·河北石家庄·月考）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．
（1）求这件产品是次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设取到第批产品为事件，，取到次品为事件.
.
（2）.
【考点题型六】相互独立事件的判断
1、相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
2、判断事件是否相互独立的方法：
（1）定义法：事件，相互独立的充要条件是．
（2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当时，可用判断．
【例6】（23-24高三上·湖北十堰·期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】B
【解析】由题意知，，
，
，
因为，所以A错误，
因为，所以B正确，
因为，所以C错误，
因为，所以D错误．故选：B
【变式6-1】（23-24高二下·湖北恩施·开学考）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：
①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．
以上命题中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
由题意得，，，
．
因为，故事件相互独立，①正确；
因为，故事件相互独立，②正确；
因为，故事件相互独立，③正确．故选：D
【变式6-2】（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．故选：B
【变式6-3】（23-24高二上·广东·月考）现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（ ）
A．乙与丙相互独立B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立D．甲与乙相互独立
【答案】D
【解析】由题意得，事件甲的概率，事件乙的概率，
有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是，显然事件丙与丁是对立事件，
两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为，
则事件丙的概率，所以事件丁的概率，
对于A中，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丙不相互独立，所以A错误；
对于B中，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丁不相互独立，所以B错误；
对于C中，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与丙不相互独立，所以C错误；
对于D中，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与乙相互独立，D正确．故选：D．
【考点题型七】相互独立事件的概率问题
1、求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定几个事件的发生是否相互独立；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积．
2、计算相互独立事件同时发生的概率时，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件．
（1）简单计算问题：将所求事件转化为若干个相互独立事件的交，然后利用独立事件的性质和推广求解；
（2）复杂计算问题：
= 1 \* GB3 ①直接法：将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率计算公式求解；
= 2 \* GB3 ②间接法：“至少”、“至多”型问题的求解，多转化为所求事件的对立事件，然后再转化为相互独立事件的交求解．
【例7】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（ ）
A．0.06B．0.38C．0.56D．0.94
【答案】B
【解析】由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是：
，故选：B.
【变式7-1】（23-24高二上·湖北十堰·月考）（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论不正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ABD
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，且，相互独立；
在A中，2个球都是红球的概率为，A错误；
在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为，C正确；
在D中，2个球中恰有1个红球的概率为，D错误.故选：ABD
【变式7-2】（23-24高二上·四川广安·月考）学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题没有人答对的概率是 ．
【答案】/
【解析】由题意，甲乙两人之间是相互独立的，且甲答对的概率是，乙答对的概率是，
所以此题没有人答对的概率是.
【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·月考）甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1）两人都译不出密码的概率；
（2）至多一人译出密码的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，
则，，，，
,
∴两人都译不出密码的概率为；
（2）事件“密码至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，
“两人都译出密码”的概率为，
则“密码至多一人译出密码”的概率为，
∴两人中至多一人译出密码的概率为.
【考点题型八】利用事件之间的关系求概率
一般地，已知两个事件，相互独立，它们发生的概率分别为，，则
（1），中至少有一个发生为事件；
（2），都发生为事件；
（3），都不发生为事件；
（4），中恰有一个发生为事件；
（5），中至多有一个发生为事件；
（6）与事件，有关的概率计算公式如表所示：
【例8】（23-24高二下·江苏常州·月考）学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进，
事件表示“甲共投篮三次就结束考试”.
则，故选：B
【变式8-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，
则，且，，相互独立，
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，
则，
设乙没有达优秀等级为事件，则，
所以.故选：B.
【变式8-2】（23-24高二下·重庆·月考）年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
【答案】（1）“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为；
（2）“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率
【解析】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，
“页楼哥回答正确第个问题”，.
根据题意得，
所以；，所以；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.
（2）由题意知，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为
.
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
【变式8-3】（23-24高二上·广东清远·月考）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打个球甲赢的概率；
（2）求该局打个球结束的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，
易知D，E为互斥事件，，，，
∴，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．，互斥
，相互独立
0
1