沪教版（2020）5.2 导数的运算优秀课时作业

这是一份沪教版（2020）5.2 导数的运算优秀课时作业，文件包含沪教版2020高中数学选择性必修第二册52《导数的运算》分层练习原卷版docx、沪教版2020高中数学选择性必修第二册52《导数的运算》分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
二、填空题
2．（2022秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）函数的导数______.
【答案】
【分析】由基本初等函数的导数公式求解即可.
【详解】∵，
∴由基本初等函数的导数公式.
故答案为：.
3．（2022春·上海浦东新·高二上海市进才中学期末）已知函数的导函数为，则_______.
【答案】
【分析】求出的表达式，再求函数值即可作答.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：
4．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）若直线与曲线相切，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解值．
【详解】由，得，
直线与曲线相切，，解得，则，
可得切点为，代入，得．
故答案为：
5．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __．
【答案】
【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
【详解】由已知得，
由得．
故答案为：．
6．（2022秋·上海宝山·高三统考阶段练习）余弦函数在处的导数是___________.
【答案】
【分析】利用初等函数的导数可得到的导数，再代入即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
7．（2022春·上海浦东新·高二上海市进才中学期末）函数在处的切线倾斜角是___________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出函数在处的切线斜率，即可计算作答.
【详解】依题意，，则函数在处的切线斜率，
所以所求切线倾斜角为.
故答案为：
8．（2022春·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）设函数的导函数为，且，则___________．
【答案】
【分析】求导，将代入导函数可得，然后可得.
【详解】因为
所以，整理得
所以
所以.
故答案为：
9．（2022春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）已知函数，则函数f（x）的导函数为___．
【答案】
【分析】直接利用复合函数的求导法则解答.
【详解】∵，
∴.
故答案为：.
三、解答题
10．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可.
【详解】（1）；
（2）.
11．（2022春·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用常见函数的导数公式及简单复合函数的导数公式即得；
（2）利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得.
【详解】（1）；
（2）由（1）知，，
得切线方程为，
所围成的三角形的面积.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知函数及其导函数的定义域都是R.命题p：“若函数是奇函数，则是偶函数”：命题q：“若函数是周期函数，则也是周期函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．p是真命题，q是假命题B．p是假命题，q是真命题
C．p与q都是真命题D．p与q都是假命题
【答案】A
【分析】根据导数的运算性质，结合函数的性质，分析计算，即可得答案.
【详解】若是奇函数，则，
所以，
所以，即，
所以是偶函数，故命题p是真命题；
若函数是周期函数，不妨令是周期函数，
则（C为常数）不是周期函数，故命题q为假命题，
故选：A
二、填空题
2．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）已知，（）是双曲线上位于第一象限的任意两点，且，则函数的值域为______．
【答案】
【分析】由题意，，由导数的几何意义有，进而即可求解.
【详解】解：因为，所以，
因为，（）是双曲线上位于第一象限的任意两点，
所以，
所以，
所以，
又单调递增，所以在上单调递增，
所以，
所以函数的值域为，
故答案为：.
3．（2022秋·上海黄浦·高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数满足，函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．
【答案】
【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图像，利用导数求切线进行求解.
【详解】因为函数满足，
所以，，
因为函数恰有5个零点，
所以函数与恰有5个交点，如图，
因为与交于原点，要恰有5个交点，
与必有2个交点，
设与相切，切点为，
此时切线斜率为，解得，
解得，所以切点为，所以，解得，
所以要使函数恰有5个零点，则.
故答案为：.
三、解答题
4．（2022·上海浦东新·高二上海市实验学校期末）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
5．（2022春·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）已知曲线和.
(1)若曲线､在处的切线互相垂直，求的值；
(2)若与曲线､在处都相切的直线的斜率大于3，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据切线垂直可得在处导数值的乘积为求解；
（2）利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可.
【详解】（1）由可得，
由可得，
因为曲线､在处的切线互相垂直，
所以，解得.
（2）由题意，切线的斜率，
可得，且或，
所以，
令，则函数在和上是增函数，
所以或，
即或，解得或.
6．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，函数.
（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（Ⅲ）若函数与函数的图像有且仅有一个公共点，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程；
（Ⅱ）先将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证；
（Ⅲ）可构造函数运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求．
【详解】解：（Ⅰ）设曲线在点处切线是，则,
由于,所以，
由题意知：，于是;
（Ⅱ）令，
当时，，所以，即，
当时，，所以，
即，
于是在（0,1）单调递减，单调递增，
其最小值是，所以，于是原不等式成立;
（Ⅲ）令，
则函数与函数的图像有且仅有一个公共点等价于函数有且只有一个零点，
因为，
注意到为上的增函数且值域为，
所以在上有唯一零点，
且在上为负，上为正，所以为极小值，
又函数有唯一零点，结合的单调性知，
所以，即，
即，
即.
令，
显然，是的零点，
，
在（0,1）上为正，上为负，于是在上单调递减，
注意到 ,
所以在（1,2）内有一个零点，在内无零点，
所以的零点一定小于2，
从而函数与函数的图像有且仅有一个公共点时一定有.
【点睛】本题以含参数的两个函数解析式为前提条件，精心设置了两个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程使得问题获解；第二问的求解则是将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证从而获解；第三问求解时先构造函数，进而运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求，进而使得问题获解．