期中模拟预测卷01（测试范围：第24章-第25章）-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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2022-2023学年九年级数学上学期期中模拟预测卷01
（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）
考生注意：
1． 本试卷26道试题，满分150分，考试时间100分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共6小题每题4分，满分24分）
1．如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝3 C．＝ D．＝
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴＝，
∴选项A不正确；
∵2x＝3y，
∴＝，
∴＝＝3，
∴选项B正确；
∵2x＝3y，
∴＝，
∴＝＝，
∴选项C不正确；
∵2x＝3y，
∴＝，
∴＝＝，
∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（　　）
A．a•tanα B．a•cotα C． D．
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：cot∠A＝，
∴AC＝BC•cotA＝a•cotA，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
3．如果，，而且，那么与是（　　）
A．与是相等向量
B．与是平行向量
C．与方向相同，长度不同
D．与方向相反，长度相同
【分析】首先根据二元一次方程组的求解方法，可以得到，，又由向量的意义，可得与方向相反，长度不同，是平行向量．
【解答】解：∵，，
∴，，
∴与方向相反，长度不同，是平行向量．
故选：B．
【点评】此题考查向量的知识．解题的关键是对向量知识的理解．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　）
A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C． D．
【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：如图，

A、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
B、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵AE：AD＝AB：AC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故C不符合题意；
D、AE：DE＝AC：BC，不能使△ADE和△ABC相似，故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF相交于点H，且AB＝2，BC＝3，EF＝4．则DF的值为（　　）

A．10 B． C． D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝4，
∴，
解得：DF＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．如图，在△ABC中、DE∥BC，DF∥AC，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，那么下列等式不正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段对应成比例及相似三角形的判定、性质判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵DF∥AC，
∴＝
∴＝，故A正确，不符合题意；
∵DF∥AC，
∴＝，故C正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故D正确，不符合题意；
∴A，C，D正确，不符合题意，
∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形CEDF是平行四边形，
∴DE＝CF，
∴＝，
∵，
而CF不一定等于BF，
∴选项B不一定正确，符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据平行线转化比例线段．
二．填空题（共12小题，每题4分，满分28分）
7．台湾到上海距离在一张1：50000000的地图册上量得约为3厘米，则实际距离约为 　1500　千米．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式求得两地的实际距离．要统一注意单位．
【解答】解：设台湾到上海的实际距离是xcm，则：
1：50000000＝3：x，
解得x＝150000000cm＝1500km．
∴台湾到上海的实际距离是1500km．
故答案为：1500．
【点评】主要考查了比例尺的应用，注意单位的统一．
8．线段b是线段a和线段c的比例中项，若a＝4，c＝9，则线段b＝　6　．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以b2＝ac，即b2＝4×9，解得b＝±6（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：6．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
9．如果，那么＝　4　．
【分析】利用内项之积等于外项之积得到5（a﹣b）＝3（a+b），整理得到a＝4b，从而可计算的值．
【解答】解：∵，
∴5（a﹣b）＝3（a+b），
即5a﹣5b＝3a+3b，
∴a＝4b，
∴＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
10．化简：3（+2）﹣2（+）＝　+4　．
【分析】根据向量的加减运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：3（+2）﹣2（+），
＝3+6﹣2﹣2，
＝+4．
故答案为：+4．
【点评】本题考查了平面向量的计算，括号前面是减号，去括号时要注意改变运算符号．
11．如图，矩形DEFG内接于△ABC，BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，则BC边上的高的长是　4cm　．

【分析】根据矩形DEFG内接于△ABC，由S△ABC＝S△AGF+S梯形BCFG可得出答案．
【解答】解；过A点作BC边上的高AH，交GF于M，交BC于H，
由S△ABC＝S△AGF+S梯形BCFG可得，
BC×AH＝GF×AM+（GF+BC）×AH，
将BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2代入上式可得AH＝4cm．
故答案为：4cm．
【点评】此题考查学生对三角形面积和梯形面积的理解和掌握，也可利用相似三角形的判定与性质和矩形性质解答此题，总之，不管用哪种方法，只要学生能正确解答，都要积极给予鼓励，激发他们的学习兴趣．
12．如图，∠B＝∠D，AB＝2，CD＝4，OD＝6．则BO＝　3　．

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝∠D，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴＝，
∴OB＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
13．已知点G是等边△ABC的重心，AB＝，那么AG＝　1　．
【分析】利用重心的性质得到AG＝2GD，再利用等边三角形的性质得到AD⊥BC，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝，所以AG＝2（AD﹣AG），从而可求出AG的长．
【解答】解：∵点G是等边△ABC的重心，
∴BD＝CD，AG＝2GD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵∠B＝60°，
∴BD＝AB＝，
∴AD＝BD＝×＝，
∵AG＝2（AD﹣AG），
∴AG＝2（﹣AG），
∴AG＝1．
故答案为：1．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等边三角形的性质．
14．若线段PK＝10cm，点K是线段PQ的黄金分割点，且PK＞KQ，那么KQ的长为 　（5﹣5）　cm．
【分析】直接根据黄金分割的定义求出KQ的长即可．
【解答】解：∵线段PK＝10cm，点K是线段PQ的黄金分割点，且PK＞KQ，
∴＝，
∴KQ＝PK＝×10＝（5﹣5）（cm），
故答案为：（5﹣5）．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E．AD＝5，DE＝3，则CD的长是 　　．

【分析】先证明Rt△ACD∽Rt△DAE，根据对应边成比例得出AD：AC＝DE：AD，从而得出AC的长，再由勾股定理得出CD即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠CAD＝∠C，
∴Rt△ACD∽Rt△DAE，
∴＝，
∵AD＝5，DE＝3，
∴＝，
∴AC＝，
在Rt△ACD中，CD2+AD2＝AC2，
∴CD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握判定三角形相似的方法以及勾股定理是解题的关键．
16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、DB交于点O，如果S△AOD：S△ABD＝2：5，那么S△AOD：S△BOC＝　4：9　．

【分析】根据等高不等底的三角形的面积之比就是底之比，求得OD：OB＝2：3，则面积之比就是相似比的平方，从而得到答案．
【解答】解：∵S△AOD：S△ABD＝2：5，
∴S△AOD：S△ABO＝2：3，
∴OD：OB＝2：3，
∵这两个三角形是等高不等底的三角形，
∴面积之比就是底之比，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AOD：S△COB＝4：9，
故答案为：4：9．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，掌握相似三角形的判定与性质是解决此题的关键．
17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE＝∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是　1：4　．

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，
∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，
∴AM＝AT，
∵∠ADE＝∠C，∠BAC＝∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝（）2＝（）2＝1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝　2或　．

【分析】设AB＝5a，BC＝3a，由锐角三角函数和勾股定理可求AC＝4a，由旋转的性质可求A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，分两种情况讨论，求出A'C'的长，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝＝，
∴设AB＝5a，BC＝3a，
∴AC＝＝4a，
∵将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，
∴A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，
如图1，当点C落在线段AB上时，

则AC'＝AB﹣BC'＝2a，
∴tan∠BAA′＝＝2，
如图2，当点C落在线段AB的延长线上时，

则AC'＝AB+BC'＝8a，
∴tan∠BAA′＝＝，
故答案为：2或．
【点评】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分98分）
19．计算：（﹣tan45°）2021﹣cos60°+|cot30°﹣1|．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（﹣1）2021﹣+|﹣1|
＝﹣1﹣+﹣1
＝﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
20．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设＝．
（1）＝　　（用向量表示）；
（2）设＝，在图中求作．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）

【分析】（1）由DE∥BC推出AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，推出DE＝BC，由＝，推出＝；
（2）作△ABC的中线AF，结论：就是所要求作的向量；
【解答】解：（1）如图设G是重心，作中线AF．
∵DE∥BC，
∴AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，
∴DE＝BC，
∵＝，
∴＝．
故答案为
（2）作△ABC的中线AF，
结论：就是所要求作的向量．

【点评】本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．

【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．

【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
22．已知实数x、y、z满足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．
【分析】设＝＝＝k（k≠0），得出x＝3k，y＝5k，z＝2k，再根据x﹣2y+3z＝﹣2，求出k的值，从而得出x、y、z的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝，
设＝＝＝k（k≠0），
∴x＝3k，y＝5k，z＝2k，
∵x﹣2y+3z＝﹣2，
∴3k﹣10k+6k＝﹣2，
∴k＝2，
∴x＝6，y＝10，z＝4，
∴＝＝2．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
23．如图，梯形BCDE中，DE∥BC，CD、BE的延长线交于点A，联结BD、CE相交于点O，已知AE＝3，EB＝6，DE＝2．
（1）求线段BC的长；
（2）若S△DOB＝1，求S△CEB＝？

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可求出BC的长．
（2）由平行线得出△ODE∽△OBC，得出＝，＝，求出S△CEB：S△BOC＝4：3，S△OBC＝9，即可得出S△CEB＝12．
【解答】解：（1）∵AE＝3，EB＝6，
∴AB＝9，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴BC＝3DE＝6；
（2）∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OBC，
∴＝，＝（）2＝，
∴S△CEB：S△BOC＝4：3，S△OBC＝9×1＝9，
∴S△CEB＝×9＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积关系．熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
24．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．

【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2＝AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1＝∠F，再根据平行线的性质得∠F＝∠4，∠2＝∠3，所以∠3＝∠4，加上∠NMC＝∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD＝CN：CD，然后利用CD＝AB和比例的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
而BE＝AB，
∴BE＝CD，
而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2＝AB•AF，
∴AD：AB＝AF：AD，
而∠DAB＝∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1＝∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
而∠NMC＝∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD＝CN：CD，
∴MC•CD＝MD•CN，
而CD＝AB，
∴CM•AB＝DM•CN．

【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
25．有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N．
（1）若BE＝，求这时AM的长；
（2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据折叠的性质，折叠前后线段相等，即AM＝ME，再由勾股定理求得AM＝；
（2）仿（1）可求AM＝．又根据折叠的性质，可证△AMN∽△BEA，得，推出y＝，定义域为：5−≤x≤2；
（3）可用分析法：若△AME与△DNE相似，可推出DN＝NE＝NA＝，进而利用（2）的结论即可求解．
【解答】解：（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交），

设AM＝t，
∵把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，
∴ME＝AM＝t，MB＝2﹣t，
∵BM2+BE2＝ME2，即（2﹣AM）2+（）2＝t2，解得t＝，
∴AM＝；

（2）如图，

∵BM2+BE2＝ME2，即（2﹣AM）2+x2＝AM2，解得AM＝．
∵把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，
∴MN⊥AE，
∴∠AMN+∠BAE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠NAM＝∠B＝90°，
∴∠BEA+∠BAE＝90°，
∴∠BEA＝∠AMN，
∴△AMN∽△BEA，
∴，
∵BE＝x，AN＝y，
∴，
∴y＝，
∵0＜x≤2，0＜y≤5，
∴x的取值范围为：5−≤x≤2；

（3）如图，

解法一：若△AME与△DNE相似，则∠DNE＝∠AME．
又因为AM＝ME，所以DN＝NE＝NA＝AD＝，
所以y＝＝，
解得：x＝1或x＝4．
又∵5−≤x≤2，故x＝1．
∴BE＝1．
解法二：若△AME与△DNE相似，
∵AM＝ME，
∴DN＝NE，
∴∠DNE＝∠AME．∠DEN＝∠AEM，
∵把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，
∴∠MEN＝∠MAN＝∠AEM+∠AEN＝90°，
∴∠AED＝∠DEN+∠AEN＝∠AEM+∠AEN＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AED+∠EAB＝90°，
∴∠DEC＝∠EAB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴，即，
解得：BE＝1或4．
由（2）知：5−≤BE≤2，
∴BE＝1．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后线段相等．以及相似三角形的判定和勾股定理的运用，是一道综合性较强的题．