沪教版 九年级 期中真题必刷基础60题（18个考点专练）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

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1．（2023秋•浦东新区期中）在中，中线、相交于点，且，则的面积是
A．30B．20C．15D．5
【分析】根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出的面积，然后等底等高的三角形的面积相等求解即可．
【解答】解：如图，中线、相交于点，
是的重心，
，
，
，
，
是中线，
的面积．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍，等高的三角形的面积等于底边的比以及等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．
2．（2023秋•普陀区期中）已知在中，是中线，是重心，如果，那么 6 ．
【分析】根据三角形重心的性质即可求出的长．
【解答】解：是的重心，且是中线，
．
故答案为：6．
【点评】此题考查了三角形重心性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
3．（2022秋•嘉定区期中）如图，已知点是的重心，联结、、，延长交于点，设，，分别用、表示向量、．
【分析】利用三角形法则求出，再根据，可求得，，再由重心定理得，求得，再利用三角形法则求得．
【解答】解：，，
，
，
，，
点是的重心，
，
，
．
【点评】本题考查了平面向量，三角形的重心，关键是掌握三角形的重心定理，三角形法则．
二．*平面向量（共4小题）
4．（2023秋•崇明区期中）已知是单位向量，与方向相同，且，那么 4 ．
【分析】根据是单位向量可得，再根据与方向相同，且，得出结论．
【解答】解：是单位向量，
，
与方向相同，且，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了平面向量，关键是掌握平行向量和向量的模．
5．（2023秋•青浦区校级期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么或
D．如果为单位向量，且，那么
【分析】根据平面向量的性质解答．
【解答】解：、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．
、如果，那么两向量为共线向量，则，故本选项不符合题意．
、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．
、根据向量模的定义知，，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
6．（2023秋•崇明区期中）如图，在中，点是的中点，设，，那么可以用含、的式子表示为 ．
【分析】先由中点的性质求出，再由三角形法则求得即可．
【解答】解：点是的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面向量，掌握三角形法则是解题的关键，属于基础题．
7．（2023秋•普陀区期中）如图，已知两个不平行的向量、．
先化简，再求作：．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）
【分析】先化简，再根据平面向量三角形法则作出图形即可．
【解答】解：
，
如图所示，即为所求．
【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键．
三．比例的性质（共3小题）
8．（2023秋•崇明区期中）已知，下列各选项中一定正确的是
A．，B．C．D．
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【解答】解：、由可知，不一定能得到，，故本选项不符合题意；
、由，可得，所以，故本选项符合题意；
、由可知，不一定能得到，故本选项不符合题意；
、由，可得，所以，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）若，则 ．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．
10．（2022秋•奉贤区期中）已知实数、、满足，且．求的值．
【分析】设，，，根据，得，，，，即可求出答案．
【解答】解：，
设，，，
，
，
，
，，，
．
【点评】本题考查了比例的基本性质，根据已知条件列方程是关键．
四．比例线段（共3小题）
11．（2021秋•浦东新区期中）甲、乙两地的实际距离是40千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是
A．B．C．D．
【分析】根据实际距离比例尺图上距离，代入数据计算即可．
【解答】解：40千米厘米，
．
故选：．
【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
12．（2022秋•嘉定区期中）长为3、4的线段的比例中项长是 ．
【分析】根据比例中项的定义进行计算．
【解答】解：两条线段的长为3和4，
则这两条线段的比例中项，
（负值舍去），
故答案为：．
【点评】此题考查了比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义．
13．（2022秋•嘉定区期中）已知线段，．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）由比例的性质对比例式进行变形，然后去括号、移项、合并同类项可得到；
（2）由比例的性质对比例式进行变形从而得到，然后分解得．
【解答】解：（1）由得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
．
（2）由得：，
整理得：．
．
或．
或（舍去）．
．
【点评】本题主要考查的是比例的性质、因式分解、将分解为是解题的关键．
五．黄金分割（共3小题）
14．已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长是
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的定义可得到，然后把代入计算即可．
【解答】解：根据题意得．
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
15．（2022秋•徐汇区校级期中）已知点在线段上，满足，如果，那么 ．
【分析】由黄金分割点的定义，知是较长线段，再由黄金分割的公式计算即可．
【解答】解：满足，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
16．（2022秋•浦东新区校级期中）为线段的黄金分割点，，若，则的长为 ．
【分析】根据黄金比值为计算即可．
【解答】解：是线段的黄金分割点，且，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为 是解题的关键．
六．平行线分线段成比例（共4小题）
17．（2021秋•黄浦区期中）在中，点、分别在边、上，如果，，那么由下列条件能够判断的是
A．B．C．D．
【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出，根据相似推出，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：
只有选项正确，
理由是：，，，
，
，
，
，
，
根据选项、、的条件都不能推出，
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
18．（2023秋•长宁区校级期中）如图，，，若，则的长为 7.2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：，
，
，，
，
解得：，
故答案为：7.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
19．（2023秋•普陀区期中）如图，在平行四边形中，点是边延长线一点，交于点，下列各式中可能错误的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
【解答】解：，
，所以选项不符合题意；
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，
，所以选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练利用相似三角形的性质是解答本题的关键．
20．（2022秋•奉贤区校级期中）如图：，分别交、、于点、、，已知，，，，求、的长．
【分析】在中，根据平行线分线段成比例求出，在中，根据平行线分线段成比例求出，即可求出．
【解答】解：中，，
，
，，，
，
，
中，，
，
，，，
，
．
．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
七．相似图形（共3小题）
21．（2023秋•金山区校级期中）下列两个图形一定相似的是
A．两个菱形B．两个矩形C．两个正方形D．两个等腰梯形
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
22．（2021秋•奉贤区校级期中）下列图形中一定相似的一组是
A．邻边对应成比例的两个平行四边形
B．有一个内角相等的两个菱形
C．腰长对应成比例的两个等腰三角形
D．有一条边相等的两个矩形
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【解答】解：、邻边对应成比例的两个平行四边形，对应的角不一定相等，因而不一定相似，故本选项错误；
、有一个内角对应相等的两个菱形相似，故本选项正确；
、腰长对应对应成比例的等腰三角形不一定相似，故本选项错误；
、有一条边相等的两个矩形不一定相似，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
23．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形的最大内角的度数为 ．
【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．
【解答】解：一个三角形的两个角分别为、，
第三个角，即最大角为，
两个三角形相似，
另一个三角形的最大内角度数为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查相似图形，解题的关键是掌握三角形的内角和定理及相似三角形的性质．
八．相似三角形的性质（共3小题）
24．（2023秋•闵行区期中）两个相似三角形对应边之比为，那么它们的对应中线之比为
A．B．C．D．
【分析】两个相似三角形对应中线的比与对应周长的比相等，都等于相似比，据此解答．
【解答】解：因为两个相似三角形的相似比与对应中线的比相等，
所以它们对应中线之比为．
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握两个相似三角形对应中线的比与对应周长的比相等是关键．
25．（2023秋•青浦区校级期中）若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ．
【分析】根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方即可得出答案．
【解答】解：两个相似三角形的面积比为，
三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比等于相似比，
两个三角形的周长比为，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
26．（2022秋•杨浦区期中）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们对应高之比为 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高线的比等于相似比解答．
【解答】解：两个相似三角形的面积之比为，
相似比是，
又相似三角形对应高的比等于相似比，
对应高线的比为．
故答案为：．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
九．相似三角形的判定（共4小题）
27．（2022秋•奉贤区期中）在中，点、分别在边、上，联结，那么下列条件中不能判断和相似的是
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：如图，
、，
，故本选项错误；
、，，
，故本选项错误；
、，，
，故本选项错误；
、不能使和相似，故本选项正确．
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
28．（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有
A．4组B．5组C．6组D．7组
【分析】题目所给的五组条件分别是边的比和角相等，若选角相等，则任选两组即可；若选边成比例且角相等，则角必须是对应边的夹角；若都选边的比相等，则要证两个三角形的三边都对应成比例；可由此进行判断．
【解答】解：选①②，可得：，由可判定两个三角形相似；
选①④或②⑤，可通过判定两个三角形相似；
若选③④、③⑤或④⑤，可通过判定两个三角形相似；
所以共有6组；故选．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
29．如图，中，，，，是边的中点，是边上一动点 （点不与、重合） ，若以、、为顶点的三角形与相似， 则线段 6 或 ．
【分析】由中，，，，是边的中点， 即可求得与的值， 又由以、、为顶点的三角形与相似， 可得或，然后根据相似三角形的对应边成比例， 即可求得的值 ．
【解答】解：中，，，，
，
是边的中点，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
或，
（1） 若，则，
，
，
则；
（2） 若，则，
，
即，
．
综上所述：或．
故答案为： 6 或．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与直角三角形的性质 ． 解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用与数形结合思想的应用 ．
30．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在正方形中，为中点，，连接、、，那么下列结论中：①与相似；②与相似；③与相似：④与相似；⑤；其中错误的有 个．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可．
【解答】解：设正方形的边长为，则，
为中点，，
，，，
四边形是正方形，
，
，，，
，
为直角三角形，，故⑤正确；
，
，
，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
，
和不相似，故③错误；
④正确；
正确的有：①②④⑤，错误的有1个，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
一十．相似三角形的判定与性质（共4小题）
31．（2022秋•嘉定区期中）在中，点、分别在边、上，，，，，那么 6 ．
【分析】由，，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．
【解答】解：，，
，
，
，，，
，
．
故答案为：6．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
32．（2023秋•虹口区期中）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于，交于，交的延长线于．那么下列结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】解答此题的关键是利用平行四边形证明出，，然后利用对应边成比例即可解答此题．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
即．
所以选项正确，
故选：．
【点评】此题主要考查学生利用平行四边形的性质证明三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
33．（2020秋•徐汇区校级期中）如图，，与交于点，下列各式正确的是
A．B．C．D．
【分析】因为，所以，得，通过比较可知选项正确；再将这个式子与选项比较，可知该选项错误；由，可得、，分别与选项、比较，可得出结论．
【解答】解：，
，
，
所以选项正确；
将选项与正确结论比较，可知选项错误；
由，可得，所以选项错误；
由，可得，所以选项错误，
故选：．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是由三角形的性质及平行线分线段成比例定理先得到正确的比例，再与每个选项比较，得出结论．
34．（2023秋•杨浦区期中）如图，在中，点是边上一点，分别交延长线、边于点、，，交于点，，求证：．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】证明：，
，，
，，
，
，
，
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
一十一．相似三角形的应用（共3小题）
35．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度为
A．B．1C．D．
【分析】易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得的值．
【解答】解：，，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了两三角形相似，对应边成比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出拍击球的高度，体现了方程的思想．
36．（2023秋•长宁区校级期中）如图，有一所正方形的学校，北门（点和西门（点各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 90000 平方米．
【分析】延长、相交于，则由于，可得是直角三角形，再根据可得，，再根据相似三角形的相似比解答即可．
【解答】解：延长、相交于，
，可得是直角三角形，
四边形是正方形，
，，
设，则，
，，
，
即，
解得，，
．
．
【点评】此题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题的关键是根据题意构造出相似三角形，再利用相似三角形的相似比解答．
37．（宝山区期中）如图，是一块锐角三角形余料，，，，要把它加工成两邻边：矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上．求矩形的周长．
【分析】首先根据四边形是矩形证得，从而得到，然后根据，设，则，从而得到，求得后即可求得周长．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
周长为．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．
一十二．锐角三角函数的定义（共4小题）
38．（2022秋•浦东新区校级期中）在中，，，，那么等于
A．B．C．D．
【分析】直接利用余切的定义求解．
【解答】解：，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．
39．（2023秋•黄浦区校级期中）在中，，，，那么的值是
A．B．C．D．2
【分析】根据勾股定理求出的长，然后进行计算即可．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的关键．
40．（2022秋•奉贤区期中）已知在中，，，，那么下列各式中正确的是
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义求出的四个三角函数值，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：，，，
，
，，，．
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切和余切的定义是解决问题的关键．
41．（2022秋•浦东新区校级期中）在中，，，，那么 ．
【分析】先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角的三角函数的定义：正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
一十三．特殊角的三角函数值（共4小题）
42．（2023秋•青浦区校级期中）在中，、都是锐角，且，，则是
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【分析】根据特殊角的三角函数值求出，，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
【解答】解：，，
，，
，
是等边三角形，
故选：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
43．（2022秋•闵行区期中）若是锐角，，那么锐角等于
A．B．C．D．
【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出，再求出即可．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
44．（2022秋•浦东新区校级期中）若，则 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值得出，再求出答案即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，注意：．
45．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
一十四．解直角三角形（共4小题）
46．（2023秋•宝山区期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与轴正半轴的夹角为，点在射线上，如果，且，那么点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】过点作轴于点，构建直角，利用余弦函数的定义可得点的坐标．
【解答】解：过点作轴于点，
，
可假设，则，
，
点的坐标可能是，
故选：．
【点评】本题考查坐标与图形性质、锐角三角函数的概念．在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
47．（2022秋•静安区校级期中）在锐角中，如果各边长都扩大2倍，那么的余弦值
A．扩大2倍B．缩小2倍C．大小不变D．不能确定
【分析】过点作于点，则，再根据各边扩大2倍后，可得答案．
【解答】解：如图，
过点作于点，则，
当各边都扩大2倍后，，
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
48．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在中，，的正切值等于2，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点，，，处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽的长为 1 ．
【分析】由锐角的正切定义，相似三角形的性质，即可求解．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查锐角的正切定义，相似三角形的性质，关键是掌握并灵活应用以上知识点．
49．（2021秋•徐汇区期中）等腰三角形中，如果腰与底边之比为，那么底角的余弦值为 ．
【分析】过作，根据等腰三角形的性质求得，再求出底角的余弦值即可．
【解答】解：过作，垂足为，如图，
腰与底边之比为，
设，，
是等腰三角形，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，利用等腰三角形的性质和余弦函数的定义是解题关键．
一十五．解直角三角形的应用（共3小题）
50．（2021秋•徐汇区期中）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于
A．B．
C．D．
【分析】作交的延长线于点，在直角三角形和直角三角形中解直角三角形可求出点到的距离．
【解答】解：如图，作交的延长线于点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点、点到的距离相等，
点到的距离等于，
故选：．
【点评】此题考查直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，解题的关键是作辅助线将点到的距离转化为一条线段的长．
51．（上海校级期中）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动、已知细绳的长度为20厘米，当小球摆动到最高位置时，细绳偏转的角度为，那么小球在最高位置与最低位置时的高度差为 厘米（用所给数据表示即可）．
【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
【解答】解：如图：过作于．
中，厘米，，
．
．
【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
52．（2023秋•闵行区校级期中）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱高1.8米，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为0.2米，当踏板连杆绕着点旋转到处时，测得，此时点距离地面的高度为0.45米，求和的长（参考数据：，，
【分析】过点作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，设，求得，，，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：过点作于，
则四边形是矩形，
，
设，
，
，，
在中，，，
，
解得：，
米，米，
答：和的长分别为1.25米，0.35米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）
53．（2023秋•闵行区期中）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为 ．
【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．
【解答】解：斜面的坡度为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
54．（2022春•杨浦区校级期中）已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是 30 度．
【分析】坡度坡角的正切值，据此直接解答．
【解答】解：，
坡角．
【点评】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
55．（2021秋•徐汇区期中）某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度 ．
【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比．
【解答】解：由勾股定理得：米，
坡度．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
56．（2023秋•黄浦区校级期中）如图，飞机在目标的正上方处，飞行员测得地面目标的俯角，如果地面目标、之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度等于 千米．（结果保留根号）
【分析】根据平行线的性质可求出的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图所示：
，
，
，
，
（米，
即飞机离地面的高度等于米，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解答此题的关键．
57．（虹口区校级期中）如图，河对岸有古塔，小明在处测得塔顶的仰角为向塔前进10米到达，在处测得的仰角为，则塔高 米．
A．B．C．D．
【分析】设米，在中与在中解直角三角形即可求出答案．
【解答】解：在中，
，
．
在中，
，
．
设米，
，
．
，
解得：．
即铁塔的高为米．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形俯角、仰角问题，解直角三角形等知识，解题的关键是根据题意列方程，解方程即可得到结论．
58．（2023秋•青浦区校级期中）小明在山坡顶向下看一座农舍的俯角为，如果农舍与山坡底部相距50米，那么山坡的高为 米．
【分析】根据题意画出图形，根据含的直角三角形的性质以及勾股定理解得即可．
【解答】解：根据题意画出图形，点代表山坡，点代表农舍，
由题意知，，
，
，
在中，，
，
解得．
故答案为：米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
59．（2023秋•闵行区校级期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，其中甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点、处，那么点位于点的
A．南偏西B．南偏西C．南偏西D．南偏西
【分析】由甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，得出的度数，由两船的航行速度相同，得出，
得出，以及求出的度数，得出点位于点的方向．
【解答】解：甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，两船的航行速度相同，
，，，
，
，
点位于点的南偏西的方向上，
故选：．
【点评】此题主要考查了方向角问题，关键是由已知得出各角的度数，进而得出所求问题中度数．
60．（浦东新区校级期中）如图，小明为了测量其所在位置点到河对岸点之间的距离，沿着与垂直的方向走了10米，到达点，测得，那么的长为
A．米B．米C．米D．米
【分析】在直角中，已知及其邻边，求的对边，根据三角函数定义即可求解．
【解答】解：在直角中，，
．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度不大，注意掌握三角函数的基本概念，及正切的概念和运算．