还剩20页未读，
继续阅读
河北省邯郸市永年区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
展开
这是一份河北省邯郸市永年区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分120分．分选择题、填空题、解答题三部分．
一、选择题（16个小题，1-10每题3分，11-16每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，若⊙的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的定义判断即可；
【详解】解：∵圆心到一条直线的距离等于半径，
∴这条直线是圆的切线，即与圆只有一个交点，
故选： A．
【点睛】本题考查了切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；掌握其定义是解题关键．
2. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ）
A. 86分B. 85分C. 84分D. 83分
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，该选手的成绩是，（分），
故选：D．
3. 如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
4. 如图，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取优弧上一点C，连接，由圆周角定理，得，运用圆内接四边形对角互补求解．
【详解】解：如图，取优弧上一点C，连接,则,
∴．
故选：B
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形；由相关定理得角之间的数量关系是解题的关键．
5. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似变换的概念得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，且它们的周长比为，
∴，，
∴与的面积之比：，
即与的面积之比是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 至少一个角是60°的三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
【详解】解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用锐角三角函数求角度，三角形的判定，解题的关键是分类讨论．
7. 在一次演讲比赛中，组委会邀请了7位评委为选手打分，并规定同时去掉一个最高分与最低分，将剩下5位评委的平均分作为该选手的最终得分．在7位评委的7个打分数据与后面保留的5个数据中，一定保持不变的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的意义进行分析判断即可．
【详解】解：去掉一个最高分与最低分，平均数，众数，方差都有可能发生变化，只有中位数不变，
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义，正确掌握各意义是解题的关键．
8. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A. B. C. 且D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴不等式的解集是或
故选：D．
9. 如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数．
【详解】解：连接、，如图：
，
，
是的内切圆，与、分别相切于点、，
，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
10. 若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（ ）
A. 1B. 1， C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出k的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
∵是一元二次方程，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
11. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，图象在每个象限内，随的增大而增大，双曲线在第二、四象限，据此分析即可，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，的值随的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：．
12. 如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根据锐角三角函数可得AE=3，AB=4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1．
故选：C
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
13. 如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由，可设，那么 ，根据勾股定理求出 ，那么．在中，根据勾股定理列出方程，求出，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：在中，，，
可设 ，那么 ，
，
．
在中，，，，
，
解得：，
，，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
【详解】∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15. 如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长．
【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA，
∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．
∴．
∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，
∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，
∴．
∴AE=5DE，
即8+DE=5DE，
解得：DE=2．
即此时影长为2米．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，依次判断，即可．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为：，
∴，
∵当时，，
∴，
∴错误；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴错误；
∵抛物线的对称轴为：，
∴当时和时，值相等，
∴当时，；当时，，
∴，
∴正确；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴有两个不同的解，
∴，
∴正确；
综上所述，正确的结论为：．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系．
二、填空题（3个小题，17-18每题3分，19题4分，共10分）
17. 若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：方程移项得，，
配方得，，
即，
∵一元二次方程 配方后得到方程 ，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留）
【答案】4π．
【解析】
【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
19. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得：AP=t，PD=5-t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，代入可得结论．
【详解】解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴y=CD•PD=×2×(5−t)=5-t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，
∵PC2=PD2+CD2，
∴PC2=22+（5-t）2=t2-10t+29，
∴S△DEF=（t2-10t+29）-（5-t）=t2-4t+=（t-4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．
三、解答题（7道题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_______，________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85，87，七；
（2）220 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
【小问2详解】
（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
【小问3详解】
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
22. 小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：）
【答案】古塔的高度ME约为39.8m．
【解析】
【分析】作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，先在Rt△DCP中利用已知条件利用勾股定理求出DC和PC的长，从而可得DH和EF的长，设，分别在Rt△MPE和Rt△MFD中根据60°和30°的三角函数用y的代数式表示出PE和DF，再根据PE、DF和DH的关系列出方程，解方程后即可求出结果.
【详解】解：作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，则，，，
设，∵，∴，
由勾股定理得，，即，解得，，
则，，
∴，，
设，则，
在中，，则，
在中，，则，
∵，
∴，解得，，
∴
答：古塔的高度ME约为39.8m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键.
23. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）2 （2）6
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【小问1详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【答案】（1）yx+2，y；
（2）△AOB的面积；
（3）P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）
【解析】
【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）△AOB的面积S=×OM×（xA-xB）=×2×（3+6）=9；
（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解： AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），
则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故一次函数的表达式为：yx+2；
【小问2详解】
解：设一次函数yx+2交y轴于点M（0，2），
∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），
∴△AOB的面积SOM×（xA﹣xB）2×（3+6）＝9；
【小问3详解】
解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
25. 如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理．
（1）先证明为的切线，则根据切线长定理得到平分，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理可得到的度数；
（2）设的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半径．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴；
【小问2详解】
如图，
设的半径为r，
由（1）知，
在中，∵，
∴
在中，，
解得，
即的半径为．
26. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数．
（1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【答案】（1）商场获得利润为800元
（2）销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元
（3）销售单价的范围是70≤x≤84
【解析】
【分析】（1）将函数关系式得到销售量，进而得到利润；
（2）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到，把代入得到；然后配成顶点式为，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，则时，有最大值．
（3）令，则，解得，，而当时，随的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元（元时，该商场获得利润不低于500元．
【小问1详解】
解：把代入得，，
（元）
答：当销售单价为80元时，商场获得利润为800元；
【小问2详解】
解：
抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，而
∴当x＝84时，（元）
∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元；
【小问3详解】
解：由，得，
整理得，，解得， ，
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，求出利润与之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价，本题的关键是找到函数关系式．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
90
八年级
84
87
本试卷满分120分．分选择题、填空题、解答题三部分．
一、选择题（16个小题，1-10每题3分，11-16每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，若⊙的半径为6，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的定义判断即可；
【详解】解：∵圆心到一条直线的距离等于半径，
∴这条直线是圆的切线，即与圆只有一个交点，
故选： A．
【点睛】本题考查了切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；掌握其定义是解题关键．
2. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ）
A. 86分B. 85分C. 84分D. 83分
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，该选手的成绩是，（分），
故选：D．
3. 如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
4. 如图，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取优弧上一点C，连接，由圆周角定理，得，运用圆内接四边形对角互补求解．
【详解】解：如图，取优弧上一点C，连接,则,
∴．
故选：B
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形；由相关定理得角之间的数量关系是解题的关键．
5. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似变换的概念得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，且它们的周长比为，
∴，，
∴与的面积之比：，
即与的面积之比是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 至少一个角是60°的三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
【详解】解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用锐角三角函数求角度，三角形的判定，解题的关键是分类讨论．
7. 在一次演讲比赛中，组委会邀请了7位评委为选手打分，并规定同时去掉一个最高分与最低分，将剩下5位评委的平均分作为该选手的最终得分．在7位评委的7个打分数据与后面保留的5个数据中，一定保持不变的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的意义进行分析判断即可．
【详解】解：去掉一个最高分与最低分，平均数，众数，方差都有可能发生变化，只有中位数不变，
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义，正确掌握各意义是解题的关键．
8. 如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A. B. C. 且D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为，
∴不等式的解集是或
故选：D．
9. 如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数．
【详解】解：连接、，如图：
，
，
是的内切圆，与、分别相切于点、，
，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
10. 若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（ ）
A. 1B. 1， C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出k的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
∵是一元二次方程，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
11. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，图象在每个象限内，随的增大而增大，双曲线在第二、四象限，据此分析即可，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，的值随的增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：．
12. 如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根据锐角三角函数可得AE=3，AB=4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1．
故选：C
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
13. 如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由，可设，那么 ，根据勾股定理求出 ，那么．在中，根据勾股定理列出方程，求出，然后利用余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：在中，，，
可设 ，那么 ，
，
．
在中，，，，
，
解得：，
，，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
【详解】∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15. 如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长．
【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA，
∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．
∴．
∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，
∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，
∴．
∴AE=5DE，
即8+DE=5DE，
解得：DE=2．
即此时影长为2米．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，依次判断，即可．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为：，
∴，
∵当时，，
∴，
∴错误；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴错误；
∵抛物线的对称轴为：，
∴当时和时，值相等，
∴当时，；当时，，
∴，
∴正确；
∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴有两个不同的解，
∴，
∴正确；
综上所述，正确的结论为：．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系．
二、填空题（3个小题，17-18每题3分，19题4分，共10分）
17. 若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：方程移项得，，
配方得，，
即，
∵一元二次方程 配方后得到方程 ，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留）
【答案】4π．
【解析】
【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
19. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得：AP=t，PD=5-t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，代入可得结论．
【详解】解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴y=CD•PD=×2×(5−t)=5-t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，
∵PC2=PD2+CD2，
∴PC2=22+（5-t）2=t2-10t+29，
∴S△DEF=（t2-10t+29）-（5-t）=t2-4t+=（t-4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．
三、解答题（7道题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_______，________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85，87，七；
（2）220 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
【小问2详解】
（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
【小问3详解】
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
22. 小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：）
【答案】古塔的高度ME约为39.8m．
【解析】
【分析】作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，先在Rt△DCP中利用已知条件利用勾股定理求出DC和PC的长，从而可得DH和EF的长，设，分别在Rt△MPE和Rt△MFD中根据60°和30°的三角函数用y的代数式表示出PE和DF，再根据PE、DF和DH的关系列出方程，解方程后即可求出结果.
【详解】解：作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，则，，，
设，∵，∴，
由勾股定理得，，即，解得，，
则，，
∴，，
设，则，
在中，，则，
在中，，则，
∵，
∴，解得，，
∴
答：古塔的高度ME约为39.8m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键.
23. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）2 （2）6
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【小问1详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【答案】（1）yx+2，y；
（2）△AOB的面积；
（3）P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）
【解析】
【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）△AOB的面积S=×OM×（xA-xB）=×2×（3+6）=9；
（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解： AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），
则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故一次函数的表达式为：yx+2；
【小问2详解】
解：设一次函数yx+2交y轴于点M（0，2），
∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），
∴△AOB的面积SOM×（xA﹣xB）2×（3+6）＝9；
【小问3详解】
解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
25. 如图，在，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，等腰三角形的性质和勾股定理．
（1）先证明为的切线，则根据切线长定理得到平分，则，再利用得到，然后根据三角形内角和定理可得到的度数；
（2）设的半径为r，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半径．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴；
【小问2详解】
如图，
设的半径为r，
由（1）知，
在中，∵，
∴
在中，，
解得，
即的半径为．
26. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数．
（1）当销售单价为80元时，求商场获得的利润；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
【答案】（1）商场获得利润为800元
（2）销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元
（3）销售单价的范围是70≤x≤84
【解析】
【分析】（1）将函数关系式得到销售量，进而得到利润；
（2）根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到，把代入得到；然后配成顶点式为，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，则时，有最大值．
（3）令，则，解得，，而当时，随的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元（元时，该商场获得利润不低于500元．
【小问1详解】
解：把代入得，，
（元）
答：当销售单价为80元时，商场获得利润为800元；
【小问2详解】
解：
抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，而
∴当x＝84时，（元）
∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元；
【小问3详解】
解：由，得，
整理得，，解得， ，
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，求出利润与之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价，本题的关键是找到函数关系式．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
90
八年级
84
87
相关试卷
河北省邯郸市永年区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题： 这是一份河北省邯郸市永年区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省邯郸市永年区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)： 这是一份河北省邯郸市永年区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省邯郸市永年区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题： 这是一份河北省邯郸市永年区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题，文件包含河北省邯郸市永年区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题docx、2023-2024学年第一学期期中质量检测八年级数学试题参考答案docx、永年区2023-2024学年第一学期期中质量检测八年级数学pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
