上海九年级上学期期中【夯实基础60题考点专练】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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上海九年级上学期期中【夯实基础60题考点专练】
一．三角形的重心（共4小题）
1．（2021秋•宝山区期中）如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么的值为 　　．

【分析】根据重心的性质得到AG＝2DG，BG＝2GE，根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC的两条中线AD和CE相交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，CG＝2GE，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
2．（2021秋•浦东新区期中）在△ABC中，中线AD和中线CE相交于点O，那么AD：AO＝　3：2　．
【分析】直接根据三角形重心的性质解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，中线AD和中线CE相交于O，
∴点O是△ABC的重心，
∵AO＝AD，
∴AD：AO＝3：2．
故答案为：3：2．
【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．
3．（2021秋•杨浦区期中）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED的值为 　12　．

【分析】根据三角形重心的性质得到BE为△ABC的中线，BG＝2GE，再利用三角形面积公式得到S△BDE＝3S△GED，接着利用D点为BC的中点得到S△BCE＝6S△GED，然后利用E点为AC的中点得到S△ABC＝12S△GED．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，
∴BE为△ABC的中线，BG＝2GE，
∴S△BDG＝2S△GED，
∴S△BDE＝3S△GED，
∵D点为BC的中点，
∴S△BCE＝2S△BDE＝6S△GED，
∵E点为AC的中点，
∴S△ABC＝2S△BCE＝12S△GED，
即S△ABC：S△GED＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积公式．
4．（2021秋•奉贤区校级期中）已知直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，则三角形的重心到斜边的距离是 　cm　．
【分析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，CD为AB边上的中线，G点为△ABC的重心，利用勾股定理计算出AB＝10cm，再根据三角形重心的性质得到CD＝3DG，作GF⊥AB于F点，CE⊥AB于E点，如图，利用面积法求出CE＝cm，然后根据平行线分线段成比例定理求出GF即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，CD为AB边上的中线，G点为△ABC的重心，
∴AB＝＝10（cm），
∴CD＝AB＝5cm，
∵G点为△ABC的重心，
∴CG＝2GD，
∴CD＝3DG，
作GF⊥AB于F点，CE⊥AB于E点，如图，
∵CE•AB＝AC•BC，
∴CE＝＝（cm），
∵GF∥CE，
∴＝＝，
∴GF＝CE＝×＝（cm），
即三角形的重心到斜边的距离是cm．
故答案为：cm．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．
二．*平面向量（共6小题）
5．（2021秋•松江区校级期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（　　）
A．如果＝3，那么∥
B．＝，那么＝或＝
C．的方向不确定，大小为0
D．如果为单位向量且＝﹣2，那么＝2
【分析】根据平面向量的性质解答．
【解答】解：A、如果＝3，那么两向量是共线向量，则∥，故本选项不符合题意．
B、如果＝，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．
C、的方向不确定，大小为0，故本选项不符合题意．
D、根据向量模的定义知，＝2||＝2，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
6．（2021秋•静安区校级期中）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（　　）
A．＝3 B．＝﹣3 C．＝3 D．＝﹣3
【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．
【解答】解：∵向量为单位向量，向量与向量方向相反，
∴＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
7．（2021秋•奉贤区校级期中）已知、是两个单位向量，向量，，那么下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由、是两个单位向量的方向不确定，从而判定A与B错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C正确，选项D错误．
【解答】解：A、∵、是两个单位向量的方向不确定，∴不一定等于，故本选项错误；
B、∵、是两个单位向量的方向不确定，∴不一定等于，故本选项错误；
C、∵||＝|2|＝2，||＝|﹣2|＝2，∴||＝||，故本选项正确；
D、∵||＝|2|＝2，||＝|﹣2|＝2，∴||＝||，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的．
8．（2021秋•闵行区校级期中）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC，若DE：BC＝1：3，则向量等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的性质，求出与的模的比，进而得出两向量的比值．
【解答】解：如图所示：
∵DE∥BC，
DE：BC＝1：3，
∴△DAE∽△CAB，
∴||：||＝1：3．
故选：D．

【点评】此题考查了平面向量，利用相似三角形的性质求出向量的模的比是解题的关键．
9．（2021秋•宝山区期中）化简：﹣（﹣2）+3（2﹣）＝　5﹣　．
【分析】先去括号，然后合并同类项．
【解答】解：﹣（﹣2）+3（2﹣）
＝﹣+2+6﹣3
＝5﹣．
故答案是：5﹣．
【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则或定律同样能应用于平面向量的计算过程中．
10．（2021秋•闵行区期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：﹣﹣（﹣4）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可．
【解答】解：﹣﹣（﹣4）
＝﹣﹣+2
＝2+．
如图，即为所求．

【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的加法法则，三角形法则，属于中考常考题型．
三．比例的性质（共6小题）
11．（2021秋•奉贤区校级期中）如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝3 C．＝ D．＝
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴＝，
∴选项A不正确；
∵2x＝3y，
∴＝，
∴＝＝3，
∴选项B正确；
∵2x＝3y，
∴＝，
∴＝＝，
∴选项C不正确；
∵2x＝3y，
∴＝，
∴＝＝，
∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．
12．（2021秋•徐汇区校级期中）如果x：y＝1：2，那么下列各式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例式的性质得出x，y的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出．
【解答】解：∵x：y＝1：2，
∴＝，
A.＝＝，故本选项正确；
B，＝1﹣＝1﹣＝，故本选项正确；
C，＝＝＝，故本选项正确；
D，当x＝2，y＝4时，＝＝，
故此选项错误，
故选：D．
【点评】此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想．
13．（2021秋•奉贤区校级期中）若，则＝　　．
【分析】直接利用已知将原式变形得出2x＝5y，进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴3x＝5x﹣5y，
故2x＝5y，
则＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
14．（2021秋•黄浦区期中）已知实数x、y满足，则＝　2　．
【分析】先用y表示出x，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴x＝y，
∴＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积用y表示出x是解题的关键．
15．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：a：b：c＝3：4：5．
（1）求代数式的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
【分析】设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
（1）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入代数式中进行分式的混合运算即可；
（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣b+c＝10得到关于k的方程，求出k，从而得到a、b、c的值．
【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
（1）＝＝；
（2）∵3a﹣b+c＝10，
∴9k﹣4k+5k＝10，
解得k＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
16．（2021秋•奉贤区校级期中）已知实数x、y、z满足＝＝，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．
【分析】设＝＝＝k（k≠0），得出x＝3k，y＝5k，z＝2k，再根据x﹣2y+3z＝﹣2，求出k的值，从而得出x、y、z的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝，
设＝＝＝k（k≠0），
∴x＝3k，y＝5k，z＝2k，
∵x﹣2y+3z＝﹣2，
∴3k﹣10k+6k＝﹣2，
∴k＝2，
∴x＝6，y＝10，z＝4，
∴＝＝2．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
四．比例线段（共4小题）
17．（2021秋•浦东新区期中）甲、乙两地的实际距离是40千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（　　）
A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm
【分析】根据实际距离×比例尺＝图上距离，代入数据计算即可．
【解答】解：40千米＝4000000厘米，
4000000×＝8（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
18．（2021秋•杨浦区期中）已知线段a＝2cm，c＝8cm，则线段a、c的比例中项是 　4　cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：设线段b是a、c的比例中项，
∵线段a＝2cm，c＝8cm，
∴b2＝ac＝2×8＝16，
∴b1＝4，b2＝﹣4（舍去）．
故答案为：4．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
19．（2021秋•徐汇区校级期中）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝12，c＝3，那么b＝　6　．
【分析】直接利用比例中项的定义分析得出答案．
【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
∵a＝12，c＝3，
∴b2＝36，
∴b＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
20．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
【分析】（1）设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，代入所求代数式即可；
（2）把a＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣4b+5c＝54求出k，把k值代入所求代数式即可．
【解答】解：设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
（1）＝＝＝；
（2）∵3a﹣4b+5c＝54，
∴9k﹣16k+25k＝54，
解得：k＝3，
∴a﹣2b+c＝3k﹣8k+5k＝0．
【点评】本题主要考查了比例线段，设＝＝＝k得到a＝3k，b＝4k，c＝5k是解决问题的关键．

五．黄金分割（共4小题）
21．（2021秋•静安区校级期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（　　）cm．

A．﹣1 B．2﹣2 C．5﹣5 D．10﹣10
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝5﹣5（cm），
故选：C．
【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
22．（2021秋•金山区校级期中）已知点P是线段AB的黄金分割点，AB＝4厘米，则较短线段AP的长是　6﹣2　厘米．
【分析】根据黄金比是计算．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴较长线段BP＝×4＝2﹣2（厘米），
∴较短线段AP＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2（厘米），
故答案为：6﹣2．
【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，黄金比是是解题的关键．
23．（2021秋•浦东新区校级期中）已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝　﹣1　．
【分析】直接根据黄金分割的定义求出PB的长即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜PB，AB＝2，
∴PB＝AB＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
24．（2021秋•浦东新区期中）已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP＞PB，线段AB＝2厘米，那么线段AP＝　（﹣1）厘米　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，AP＞PB，线段AB＝2厘米，
∴AP＝AB＝（﹣1）厘米，
故答案为：（﹣1）厘米．
【点评】本题考查了黄金分割的概念．解题的关键是熟记黄金分割的公式：较长的线段＝原线段的倍．
六．平行线分线段成比例（共7小题）
25．（2021秋•长宁区校级期中）如图，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．
【解答】解：A、＝，可证明DE∥BC，不符合题意；
B、＝，可证明DE∥BC，不符合题意；
C、＝，可证明DE∥BC，不符合题意；
D、＝，不一定能推得DE∥BC，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行．
26．（2021秋•杨浦区期中）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当＝或＝时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断．
【解答】解：当＝或＝时，DE∥BD，
即＝或＝．
故选：D．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．
27．（2021秋•静安区校级期中）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列不能判定DE∥BC的条件是（　　）
A．EA：AC＝DA：AB B．DE：BC＝DA：AB
C．EA：EC＝DA：DB D．AC：EC＝AB：DB
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．∵EA：AC＝AD：AB，∴DE∥BC，选项A能判定DE∥BC；
B．由DE：BC＝DA：AB，不能得到DE∥BC，选项B不能判定DE∥BC；
C．∵EA：EC＝DA：DB，∴DE∥BC，选项C能判定DE∥BC；
D．∵AC：EC＝AB：DB，∴DE∥BC，选项D能判定DE∥BC．
故选：B．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
28．（2021秋•黄浦区期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：
只有选项C正确，
理由是：∵AD＝2，BD＝4，＝，
∴＝＝，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
29．（2021秋•浦东新区期中）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且有＝＝，BC＝18，那么DE的值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】首先根据题意画出图形，由＝＝，易证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：如图，∵＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC＝18，
∴DE＝6．
故选：B．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
30．（2021秋•浦东新区期中）在△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝2，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC即可推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：
∵AD＝1，BD＝2，
∴＝，
只有当＝时，DE∥BC，
理由是：∵＝＝，∠A＝∠A，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
而其它选项都不能推出△ADE∽△ABC，即不能推出∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C，即不能推出DE∥BC，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
31．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，点D是BC中点，AM＝MD，BM的延长线交AC于点N，求AN：NC的值 　　．

【分析】作DE∥BN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到N是AE的中点，E是NC的中点，得到答案．
【解答】解：作DE∥BN交AC于E，
∵DE∥BN，M是AD的中点，
∴N是AE的中点，
∵DE∥BN，D是BC的中点，
∴E是NC的中点，
∴AN：NC＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
七．相似图形（共1小题）
32．（2021秋•浦东新区期中）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（　　）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的16倍，边长和周长是原来的4倍，而内角的度数不会改变．
【解答】解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的16倍，周长和边长均为原来的4倍，
则A错误，符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
八．相似三角形的性质（共1小题）
33．（2021秋•金山区校级期中）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（　　）

A． B．
C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE
【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB，
∴当，
即AD•AC＝AB•AE，
∴ED∥BC，
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
九．相似三角形的判定（共2小题）
34．（2021秋•闵行区校级期中）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相似的是（　　）

A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD C． D．
【分析】相似三角形的判定有三种方法，①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项所给条件进行判断即可．
【解答】解：A、若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项错误；
B、若∠ABD＝∠ACD，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项错误；
C、若＝，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项正确．
D、若＝，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法．
35．（2021秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．

【分析】根据两边成比例夹角相等即可证明．
【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．
一十．相似三角形的判定与性质（共17小题）
36．（2021秋•长宁区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，若AD＝3CF，那么下列结论中正确的是（　　）

A．FC：FB＝1：3 B．CE：CD＝1：3 C．CE：AB＝1：4 D．AE：AF＝1：2．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴△ECF∽△ADE，
∵AD＝3CF，
A、FC：FB＝1：4，错误；
B、CE：CD＝1：4，错误；
C、CE：AB＝1：4，正确；
D、AE：AF＝3：4．错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
37．（2021秋•金山区校级期中）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝　　．

【分析】作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，根据已知条件证明四边形ADGB是矩形，再根据等面积法求出CH，证明△FBE∽△ACB，利用对应高的比等于相似比即可求出BF的长．
【解答】解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，

∵DE∥AB，
∴BG⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，
∴四边形ADGB是矩形，
∴BG＝AD＝0.4，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，
∴CH＝＝＝，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠ABC，
∵∠FBE＝∠ACB＝90°，
∴△FBE∽△ACB，
∵CH⊥AB，BG⊥DE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等面积法，解决本题的关键是综合运用以上知识．
38．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，梯形BCDE中，DE∥BC，CD、BE的延长线交于点A，联结BD、CE相交于点O，已知AE＝3，EB＝6，DE＝2．
（1）求线段BC的长；
（2）若S△DOB＝1，求S△CEB＝？

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可求出BC的长．
（2）由平行线得出△ODE∽△OBC，得出＝，＝，求出S△CEB：S△BOC＝4：3，S△OBC＝9，即可得出S△CEB＝12．
【解答】解：（1）∵AE＝3，EB＝6，
∴AB＝9，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴BC＝3DE＝6；
（2）∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OBC，
∴＝，＝（）2＝，
∴S△CEB：S△BOC＝4：3，S△OBC＝9×1＝9，
∴S△CEB＝×9＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积关系．熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
39．（2021秋•静安区校级期中）如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，则∠B＝∠DAB，根据三角形外角的性质得∠AED＝∠B+∠BDE，由∠CAD＝∠BDE即可得∠AED＝∠BAC，即可得出结论；
（2）由AD＝x，CD＝3，AD＝BD，可得BC＝BD+CD＝x+3，由AE＝2x﹣9，BE＝2，可得AB＝AE+BE＝2x﹣9+2＝2x﹣7，根据相似三角形的性质即可得AD的长．
【解答】（1）证明：∵点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠AED＝∠B+∠BDE，∠CAD＝∠BDE，
∴∠AED＝∠DAB+CAD＝∠BAC，
∴△ABC∽△EAD；
（2）解：∵AD＝x，CD＝3，AD＝BD，
∴BC＝BD+CD＝x+3，
∵AE＝2x﹣9，BE＝2，
∴AB＝AE+BE＝2x﹣9+2＝2x﹣7，
∵△ABC∽△EAD，
∴，
∴，解得：x＝，
∴AD＝．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．
40．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，矩形DEFG相邻两边DE：EF＝2：3．求矩形DEFG的边DE、EF的长．

【分析】先证明△ADG∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∵DE：EF＝2：3，
∴设DE＝2xcm，DG＝EF＝3xcm，
∵DE∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴x＝10，
∴DE＝20cm，EF＝30cm．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
41．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．
（1）求证：AE•FB＝FE•AC；
（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．

【分析】（1）通过证明△AEC∽△FEB，可得，可得结论；
（2）通过证明△AEF∽△CEB，可得，可得结论．
【解答】证明：（1）∵BD和CE分别是边AC、AB上的高，
∴∠AEC＝∠BDA＝90°，
∴∠A+∠ACE＝90°＝∠A+∠ABD，
∴∠ACE＝∠ABD，
又∵∠AEC＝∠BEF＝90°，
∴△AEC∽△FEB，
∴，
∴AE•FB＝EF•AC；
（2）如图，连接AF，

∵△AEC∽△FEB，
∴，
∴，
又∵∠AEC＝∠FEB＝90°，
∴△AEF∽△CEB，
∴，
∴AF•BE＝BC•EF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
42．（2021秋•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，AD、BE交于F，AF＝AE且AF•BE＝BF•CE．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）求证：AF为DF与CE的比例中项．

【分析】（1）先证△FAB∽△EBC得∠BAF＝∠C即可；
（2）通过两个角相等，证明△BDF∽△BAE，得，又，则，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AF•BE＝BF•CE，
∴，
又∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴∠AFB＝∠CEB，
∴△FAB∽△ECB，
∴∠BAF＝∠C，
又∵∠ABC＝∠ABD，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△FAB∽△ECB，
∴∠ABF＝∠EBC，
∵△ABD∽△CBA，
∴∠BDF＝∠BAF，
∴△BDF∽△BAE，
∴，
∵，
∴，
又∵AF＝AE，
∴，
∴AF²＝DF•CE，
∴AF为DF与CE的比例中项．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
43．（2021秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，ED∥BC，CD与BE相交于点F，AE＝3，DF＝2，CF＝5．
（1）求的值；
（2）求EC的长．

【分析】（1）由△DFE∽△CFB，得，代入即可；
（2）由△ADE∽△ABC，得，代入求出AC的长即可解决问题．
【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠FDE＝∠FCB，∠FED＝∠FBC，
∴△DFE∽△CFB，
∴，
即；
（2）∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
∴AC＝，
∴EC＝AC﹣AE＝＝．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，由平行得出三角形相似是解题的关键．
44．（2021秋•金山区校级期中）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝6，DC＝4，求AP的长．

【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，由外角性质可得结论；
（2）通过证明△APC∽△ADP，可得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵PA⊥AB，DP⊥BC，
∴∠BAP＝∠DPC＝90°，
∵＝，
∴，
∴Rt△ABP∽Rt△PCD，
∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，
∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，
∴∠APD＝∠C；

（2）解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝6，
∵CD＝4，
∴AD＝2，
∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，
∴△APC∽△ADP，
∴，
∴AP2＝2×6＝12，
∴AP＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
45．（2021秋•金山区校级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．
（1）联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE•PF；
（2）若AB2＝BD•DP，求证：∠BPC＝90°．

【分析】（1）由正方形的性质得出DC∥AB，BC∥AD，证明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性质得出，，则可得出结论；
（2）证明△CDP∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DCP＝∠DBC，证出∠DPC＝90°，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，BC∥AD，
∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，
∴，，
∴，
∴PC2＝PE•PF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠DCB＝90°，
∴DC2＝BD•DP，
∴，
又∵∠CDP＝∠BDC，
∴△CDP∽△BDC，
∴∠DCP＝∠DBC，
∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，
∴∠DPC＝90°，
∴∠BPC＝90°．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
46．（2021秋•浦东新区期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O为对角线AC的中点，联结BO并延长，交边DC于点E．
（1）求证：△ADC∽△BOC．
（2）若＝，求的值．
（3）若CD＝8，OE＝3，求DE的长．

【分析】（1）由直角三角形的性质可得BO＝CO，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，可得结论；
（2）通过证明△AOF∽△COB，△DEF∽△CEB，可得BO＝OF，BE＝3EF，可得BO＝2EF，OE＝EF，即可求解；
（3）设BO＝AO＝CO＝x＝OF，利用相似三角形的性质列出等式，求出x的值，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，O为对角线AC的中点，
∴BO＝CO＝AO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△ADC∽△BOC；
（2）如图，延长AD，BE交于点F，

∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，△DEF∽△CEB，
∴＝1＝，，
∴BO＝OF，AF＝BC，BE＝3EF，
∴BF＝4EF，
∴BO＝OF＝2EF，
∴EO＝OF﹣EF＝EF，
∴；
（3）设BO＝AO＝CO＝x＝OF，
∴AC＝2x，
∵CD＝8，OE＝3，
∴AD＝CD＝8，EF＝x﹣3，BE＝x+3，
∵△ADC∽△BOC，
∴，
∴，
∴BC＝＝AF，
∴DF＝﹣8，
∵△DEF∽△CEB，
∴，
∴＝，
∴x＝（负值舍去），
∴＝＝＝，
∴DE＝8×＝6﹣．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
47．（2021秋•金山区校级期中）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．
求证：（1）△BCD∽△CDE；
（2）＝．

【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得∠ADE＝∠ACD，由平行线的性质可得∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE＝∠ACD，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得，可得＝•＝，由平行线分线段成比例可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD2＝AE•AC，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE，
∴∠B＝∠ACD，
∴△BCD∽△CDE；
（2）∵△BCD∽△CDE，
∴，
∴＝•＝，
∵DE∥BC，
∴，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
48．（2021秋•金山区校级期中）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．
求证：（1）∠ADC＝∠BEC；
（2）AF•CD＝EF•AC．

【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；
（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，
∴＝，
而∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴∠AEF＝∠BDF，
∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝∠BEC；
（2）∵△AFE∽△BFD，
∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，
∵EB＝EC，AB＝AD，
∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，
∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，
∴△AEF∽△CBA，
∴＝，
∴EF•AC＝AB•AF
∵∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，
∴EF•AC＝CD•AF，
即AF•CD＝EF•AC．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．
49．（2021秋•浦东新区期中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．
（1）求证：＝；
（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．

【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到＝，再证明△ADE∽△CBE，则＝，然后利用等量代换得到结论；
（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到＝，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵AF∥CD，
∴∠ADC+∠DAF＝180°，
∴∠DAF＝∠BCD，
∴△DAF∽△BCD，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴＝，
∴＝；
（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，
∴∠ECD＝∠CBD，
而∠CDE＝∠BDC，
∴△DCE∽△DBC，
∴＝，
∴DC2＝DE•DB，
∵＝，
∴DE•DB＝DF•BE，
∴DC2＝DF•BE，
即线段CD是线段DF、BE的比例中项．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．
50．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，求S△ADE：S△BDE的值．

【分析】（1）根据已知条件得到，根据相似三角形的性质得到∠AED＝∠ABE，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE2＝AD•AB，
∴，
又∵∠EAD＝∠BAE，
∴△AED∽△ABE，
∴∠AED＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
51．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，∠B＝∠D，AB＝2，CD＝4，OD＝6．则BO＝　3　．

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝∠D，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴＝，
∴OB＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
52．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E．AD＝5，DE＝3，则CD的长是 　　．

【分析】先证明Rt△ACD∽Rt△DAE，根据对应边成比例得出AD：AC＝DE：AD，从而得出AC的长，再由勾股定理得出CD即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠CAD＝∠C，
∴Rt△ACD∽Rt△DAE，
∴＝，
∵AD＝5，DE＝3，
∴＝，
∴AC＝，
在Rt△ACD中，CD2+AD2＝AC2，
∴CD＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握判定三角形相似的方法以及勾股定理是解题的关键．
一十一．相似三角形的应用（共1小题）
53．（2021秋•杨浦区期中）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 　15　m．
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设旗杆高度为x米，
由题意得，＝，
解得x＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
一十二．特殊角的三角函数值（共5小题）
54．（2021秋•闵行区校级期中）计算：．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝﹣
＝．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
55．（2021秋•静安区校级期中）计算：．
【分析】先利用特殊角的三角函数值得到原式＝（）2+，然后进行二次根式的混合运算即可．
【解答】解：原式＝（）2+
＝3++
＝3+．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
56．（2021秋•杨浦区期中）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝2×（4+3﹣4）
＝14﹣8．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
57．（2021秋•长宁区校级期中）计算：
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝3+2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
58．（2021秋•徐汇区期中）计算：﹣sin60°•cot30°
【分析】把特殊角的锐角三角函数值代入计算．
【解答】解：﹣sin60°•cot30°
＝﹣×
＝1﹣
＝﹣．
【点评】此题考查了特殊角的锐角三角函数值的计算，要能够熟记各个数据．
一十三．解直角三角形（共2小题）
59．（2021秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求：∠CBD的正切；
（2）求的值．

【分析】（1）先根据三角函数值求AD的长，由勾股定理得BD的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CG＝2x，FG＝5x，分别表示BF和FC的长，代入可得结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，sin∠BAC＝，
∴BD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝12，
∵AC＝7.2，
∴CD＝12﹣7.2＝4.8，
∴∠CBD的正切＝＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，

由（1）得，AC＝7.2，CD＝4.8，
∵DG∥AF，
∴＝＝，
设CG＝2x，FC＝3x，则FG＝2x+3x＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝．
【点评】本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
60．（2021秋•金山区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tanBsinA+|1﹣cosB|+的值．

【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴，
∴；；；，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．