数学人教A版 (2019)5.2 导数的运算优秀课后练习题

这是一份数学人教A版 (2019)5.2 导数的运算优秀课后练习题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第二册课时分层作业52《导数的运算》教师版doc、人教A版高中数学选择性必修第二册课时分层作业52《导数的运算》原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f (x)＝eq \f(x2＋sin x,x)，则该函数的导函数f ′(x)＝( )
A．eq \f(2x＋cs x,x2) B．eq \f(x2＋xcs x－sin x,x2)
C．eq \f(2x＋xcs x－sin x,x2) D．2x－csx
B [由题意可得f ′(x)＝eq \f(2x＋cs xx－x2＋sin x,x2)＝eq \f(x2＋xcs x－sin x,x2)，故选B.]
2．已知f (x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则a的值为( )
A．eq \f(19,3) B．eq \f(10,3) C．eq \f(13,3) D．eq \f(16,3)
B [∵f (x)＝ax3＋3x2＋2，∴f ′(x)＝3ax2＋6x，又f ′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq \f(10,3).]
3．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)且满足f (x)＝2x·f ′(1)＋ln x，则f ′(eq \f(1,e))＝( )
A．eq \f(1,e)－2 B．e－2 C．－1 D．e
B [由题意得：f ′(x)＝2f ′(1)＋eq \f(1,x)，令x＝1得：f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1∴f ′(x)＝－2＋eq \f(1,x)，∴f ′(eq \f(1,e))＝e－2.故选B.]
4．曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
C [当x＝π时，y＝2sin π＋cs π＝－1，即点(π，－1)在曲线y＝2sin x＋cs x上．∵y′＝2cs x－sin x，∴y′|x＝π＝2cs π－sin π＝－2，则y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.]
5．已知函数f (x)＝aex＋x＋b，若函数f (x)在(0，f (0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [∵f ′(x)＝aex＋1，∴f ′(0)＝a＋1＝2，解得
a＝1，f (0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2.故选B.]
二、填空题
6．已知f (x)＝x2，g(x)＝ln x，若f ′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1 [因为f (x)＝x2，g(x)＝ln x，所以f ′(x)＝2x，g′(x)＝eq \f(1,x)且x>0，
f ′(x)－g′(x)＝2x－eq \f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)．故x＝1.]
7．曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________．
y＝2x－e [y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0.]
8．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，圆面积的膨胀率是________．
25π [因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝eq \f(1,4)πt2
故水波面积的膨胀率为S′＝eq \f(1,2)πt.当水波的半径为25时，
由vt＝25，解得t＝50即可得S′＝eq \f(1,2)π×50＝25π.]
三、解答题
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg eq \f(1,xn)，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 019.
[解] 因为y＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝eq \f(n,n＋1)，即xn＝eq \f(n,n＋1)，
所以an＝lgeq \f(1,xn)＝lg(n＋1)－lg n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 019
＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 020－lg 2 019＝lg 2 020＝1＋lg 202.
10．设f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程．
[解] 因为f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f ′(1)＝3＋2a＋b，又f ′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f ′(2)＝12＋4a＋b，又f ′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq \f(3,2).
则f (x)＝x3－eq \f(3,2)x2－3x＋1，从而f (1)＝－eq \f(5,2).
又f ′(1)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－3，
所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
11．(多选题)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up10(′)＝eq \f(1,x2) B．(cs 2x)′＝－2sin 2x
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,ln 3)))eq \s\up10(′)＝3x D．(lg x)′＝eq \f(－1,xln 10)
BC [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up10(′)＝－eq \f(1,x2)，(cs 2x)′＝－2sin 2x，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,ln 3)))eq \s\up10(′)＝3x，(lg x)′＝eq \f(1,xln 10).故选BC.]
12．(多选题)直线y＝eq \f(1,2)x＋b能作为下列函数图象的切线是( )
A．f (x)＝eq \f(1,x) B．f (x)＝x4
C．f (x)＝sin x D．f (x)＝ex
BCD [f (x)＝eq \f(1,x)，故f ′(x)＝－eq \f(1,x2)＝eq \f(1,2)，无解，故A排除；f (x)＝x4，故f ′(x)＝4x3＝eq \f(1,2)，故x＝eq \f(1,2)，即曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,16)))的切线为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(3,16)，B正确；f (x)＝sin x，故f ′(x)＝cs x＝eq \f(1,2)，取x＝eq \f(π,3)，故曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))的切线为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＋eq \f(\r(3),2)，C正确；f (x)＝ex，故f ′(x)＝ex＝eq \f(1,2)，故x＝－ln 2，曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ln 2，\f(1,2)))的切线为y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)ln 2＋eq \f(1,2)，D正确．故选BCD.]
13．(一题两空)已知f (x)＝xex，则f ′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
2e (－4，0) [f ′(x)＝(x＋1)ex，∴f ′(1)＝2e，设点B(x0，x0eeq \s\up10(x0))为曲线C上任意一点．
∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0eeq \s\up10(x0)＝(x0＋1)eeq \s\up10(x0) (x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0eeq \s\up10(x0)＝(x0＋1)eeq \s\up10(x0) (a－x0)，即xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))－aeq \s\up10(x0)－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.
∴a的取值范围是(－4，0)．]
14．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.
eln 3
[设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln 3，所以k＝3eq \s\up10(x0)ln 3，所以y＝3eq \s\up10(x0)ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3eq \s\up10(x0)ln 3·x0＝3eq \s\up10(x0)，所以x0＝eq \f(1,ln 3)＝lg3 e.
所以k＝eln 3.]
15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] (1)因为y′＝2x.P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝eq \f(4－1,2＋1)＝1，
切线的斜率k＝y′|eq \s\d10(x＝x0)＝2x0＝1，所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，
与PQ平行的切线方程为y－eq \f(1,4)＝x－eq \f(1,2)，即4x－4y－1＝0.
简单复合函数的导数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若f (x)＝exln 2x，则f ′(x)＝( )
A．exln 2x＋eq \f(ex,2x) B．exln 2x－eq \f(ex,x)
C．exln 2x＋eq \f(ex,x) D．2ex·eq \f(1,x)
C [f ′(x)＝exln 2x＋ex×eq \f(2,2x)＝exln 2x＋eq \f(ex,x).]
2．已知函数f (x)＝2ln(3x)＋8x，则eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,Δx)的值为( )
A．10 B．－10 C．－20 D．20
C [∵f (x)＝2ln(3x)＋8x，∴f ′(x)＝eq \f(6,3x)＋8＝8＋eq \f(2,x).根据导数定义知eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,Δx)＝－2eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝－2f ′(1)＝－20.故应选C.]
3．已知f (x)＝eq \f(ln x,\r(2x))，则f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2
D [依题意有f ′(x)＝eq \f(\f(1,x)·\r(2x)－\r(2)·\f(1,2\r(x))·ln x,2x)，故f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2＋ln 2,1)＝2＋ln 2，所以选D.]
4．已知函数f (x)是偶函数，当x＞0时，f (x)＝xln x＋1则曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为( )
A．y＝－x B．y＝－x＋2 C．y＝x D．y＝x－2
A [因为x＜0，f (x)＝f (－x)＝－xln(－x)＋1，f (－1)＝1，f ′(x)＝－ln(－x)－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故选A.]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空题
6．若函数f (x)＝eq \f(ex,x＋12)，则f ′(x)＝________.
eq \f(x－1ex,x＋13) [∵f (x)＝eq \f(ex,x＋12)，∴f ′(x)＝eq \f(exx＋12－ex×2x＋1,x＋14)＝eq \f(x－1ex,x＋13).]
7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e)
[设P(x0，y0)．∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x.∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.∴y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．]
8．已知P为指数函数f (x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．
eq \r(2)
[设f (x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f ′(x)＝ex，f ′(x0)＝eeq \s\up10(x0)＝1，x0＝0，
f (0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝eq \f(|0－1－1|,\r(2))＝eq \r(2).]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝a2x－3；(2)y＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))； (3)y＝e－xln x；(4)y＝eq \f(1,\r(1－2x)).
[解] (1)因为y＝a2x－3，所以y′＝a2x－3ln a·(2x－3)′＝2a2x－3ln a.
(2)因为y＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
所以y′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋x2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))′
＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(3)因为y＝e－xln x，
所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·eq \f(1,x)＝－e－xln x＋eq \f(e－x,x)＝eq \f(1－xln x,xex).
(4)因为y＝eq \f(1,\r(1－2x))＝(1－2x)eq \s\up10(－eq \f(1,2))，所以y′＝－eq \f(1,2)(1－2x)eq \s\up10(－eq \f(3,2))×(－2)＝eq \f(1,1－2x\r(1－2x)).
10．曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．
[解] ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcs x，∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0.
由eq \f(|m－1|,\r(1＋－12))＝eq \r(2)得m＝－1或3.
∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．(多选题)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cseq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x)
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcs x2
C．若y＝cs 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x
ACD [对于A，y＝cseq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x)，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；
对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcs 2x，故错误．故选ACD]
12．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．1
A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).]
13．(一题两空)设函数f (x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)π))＝eq \f(\r(3),2)，则φ＝________；若f (x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.
eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) eq \f(π,6)
[f ′(x)＝－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)．由条件知，f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)π))＝－eq \r(3)sin(π＋φ)＝eq \r(3)sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin φ＝eq \f(1,2)，∵0＜φ＜π，∴φ＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
又f (x)＋f ′(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).
若f (x)＋f ′(x)为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(5π,6)))，
∴φ＋eq \f(5π,6)＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,6).]
14．设P是曲线y＝x－eq \f(1,2)x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))) [由y＝x－eq \f(1,2)x2－ln x，得y′＝1－x－eq \f(1,x)(x＞0)，
∵1－x－eq \f(1,x)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤1－2eq \r(x·\f(1,x))＝－1，当且仅当x＝1时等号成立．
∴y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，
∴tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).]
15．设函数f (x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x).
(1)求导函数f ′(x)；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
[解] (1)由f (x)＝aexln x＋eq \f(bex－1,x)，得f ′(x)＝(aexln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bex－1,x)))eq \s\up10(′)＝aexln x＋eq \f(aex,x)＋eq \f(bex－1x－bex－1,x2).
(2)由于切点既在曲线y＝f (x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f (x)得f (1)＝b，∴b＝2.
将x＝1代入导函数f ′(x)中，得f ′(1)＝ae＝e，∴a＝1.