上海市九年级上学期数学期中模拟试卷01（测试范围：相似三角形）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

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一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个周长相等的直角三角形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】C
【知识点】相似多边形
【分析】根据相似图形的判断依据，对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备，结合选项，用排除法求解．
【详解】A. 两个菱形，对应边成比例，对应角不一定成相等，故不符合题意；
B. 两个周长相等的直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
C. 两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
D. 两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意.
故选C.
【点睛】此题主要考查了相似多边形的识别．理解相似多边形的判断依据是解题的关键．
2．已知，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解．
【详解】解：设，
,
故选：A．
3．已知α为锐角，，则α等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数值直接求解．
【详解】解：∵已知α为锐角，，
∴，
∴．
故选：B．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果和是相反向量，那么B．如果和是平行向量，那么
C．如果，那么D．如果（为非零向量），那么
【答案】D
【分析】根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可．
【详解】解：A、相反向量的和为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意；
B、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意；
D、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意；
答案：D．
【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键．
5．如图，点、分别在、上，以下能推得的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
【详解】解：设，
那么，
选项A、B、D、不符合平行线分段成比例定理．
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．
6．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
设的高为h，
，
设为，则为，为，
，
∴ ，
故选：B．
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
7．ABC与DEF相似，∠A＝72°，∠B＝48°，∠F＝60°，则∠E＝ ．
【答案】48°或72°
【分析】根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵ABC与DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F，
∴∠E＝∠B或∠E＝∠A，
∵∠B＝48°，∠A＝72°
∴∠E＝48°或72°，
故答案为：48°或72°．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应角相等是关键．
8．在比例尺为 的地图上，量得线段 AB两地距离是 ，则AB两地实际距离为 ．
【答案】240
【知识点】成比例线段
【分析】本题考查比例线段，比例尺的定义，设实际距离为，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设实际距离为，
由题意得：，
解得，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：240．
9．已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项．
【详解】∵线段是线段和的比例中项，
∴， 即，
∴，
故答案为： ．
10．在中，，，，则的余切值为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴的余切值．
故答案为：．
11．已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
根据黄金分割的定义即可得出答案．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
故答案为：．
12．一段公路的坡度为1∶3，某人沿这段公路路面前进100米，他上升的最大高度为 ．
【答案】10米．
【分析】已知了坡面长为100米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度．
【详解】解：如图．
Rt△ABC中，tanA=，AB=100米．
设BC=x米，则AC=3x米，根据勾股定理，得：
x2+（3x）2=1002，
解得x=10（负值舍去）．
故答案为：10米．
【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力．
13．中，，则的内接正方形的边长是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．根据正方形的性质可得出，进而可得出，设正方形的边长为a，则，利用相似三角形的性质可得出关于a的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
设正方形的边长为a，
，
，
，即，
，
故答案为：．
14．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为

【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值
【分析】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．
如图：作于点D，由网格可得，利用勾股定理求得，再由余弦函数的定义求解即可．
【详解】解：如图：作于点D，

则，
∴，
∴．
如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则
（结果用含，的式子表示）．
【答案】
【知识点】向量的线性运算
【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，．
是上一点，，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，与相交于点O，如果，，，，那么的长为 ．

【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，先利用，证明，再利用，可得，结合线段的和差，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴；
故答案为：．
17．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．
【答案】8
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，设这座方城每面城墙的长为里，根据题意得到，，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设这座方城每面城墙的长为里，
由题意得，，，，里，里，
，
，
，即，
，
∴这座方城每面城墙的长为8里，
故答案为：8．
18．一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm．
【答案】 18 8
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构建直角三角形，熟练利用勾股定理及三角函数是解题的关键．过作，为垂足，利用三角函数和勾股定理求出、即可求解；连接，作，为垂足，为的对应点，设，分别表示出、、、，用勾股定理即可求解．
【详解】解：过作，为垂足，
，
，
，
，
，
，

．
故答案：．
解：如图，连接，作，为垂足，为的对应点，
，
∴，
，
，
，
设，则，
，
由题空1得：，，
，
又
，
，
即：，
整理得：，
解得：，（舍去），
．
故答案：．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行运算，即可得到答案．
【详解】
＝
＝3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的混合运算，熟记运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．已知：且，求的值
【答案】，，．
【知识点】比例的性质
【分析】设，则，，．结合题意可得出关于k的方程，解出k的值即可解答．
【详解】解：设，
∴，，．
∵，
∴，
解得：，
∴，，．
【点睛】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
21．已知，求．
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结论．
【详解】解： ∵，
，
，
，
．
故．
22．某中学开展综合与实践活动，小宇所在的小组负责测量该校附近的山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，如图，他们的测量方法如下：小宇将一根长5米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处米）距离地面的高度米，小组其他同学测得石坝与地面的倾斜角．请你根据以上信息，求出石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果保留一位小数；参考数据：，，
【答案】4.2米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，根据平行线分线段成比例定理定理求出，再根据正弦的定义求出．
【详解】解：如图，过点作于，
则，
∴
，
米，米，米，
，
解得：，
在中，，
，
（米），
答：石坝坝顶与坝脚之间的距离约为4.2米．
23．如图，已知梯形中，，、分别是AD、的中点，BD与交于点，为BD上一点，．
(1)求的值；
(2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示)
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量；
（1）由三角形中位线定理易得为的中位线，进而可得为的中位线，于是；
（2）根据题意可得，根据三角形法则得出，证，得到，进而，以此即可得到答案．
【详解】（1）解：CD，点为的中点，
为的中位线，
点为BD的中点，
又点为AD的中点，
为的中位线，
AB，，即
（2）解：，，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：，．
24．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M．
(1)若，求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质．
（1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解；
（2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，即，
的值为；
（2）证明：，
，即，
，
，
，
，
点D是中点，
，
，
，即，
．
25．如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点．
(1)当时，求AP的长；
(2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离；
(3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由勾股定理求，作，等积法求，由勾股定理求，三线合一求即可．
（2）作，，由角平分线性质得，由求，再求即可；
（3）由得，即可求y关于x的函数关系式，由的长度确定定义域即可．
【详解】（1）解：
如图：
中，，，，
．
作，
即，
在中
；
故答案为：；
（2）解：如图
过点作，，垂足分别为、，
平分，
，
，
，
，即，解得．
故答案为：；
（3）解：
如图，过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等采三角形三线各一，勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．