河北省邯郸市武安市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份河北省邯郸市武安市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2.在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3.已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
4.对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，y随x的增大而减小
5.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
6.如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8.如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．60°
9.把抛物线向右平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10.如图所示，在中，，那么（ ）
A．B．C．D．无法比较
11.随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
12.关于反比例函数，下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象经过点B．函数图象在第一、三象限
C．当时，D．当时，y随x的增大而增大
13.如图，一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
14.如图，点O是内一点，连接OA，OB，OC，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm，BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．B．5cmC．6cmD．7cm
16.已知二次函数（）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，中正确个数有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.已知（）与x轴的两个交点分别为、，则对称轴为直线 .
18.如图，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为点E，，，则 .
19.如图，正方形ABCD的边长为，P为对角线BD上动点，过P作于E，于F；连接EF，则EF的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
20.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字、、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；
（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回）；在任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率．
四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.（本小题8分）
（1）解方程：；
（2）计算：.
22.（本小题10分）
如图，在正三角形ABC中，D是边BC上任意一点，且.
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
23.（本小题10分）
如图，直线（）与双曲线（）交于点和点两点.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集是 .
24.本小题10分
如图，AB是的直径，AC是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，且.
（1）求的度数；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
25.（本小题10分）
如图，在中，，，.点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当t为何值时，的面积为5？
（3）当t为何值时，与相似？
备用图
26.（本小题12分）
如图，一名男生推铅球铅球行进路线呈抛物线形状，测得铅球出手点P距地面，铅球行进路线距出手点P水平距离4m处达到最高，最高点距地面3m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是铅球行进路线的水平距离，y（m）是铅球行进路线距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式；
（2）求铅球推出的距离是多少米.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：
A选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵在中，，，，
∴，
则，，，
故选：C.
利用锐角三角函数定义判断即可．
此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意得，，
故选：A.
本题比较容易，根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出a、b的值．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】C
【解析】解：
A、把点代入反比例函数得，故A选项正确；
B、∵，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；
C、当时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、当时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C.
根据反比例函数的性质用排除法解答．
本题考查了反比例函数（）的性质：
①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
②当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
5.【答案】C
【解析】解：作轴于点C，作轴于点D.
则，
则，
∵，，
设，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
故选：C.
作轴于点C，作轴于点D，易证，则面积的比等于相似比的平方，即的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图：
根据勾股定理得：，
在中，
∴，
故选：B.
根据勾股定理得，在中，利用正弦即可求解即可求解．
本题考查了勾股定理及正弦，熟练掌握基础知识是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
∴.
故选：A.
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故选：B.
由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理．
9.【答案】A
【解析】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点坐标为，由顶点式得，平移后抛物线解析式为：，
故选：A.
利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更简便．求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】B
【解析】解：如图，在圆上截取弧弧CD，则有：弧弧CE，
根据三角形的三边关系知，
，
∴.
故选：B.
如图，在圆上截取弧弧CD，再根据“根据三角形的三边关系”可解．
本题通过作辅助线，利用了三角形的三边关系求解．
11.【答案】B
【解析】解：设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程：
.
故选：B.
设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数＝十月揽件数＋十一月揽件数＋揽件数×（1＋揽件平均增长率）2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
12.【答案】D
【解析】解：
A、当时，，即函数图象经过点，不符合题意；
B、，反比例函数的图象分布在第二、四象限，不符合题意；
C、当时，，不符合题意；
D、，该函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，符合题意．
故选：D.
根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；
根据，双曲线的两支分别位于第二、四象限对B进行判断；
根据反比例函数的增减性质对C、D进行判断．
本题考查了反比例函数的性质：（）的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
13.【答案】A
【解析】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，
∴BC与B＇C是对应边，
∵B，C，A＇在一条直线上，
∴，
根据旋转的性质可知，
∴旋转角.
故选：A.
直接利用旋转的性质找出对应边和对应角，再根据三角板的内角的度数得出答案．
此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段之间的夹角等于旋转角，正确找到相对应的边是解题关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵点O是内一点，连接OA，OB，OC，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴，且，，且，，且，
∴，故①正确；
∴，故②错误；
∵，，
∴，故③正确；
∵，且，
∴，故④正确；
故选：C.
根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，利用三角形的相似比可依次判断各个结论的正误．
本题主要考查了三角形的判定与性质、三角形的中位线性质，利用相似三角形性质解决问题是解答的关键．
15.【答案】A
【解析】解：
∵四边形EFHG是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件EFHG的边长为x cm，则，
∴，
解得：，
即这个正方形零件的边长为.
故选：A.
证明，则，设正方形零件EFHG的边长为x，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．
本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：∵开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故结论①正确；
∵对称轴为直线，
∴.
∴.
故结论②正确；
当时，，故结论③正确；
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
故结论④错误；
综上所述，正确的结论是②③．
故选：C.
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时，.
此题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】1
【解析】解：∵（）与x轴的两个交点分别为、，
∴抛物线的对称轴为.
故答案为：1.
根据题意得到点、关于对称轴对称，进而求解即可．熟练掌握二次函数的对称性是关键．
本题考查二次函数的对称性，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
18.【答案】2cm
【解析】解：由题意可知，AB垂直平分CD，，
∴，
在中，，
∴.
故答案为：2cm.
结合题意，由垂径定理可得AB垂直平分CD，然后在中运用勾股定理求得OE即可求解．
本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
19.【答案】2
【解析】解：连接PC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为，
∴，，，
∵，，
∴四边形PECF是矩形，
∴，
要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，
∵点P在BD上，
根据“垂线段最短”可知：当时，PC为最短，
当时，由于，
∴为等腰直角三角形，即：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴（舍去负值），
即PC的最小值为2，
∴EF的最小值为2.
故答案为：2.
连接PC，先证四边形PECF是矩形得，据此得要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当时，PC为最短，然后中由勾股定理求出PC即可得到EF的最小值．
本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当时，线段PC为最短．
20.【答案】解：
（1）从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，它们是：，，，，，，，，，，，，
其中落在第二象限内的点有，，
所以点落在第二象限内的概率.
【解析】
（1）直接根据概率公式求解；
（2）先利用树状图展示12种等可能的结果数，再根据第二象限内点的坐标特征得到落在第二象限内的点有3个，于是可根据概率公式计算出点落在第二象限内的概率．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求解．注意从中任取一球，不放回．
21.【答案】解：
（1），
，
方程左边分解因式，得，
∴或，
解得，；
（2）原式
.
【解析】
（1）先移项，然后利用因式分解法求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再计算乘方和负整数指数幂，最后计算加减法即可．
本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
22.【答案】
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，，，
∴，，
由（1）知，
∴，
即，
∴，
∴.
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得出，进而推出，即可判定；
（2）根据等边三角形的性质及相似三角形的性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理及等边三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：
（1）∵双曲线经过点，
∴；
∴双曲线的表达式为.
∵点在双曲线上，
∴，
∴点B的坐标为.
∵直线经过点和点，
∴，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）∵，
∴由图象可知，关于x的不等式的解集是，
故答案为：.
（1）利用点A求出m，得到双曲线解析式，再求出点B的坐标，即可求出直线的解析式；
（2）不等式即为双曲线图象在直线的图象的上方，根据图象即可解答．
此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数的解析式，比较函数值的大小，正确掌握待定系数法及理解函数图象是解题的关键．
24.【答案】解：
（1）连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）由（1）可知
在中，∵，
∴，
∴阴影部分的面积，
【解析】
（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出，推出，即，由，推出，推出，可得，推出，即可解决问题
（2）先求和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．
25.【答案】
（1）解：∵，，
∴，
由题意，，，（），
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得.
（2）解：过点P作于点D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得.
（3）当时，
∴，
∴，
解得，
当时，
∴，
∴，
解得，
综上所述或时，与相似．
【解析】
（1）由勾股定理得出AC的长度，根据已知有条件得出AP、PC、CQ的长度，为顶角的等腰三角形，得出，列出方程即可．
（2）首先作出高线，由平行线分线段成比例定理得出比例式，由含有t的代数式表示出PD的长度，再根据三角形的面积公式得出即可．
（3）根据已知条件需要分类讨论，分两种情况讨论，从而得出比例式，代入即可求出．
本题是三角形动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形，三角形的面积，相似三角形的性及分类讨论的数学思想，解题关键是能用t表示相关的线段的长度．
26.【答案】解：
（1）由题意，，顶点坐标为，代入，
∴，，.
∴.
∴抛物线的表达式为.
（2）由题意，令，
∴或（不合题意，舍去．）
∴铅球推出的距离是10米．
【解析】
（1）依据题意，，顶点坐标为，代入即可得解；
（2）依据题意，由（1）所得解析式，令，求出x，即可判断得解．
本题主要考查二次函数的应用，读懂题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．