专题08 一元二次不等式和基本不等式中的恒成立及有解问题-2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题2
\l "_Tc170135646" 题型二、一元二次不等式在区间上的恒成立问题4
\l "_Tc170135648" 题型三、一元二次不等式在区间上的有解问题9
\l "_Tc170135648" 题型四、基本不等式中的恒成立问题14
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（16题）18
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式对任意实数恒成立⇔或
2、不等式对任意实数恒成立⇔或
注：对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为，
则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即．
三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；
一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
1、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒．
2、对任意的，恒成立⇒；
若存在，有解⇒；
若对任意，无解⇒．
【题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】
一、单选题
1．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】根据和，结合判别式即可求解.
【详解】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得解得．
综上，实数的取值范围是．
故选:B．
2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以其否定“，”是真命题，
则，解得，
所以实数的最小值为.
故选：D.
3．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然，
所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、填空题
4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可.
【详解】由题意知当时，符合题意；
当时，则
则实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用判别式法求解.
【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集，
所以，对恒成立，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为，
故答案为：
【题型二 一元二次不等式在区间上的恒成立问题】
一、单选题
1．（23-24高一上·全国·期末）“，为真命题”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用分参法求出前者为真命题时的的范围，再根据必要、充分条件的判断即可.
【详解】若“，为真命题”，
则，对恒成立，则，解得，
显然可以推出，但不可以推出，
则“，为真命题”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
2．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为对任意的，恒成立，
所以对任意的，恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，即的取值范围为.
故选：D
3．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【详解】当x∈-1,1时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在-1,1上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
二、填空题
4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】用求二次函数的性质列不等式来解题.
【详解】解析：设．其图象是开口向下的抛物线，
根据题意得解得．
故答案为：.
三、解答题
5．（23-24高一·全国·课堂例题）不等式在上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？
【答案】
【详解】二次函数的图像抛物线开口向上，
当不等式在上恒成立时，
等价条件为.
6．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）若，检验不等式是否恒成立，若，则，可求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，令，结合二次函数的性质可知，和时，可求的取值范围．
【详解】（1）要使恒成立，若，显然，满足题意；
若，则解得，
综上，的取值范围是．
（2）令．
当时，恒成立，则的根一个小于1，另一个大于2．
如图，得即解得，
的取值范围是．
7．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数.
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若不等式对一切x∈0,2恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可；
（2）参变分离，把恒成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以不等式，
可化简为：，
①当时，不等式化为，
②当即时，，
方程的两个根为，1.则不等式的解为或，
③当即时，，
方程的两个根为，1.则不等式的解为，
综上所述：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（2）不等式即，
即对恒成立，令，所以，
因为，当且仅当时取“＝”，
所以，当且仅当时取“＝”，
所以的取值范围为.
8．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求解一元二次不等式即可；
（2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）时，函数，
不等式即为，
即，
解得，
∴不等式的解集为.
（2）设，，
根据题意知，在上恒成立，
①当时，解得，
若，则在上单调递增，
则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
则，不符合题意；
②当，即时，的图像为开口向下的抛物线，
要使在上恒成立，需，
即，解得或，
又∵，∴此时无解；
③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，
（i）当，即时，在上单调递增，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
（ii）当，即或时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，此时无解；
（iii）当，即时，在上单调递减，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
综上，不存在符合题意的实数.
【题型三 一元二次不等式在区间上的有解问题】
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解.
【详解】由使得不等式成立是真命题，
即不等式在有解，
因为，当时，，
所以，即实数的取值范围为.
故选：C.
二、填空题
2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.
【详解】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故答案为：
3．（23-24高一上·山东烟台·期中）已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围
【详解】由题意得：当时，，不符题意；
当时，的对称轴为，
所以，只需，解得：，
当时，显然满足题意，
综上，的取值范围为，
故答案为：
三、解答题
4．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数.
(1)若的解集是或x>3}，求实数的值；
(2)当时，若时函数有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值；
（2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，的解集是或x>3}，
所以，解得.
（2）时，在有解，
即在有解，
因为的开口向上，对称轴，
①即，时，函数取得最小值，即，
∴.
②即时，当取得最小值，此时，
解得.
③当即时，当时取得最小值，此时，
解得，
综上，或.
所以的范围为.
5．（23-24高一上·福建·期中）已知函数
(1)若的解集是或，求实数的值；
(2)当时，若时函数有解，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值.
（2）化简不等式，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，的解集是或，则，
且是方程的两个根，
所以，解得．
（2）时，在有解，
即在有解，
法一：因为的开口向上，对称轴
①即时，函数取得最小值.
②即时，当取得最小值，此时，
解得或.又.
③当即，当时取得最小值，此时不成立，
即无解.
综上，．
法二：在有解，
当时不成立，
当时，即在有解，，
令，，
当且仅当即取“”，，.
6．（23-24高一上·山东济南·阶段练习）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，
（i）解关于x的不等式；
（i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）答案见解析； （i i）
【分析】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解；
（2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集；
（i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，因为不等式的解集为，
可得和是方程的两个实数根据，
则，解得.
（2）解：（i）由函数，
因为，可得，即，
所以，
由不等式，即，
当时，即时，解得或；
当时，即时，即为 解得；
当时，即时，解得或，
综上可得，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（i i）由（i）知，当时，不等式解集为，
若存在，使得，则满足，解得；
当时，不等式的解集为，
此时不存在，使得；
当时，不等式的解集为，
此时不存在，使得，
综上可得，实数的取值范围为.
【题型四 基本不等式中的恒成立问题】
一、单选题
1．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以或（舍去），
即，当且仅当时取得，
因为不等式恒成立，所以，
即，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】当时，对于任意正实数x，y，
，当且仅当时取等号，
即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立；
当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时，
，
当且仅当时取等号，
此时需满足，解得，此时a不一定等于9，
故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件，
故选：A
3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，，，
恒成立，等价于恒成立，
因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4.
故选：B
4．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）设正实数，满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】D
【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.
【详解】变形为，
令，
则转化为
，即，
其中
，
当且仅当，即时取等号，可知.
故选：D
二、解答题
5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立.
(1)若命题p真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最小值，即可求解；（2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围.
【详解】（1）∵p为真命题，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当，即时取等号.
所以.
（2）若q为真，则，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时取等号.
所以.
①若p为真，q为假，则且，即；
②若p为假，q为真，则且，即.
综上，或.
6．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知x，y都是正数，且.
(1)分别求x，y的取值范围；
(2)求的最小值及此时x，y的取值；
(3)不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1),；
(2)最小值为9，此时；
(3).
【分析】（1）由题设、，根据已知及不等式性质求x，y的取值范围；
（2）应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，并确定取值条件；
（3）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围.
【详解】（1）由得：，因，故，从而，
因为，故，得y的范围为；
同理：由，得x的范围为.
（2），
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9.
（3）由，得，
故，
又，
当且仅当时等号成立，取得最小值8，
故m的取值范围为.
一、单选题
1．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解.
【详解】因为，，所以在上恒成立，
只需在上的最大值小于，
因为在上单调递减，故在上的最大值为1，
所以.
A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误；
B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确；
C：是的充要条件，故C错误；
D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误.
故选：B.
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案．
【详解】由题意得：，成立是真命题，
故在上恒成立，
由基本不等式得：，当且仅当，
即时，等号成立，
故，
故选：A．
3．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9B．5C．6D．
【答案】B
【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求.
【详解】因为在上有解，所以在上有解，
所以，
又因为，当且仅当即时取等号，
所以，所以，即的最小值为，
故选：B.
4．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）不等式对任意的及恒成立，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把不等式恒成立问题转化为恒成立，令，则在上恒成立，利用二次函数求得最值即可求解实数的范围.
【详解】因为不等式对任意的及恒成立，
所以对任意的及恒成立，
令，因为及，所以，则在上恒成立，
因为的对称轴为，所以的最大值为，
所以，所以实数的范围是.
故选：D.
二、填空题
5．（23-24高一上·天津·期中）已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0
时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围.
【详解】当时，得，显然成立；
当时，由对一切实数都成立，得，
解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
6．（23-24高一上·北京丰台·期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值.
【详解】若不等式在上恒成立，则，
解得，
所以该命题为假命题时实数的取值范围是，
所以实数的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一，只要满足“或”即可）.
7．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意恒成立，则 ．
【答案】/
【详解】由，可得，从而，再由，，对任意恒成立，利用判别式法求解，得解.
令，解得，故，即，
则，所以对任意恒成立，
所以即解得，
同理对任意恒成立可得，
综上得， 则
故答案为：
8．（23-24高二下·江苏南京·期末）“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】讨论当时，即时，是否满足条件；当时，由不等式的解集为，可得，解出即可得到实数a的取值范围，然后从a的取值范围取一个满足条件的即可.
【详解】若，则，
当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为，不合题意，
当时，不等式可化为，
此时不等式的解集为，符合题意，
当时，由不等式的解集为，
可得，即，
即，解得或，
综上可知，实数a的取值范围是，
所以一个满足条件的实数a的值可以为：5.
故答案为：5.
9．（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】因为，所以将转化为然后与相乘然后运用基本不等式求解.
【详解】因为,所以
.
当且仅当时，即时等号成立,
所以.
故答案为：.
10．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ．
【答案】/
【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，，
所以转化为，
可得，即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以实数的最大值是.
故答案为：
三、解答题
11．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为.
(1)求该不等式的解集；
(2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分式不等式转化为二次不等式求解即可；
（2）根据不等式恒成立建立不等式求解即可.
【详解】（1）不等式等价于，即，
所以，解得，
故所求不等式的解集.
（2）令，
对，
不等式恒成立等价，
即，解得.
所求实数的取值范围是.
12．（22-23高一上·浙江·阶段练习）已知函数．
(1)若对,都有,求实数a的取值范围;
(2)若,使成立,求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判别式小于零即可
（2）由题意知，再讨论对称轴位置确定最大值即可
【详解】（1）由题知,即
解得1