专题02 相似三角形（考点清单，知识导图+2个考点清单+4种题型解读）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

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【清单01】 相似三角形的判定
相似三角形的
【清单02】相似三角形的性质
注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.
【考点题型一】相似三角形的性质（共8小题）
【例1】（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应中线的比为

A．B．C．D．
【变式1-1】（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边之比为
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023秋•黄浦区期末）已知：△△△，如果△与△的相似比为2，△与△相似比为4，那么△与△的相似比为
A．2B．4C．6D．8
【变式1-3】（2023秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形的相似比是，小三角形的周长为，大三角形的周长是 ．
【变式1-4】（2023秋•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为 ．
【变式1-5】（2023秋•虹口区期末）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是 平方分米．
【变式1-6】（2023秋•金山区期末）在中，，是边上的一点，为边上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ．
【变式1-7】（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，是边上的高，如果，，那么与的相似比 ．
【考点题型二】相似三角形的判定（共7小题）
【例2】（2023秋•金山区期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】（2023秋•奉贤区期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，联结．下列两个三角形不一定相似的是
A．与B．与C．与D．与
【变式2-2】（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是
A．两个直角三角形B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形
【变式2-3】（2024•静安区校级模拟）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是
A．B．C．D．
【变式2-4】（2023秋•宝山区期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是
A．只有①是B．只有②是C．①和②都是D．①和②都不是
【变式2-5】（2024•闵行区三模）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，，求证：．
【变式2-6】（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【考点题型三】相似三角形的判定与性质（共13小题）
【例3】（2023秋•长宁区期末）如果点、分别在的两边、上，由下列哪一组条件可以推出
A．，B．
C．，D．
【变式3-1】（2023秋•长宁区期末）已知在与△中，点、分别在边、上，（点不与点、重合，点不与点、重合）．如果与△相似，点、分别对应点、，那么添加下列条件可以证明与△相似的是
①、分别是与△的角平分线；
②、分别是与△的中线；
③、分别是与△的高．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【变式3-2】（2023秋•静安区期末）在中，点、、分别在边、、上，联结、，如果，，且，那么的值是
A．3B．C．2D．
【变式3-3】（2023秋•金山区期末）已知点是平行四边形的边上一点，联结和相交于点，如果，那么为
A．B．C．D．
【变式3-4】（2023秋•黄浦区期末）如图，△三边上点、、，满足，，那么下列等式中，成立的是
A．B．C．D．
【变式3-5】（2023秋•徐汇区期末）如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别联结、、，如果，那么下列结论正确的是
A．B．C．D．．
【变式3-6】（2022秋•虹口区期末）如图，点、分别在边、上，，且，那么的值为
A．B．C．D．
【变式3-7】（2023秋•浦东新区校级月考）如图所示，过△的顶点作任一直线与边及中线分别交于点和，过点作交于点．
（1）若，求．
（2）试说明．
【变式3-8】（2022秋•长宁区期末）已知：如图，在△中，点在边上，且，边的垂直平分线交边于点，交于点．
（1）求证：△△；
（2）如果△的面积为180，且，，求△的面积．
【变式3-9】（2022秋•杨浦区期末）如图，中，，是斜边上的中点，是边上的点，与交于点，且．
（1）求证：；
（2）连接，如果点是中点，求证：．
【变式3-10】（2022秋•嘉定区期末）如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【变式3-11】（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在中，，点、分别是边、的中点，，与相交于点，的延长线与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【变式3-12】（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形是平行四边形，在边的延长线上截取，点在的延长线上，和交于点，和交于点．联结．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【考点题型四】相似三角形的应用（共8小题）
【例4】（2024秋•静安区校级月考）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是 ．
【变式4-1】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为 ．
【变式4-2】（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 ．
【变式4-2】（2023秋•浦东新区校级期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 ．
【变式4-3】（2023秋•松江区校级月考）如图，有一块面积等于的三角形纸片，已知底边与底边上的高的和为（底边大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边在边上，顶点、分别在边、上．
（1）求和底边上的高；
（2）求加工成的正方形纸片的边长．
【变式4-4】（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
【变式4-5】（2022秋•宝山区期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①，斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②，使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【变式4-6】（2023秋•奉贤区期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为12.8厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长．