期末模拟测试卷01 考试版-九年级上学期数学期末考点大串讲（北师大版）

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选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）。
1．已知，则的值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】解：由分比性质，得＝，
则＝＝，
故选：C．
2．若点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A．（2，6）B．（3，4）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣6，2）
【答案】D
【解析】解：∵点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝﹣12，
∴反比例函数解析式为，
∴在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为﹣12，
∵四个选项中只有D选项满足横纵坐标的乘积为﹣12，
∴D选项符合题意．
故选：D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则csB的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∴csB＝＝＝．
故选：A．
4．二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【答案】C
【解析】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
故选：C．
5．若反比例函数的图象经过（2，5），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．图象在二、四象限
C．当x＜0，y随x的增大而减小
D．当x＞0，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点（2，5），
∴k＝2×5＝10．
故A错误；
∵k＝10＞0，
∴双曲线y＝分布在第一，三象限，
故B选项错误；
∵当k＝10＞0时，反比例函数y＝在每一个象限内y随x的增大而减小，
即当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减小．
故C选项正确，D选项错误，
综上，说法错误的是D，
故选：C．
6．如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
7．两个相似三角形对应边之比为2：3，那么它们的对应中线之比为（ ）
A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4
【答案】A
【解析】解：因为两个相似三角形的相似比与对应中线的比相等，
所以它们对应中线之比为2：3．
故选：A．
8．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（ ）
A．CD2＝AD•DBB．AC2＝BC•CDC．D．
【答案】B
【解析】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；
由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；
由得不出结论；
由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．
故选：B．
9．关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3）
C．当x＞2时，y随x的增大而减小
D．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，7）
【答案】D
【解析】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+3中a＝1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∴对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，3），
∴函数有最低点（2，0），当x＞2时，y随x的增大而增大．
令y＝（x﹣2）2+3中的x＝0解得：y＝7，
∴A、B、C选项错误，不符合题意；
D选项说法正确，符合题意．
故选：D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
11．如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC：AC＝1：3，量的CD＝10mm，则零件的厚度为（ ）
A．2mmB．2.5mmC．3mmD．3.5mm
【答案】B
【解析】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，
∴OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，
∴AB＝20（mm），
∴2x+20＝25，
∴x＝2.5（mm），
故选：B．
12．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
【答案】A
【解析】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝CA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：＝π，
故选：A．
二．填空题（本题共6小题，共12分）。
13．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若AO＝5，则BD＝ 10 ．
【答案】10．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，AO＝OC，
∵AO＝5，
∴AC＝10，
∴BD＝10．
故答案为：10．
14．小兰的身高是1.5m，她的影长是2.4m．如果同一时间，同一地点测得一棵树的影子长是4m，这棵树高 2.5 m．
【答案】2.5．
【解析】解：设这棵树的高为x米，
1.5：2.4＝x：4，
2.4x＝1.5×4，
x＝6÷2.4，
解得：x＝2.5．
答：这棵树有2.5米．
故答案为：2.5．
15．如图，一次函数y1＝﹣2x+3和反比例函数的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣2），若y1＜y2，则x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜2.5 ．
【答案】x＜﹣1或0＜x＜2.5．
【解析】解：把A（﹣1，m）、B（n，﹣2）两点的坐标分别代入y1＝﹣2x+3，
得m＝﹣2×1+3＝5，
﹣2n+3＝﹣2，解得n＝2.5，
根据函数图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜2.5，一次函数图象在反比例函数图象上方．
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜2.5．
16．反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y＝和y＝的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为 1 ．
【答案】1．
【解析】解：连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC，
而S△OAD＝×3＝，S△OBD＝×1＝，
∴S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1，
∴S△ABC＝1，
故答案为：1．
17．《九章算术》中记载着这样的一个问题：“今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？”大意如下：如图，M、N为正方形ABCD一组对边的中点，△GEF中，G、M、N、E四点共线，∠E＝90°，F、A、G三点共线，且AD⊥GE，GM＝20，NE＝14，EF＝1775，设正方形ABCD的边长为x，请根据题意列方程，并将方程整理成一元二次方程的一般形式： x2+34x﹣71000＝0 ．
【答案】x2+34x﹣71000＝0．
【解析】解：设正方形ABCD的边长为x，
∵M、N为正方形ABCD一组对边的中点，
∴AM＝x，
∵GM＝20，NE＝14，
∴GE＝x+34，
∵AD⊥GE，
∴AM∥EF，
∴Rt△GAM∽Rt△GFE，
∴＝，
即＝，
整理得x2+34x﹣71000＝0．
故答案为：x2+34x﹣71000＝0．
18．如图，△ABC中，点D为BC延长线上一点，且∠BAD＝∠BCA，若BC＝2，∠D＝30°，则CD的最大值为 6 ．
【答案】6．
【解析】解：如图，
∵∠DBA＝∠ABC，∠BAD＝∠BCA，
∴△BDA∽△BAC，
∴＝，∠D＝∠BAC＝30°，
∴AB2＝BC•BD，
∵BC＝2，
∴AB2＝2BD，
∵CD＝BD﹣BC＝BD﹣2，
∴AB最大时，BD最大，则CD最大，
经过点A、B、C三点画⊙O，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
在⊙O中，当AB为直径时，AB最大为4，此时，BD＝8，
∴CD最大为：8﹣2＝6，
故答案为：6．
三．解答题（本题共8小题，共72分。其中：19-20每题6分，21-26题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：2sin60°++|﹣5|﹣（π+）0．
【答案】3+4．
【解析】解：原式＝2×+2+5﹣1
＝+2+5﹣1
＝3+4．
20．解一元二次方程：2x2﹣5x+2＝0．
【答案】x1＝，x2＝2．
【解析】解：2x2﹣5x+2＝0，
（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
则2x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝2．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）把A（3，5）代入，可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为；
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
（3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴．
22．第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：
（1）参加问卷调查的同学共 60 名，补全条形统计图；
（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；
（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率．
【答案】（1）60；补全条形统计图见解答．
（2）450人．
（3）．
【解析】解：（1）参加问卷调查的同学的人数为12÷20%＝60（名）．
故答案为：60．
喜爱柔道的人数为60﹣18﹣12﹣14＝16（名）．
补全条形统计图如图所示．
（2）1500×＝450 （人）．
∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．
（3）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为＝．
23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）；
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）DE的长为3m；
（2）①线段EA的长为（3+h）m；
②塔AB的高度约为11m
【解析】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）①由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝3（m），
在Rt△ABC中，AB＝h m，∠BCA＝45°，
∴AC＝＝h（m），
∴AE＝EC+AC＝（3+h）m，
∴线段EA的长为（3+h）m；
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA＝（3+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝h m，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3+h）m，
∴h﹣3＝0.5（3+h），
解得：h＝3+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
24．一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．
【答案】（1）y＝﹣4x+108；
（2）W＝﹣4x2+140x﹣864，当x为时，利润达到最大．
【解析】解：（1）由题意可得，y＝60﹣×2＝﹣4x+108；
（2）由题意可得，W＝y（x﹣8）＝（﹣4x+108）（x﹣8）＝﹣4x2+140x﹣864＝﹣4（x﹣）2+361，
∵﹣4＜0，
∴当时，利润W达到最大，最大值为361，
答：当x为时，利润达到最大．
25．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．
（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
【答案】（1）证明见解析．
（2）7．
【解析】（1）证明：如图，连接OC，
∵CE与⊙O相切，
∴OC⊥CE，
∴∠OEC＝90°．
即∠OCB+∠ECB＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ECB+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠OCB．
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DCE＝∠ABC．
（2）解：∵OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，
即，
解得AD＝9，
∴CD＝AD﹣AC＝9﹣2＝7．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）或（2，2）．
【解析】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．