高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算精品同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算精品同步训练题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第二册分层练习52《导数的运算》教师版doc、人教A版高中数学选择性必修第二册分层练习52《导数的运算》原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2 C．e D.eq \f(1,e)
解析：选A 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.
3．曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,4)
解析：选D 由题意知，y′＝cs x，∴y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,x＝0))＝cs 0＝1.
设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π)，∴α＝eq \f(π,4).
4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝eq \r(5,t)，则质点在t＝4时的速度为( )
A.eq \f(1,2\r(5,23)) B.eq \f(1,10\r(5,23)) C.eq \f(2,5)eq \r(5,23) D.eq \f(1,10)eq \r(5,23)
解析：选B ∵s′＝eq \f(1,5)t SKIPIF 1 < 0 .∴当t＝4时，s′＝eq \f(1,5)×eq \f(1,\r(5,44))＝eq \f(1,10\r(5,23)) .
5．直线y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝eq \f(1,x)，∴令eq \f(1,x)＝eq \f(1,2)，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝eq \f(1,2)x＋b，得b＝ln 2－1.
6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，∴y′|x＝e＝eq \f(1,e).∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
答案：eq \f(1,e) x－ey＝0
7．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(ln x)′＝eq \f(1,x)，∴eq \f(1,x)＝2，解得x＝eq \f(1,2).
∴切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－ln 2)).故切线方程为y＋ln 2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))).即2x－y－1－ln 2＝0.
答案：2x－y－1－ln 2＝0
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
9．求下列函数的导数．
(1)y＝2； (2)y＝eq \r(4,x3)； (3)y＝10x； (4)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.
(2)∵y′＝(xα)′＝n·xα－1，∴y′＝(eq \r(4,x3))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x SKIPIF 1 < 0 ))′＝eq \f(3,4)x SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(3,4)x SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(3,4\r(4,x)) .
(3)∵y′＝(ax)′＝ax·ln a，∴y′＝(10x)′＝10x·ln 10.
(4)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，∴y′＝(cs x)′＝－sin x.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，与PQ平行的切线方程为：y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，即4x－4y－1＝0.
[B级 综合运用]
11．(多选)在曲线f(x)＝eq \f(1,x)上切线的倾斜角为eq \f(3,4)π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))
解析：选AB 因为f(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)，因为切线的倾斜角为eq \f(3,4)π，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－eq \f(1,x2)＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. eq \f(1,n) B.eq \f(1,n＋1) C.eq \f(n,n＋1) D．1
解析：选B 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝eq \f(n,n＋1)，
∴x1·x2·…·xn＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(n－1,n)×eq \f(n,n＋1)＝eq \f(1,n＋1)， 故选B.
13．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
解析：∵y′＝eq \f(1,2\r(x))，∴切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，
由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.
答案：4
14．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解：设切点P的坐标为(x0，xeq \\al(2,0))．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－xeq \\al(2,0)＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式，得5－xeq \\al(2,0)＝2x0(3－x0)，即xeq \\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，
∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
[C级 拓展探究]
15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)))′＝－eq \f(a2,x2).∴过点P的切线方程为y－y0＝－eq \f(a2,x\\al(2,0))(x－x0)．
令x＝0，得y＝eq \f(2a2,x0)；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2a2,x0)))·|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
5.2.2导数的四则运算法则
[A级 基础巩固]
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．函数y＝eq \f(x2,x＋3)的导数是( )
A.eq \f(x2＋6x,x＋32) B.eq \f(x2＋6x,x＋3) C.eq \f(－2x,x＋32) D.eq \f(3x2＋6x,x＋32)
解析：选A y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,x＋3)))′＝eq \f(x2′x＋3－x2x＋3′,x＋32)＝eq \f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq \f(x2＋6x,x＋32).
3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，
∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选D y′＝a－eq \f(1,x＋1)，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝axeq \\al(3,0)＋3，所以3x0＋1＝axeq \\al(3,0)＋3①.
对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3axeq \\al(2,0)＝3，axeq \\al(2,0)＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－eq \f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y′1＝eq \f(1,x2)，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为eq \f(1,x\\al(2,0))，
3xeq \\al(2,0)－2x0＋2，所以eq \f(3x\\al(2,0)－2x0＋2,x\\al(2,0))＝3，所以x0＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x＋sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x＋cs x，∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sin x.∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数：
(1)y＝eq \r(x)－ln x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝eq \f(x2,sin x)； (4)y＝eq \f(x＋3,x2＋3).
解：(1)y′＝(eq \r(x)－ln x)′＝(eq \r(x))′－(ln x)′＝eq \f(1,2\r(x))－eq \f(1,x).
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝eq \f(x2′·sin x－x2·sin x′,sin2x)＝eq \f(2xsin x－x2cs x,sin2x).
(4)y′＝eq \f(1·x2＋3－x＋3·2x,x2＋32)＝eq \f(－x2－6x＋3,x2＋32).
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝eq \f(5,2)，c＝－eq \f(9,2).
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(5,2)x4－eq \f(9,2)x2＋1.
[B级 综合运用]
11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( )
A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e
解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq \f(1,x)，
∴f′(e)＝2f′(e)＋eq \f(1,e)，解得f′(e)＝－eq \f(1,e)，故选C.
12．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4ln x，∴f′(x)＝2x－2－eq \f(4,x)＞0，
整理得eq \f(x＋1x－2,x)＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.
13．曲线y＝eq \f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
解析：y′＝－eq \f(1,2x－12)，则y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,x＝1))＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2eq \r(2)，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2eq \r(2)－1.
答案：2eq \r(2)－1
14．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
[C级 拓展探究]
15．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求fn′(2)；
(2)证明：fn(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \f(2,3)))内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－eq \f(1,2)＜eq \f(2n,3n＋1).
解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝eq \f(1－2n,1－2)－n·2n＝(1－n)·2n－1，
所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.
(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.
fneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(\f(2,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n)),1－\f(2,3))－1＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≥1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＞0，所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，
所以fn(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \f(2,3)))内单调递增，因此fn(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \f(2,3)))内有且仅有一个零点an.
由于fn(x)＝eq \f(x－xn＋1,1－x)－1，所以0＝fn(an)＝eq \f(an－a\\al(n＋1,n),1－an)－1，由此可得an＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)aeq \\al(n＋1,n)＞eq \f(1,2)，故eq \f(1,2)＜an＜eq \f(2,3).
所以0＜an－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)aeq \\al(n＋1,n)＜eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n＋1＝eq \f(2n,3n＋1).
5.2.3简单复合函数的导数
[A级 基础巩固]
1．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))5的导数为( )
A．y′＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4 B．y′＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))
C．y′＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x2))) D．y′＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))
解析：选C 函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))5是函数y＝u5与u＝x＋eq \f(1,x)的复合函数，∴y′ x＝y′ u·u′ x＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x2))).
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5) C．2xln(2x＋5) D.eq \f(x,2x＋5)
解析：选B y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′
＝ln(2x＋5)＋x·eq \f(1,2x＋5)·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5).
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析：选B 设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))由此得x0＝－1，a＝2.
4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1
解析：选A y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0))＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋2，,y＝x))得x＝y＝eq \f(2,3)，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，
则围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×1＝eq \f(1,3).
5．已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
解析：选D y′＝eq \f(－4ex,ex＋12)＝eq \f(－4ex,ex2＋2ex＋1)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).
∵ex＋eq \f(1,ex)≥2，∴ex＋eq \f(1,ex)＋2≥4，∴y′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
6．函数y＝sin 2xcs 3x的导数是________．
解析：∵y＝sin 2xcs 3x，∴y′＝(sin 2x)′cs 3x＋sin 2x(cs 3x)′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x.
答案：2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x
7．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．
解析：yx′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.
答案：2
8．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析：令u＝2x＋a，则yx′＝yu′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.
答案：1
9．求函数y＝asin eq \f(x,3)＋bcs22x(a，b是实常数)的导数．
解：∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(asin\f(x,3)))′＝acseq \f(x,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))′＝eq \f(a,3)cseq \f(x,3)，又∵(cs22x)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)cs 4x))′＝eq \f(1,2)(－sin 4x)×4＝－2sin 4x，
∴y＝asin eq \f(x,3)＋bcs22x的导数为y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(asin\f(x,3)))′＋b(cs22x)′＝eq \f(a,3)cseq \f(x,3)－2bsin 4x.
10．曲线y＝e2xcs 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 eq \r(5)，求直线l的方程．
解：由y′＝(e2xcs 3x)′＝(e2x)′cs 3x＋e2x(cs 3x)′＝2e2xcs 3x＋e2x(－3sin 3x)＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，
得y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0))＝2.则切线方程为 y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝eq \f(|c－1|,\r(5))＝eq \r(5)，解得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
[B级 综合运用]
11．函数f(x)＝eq \f(e2x,x)的导函数是( )
A．f′(x)＝2e2x B．f′(x)＝eq \f(2e2x,x) C．f′(x)＝eq \f(2x－1e2x,x2) D．f′(x)＝eq \f(x－1e2x,x2)
解析：选C 对于函数f(x)＝eq \f(e2x,x)，
对其求导可得：f′(x)＝eq \f(e2x′·x－e2x·x′,x2)＝eq \f(2x·e2x－e2x,x2)＝eq \f(2x－1e2x,x2).故选C.
12．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))) C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4
解析：选BCD A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋eq \f(π,4)，y＝cs u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝eq \f(1,u)的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选B、C、D.
13．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：设x>0，则－x