沪教版 九年级 期中真题必刷常考60题（18个考点专练）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

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1．（2021秋•金山区校级期中）如图，已知在中，，点是的重心，，垂足为，如果，则线段的长为
A．B．C．D．
【分析】延长交于，如图，利用三角形重心的性质得到，，再证明，则可判断，然后利用相似比可求出的长．
【解答】解：延长交于，如图，
点是的重心，
，，
，
，
而，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了相似三角形的判定与性质．
2．（2022秋•青浦区校级期中）已知点是的重心，，，那么 2 ．
【分析】根据题意画出图形，连接并延长交于点，由等腰三角形的性质可得出，再根据勾股定理求出的长，由三角形重心的性质即可得出的长．
【解答】解：如图所示：连接并延长交于点，
是的重心，，，
，，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解答此题的关键．
3．（2022秋•嘉定区期中）新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，中，、是中线，且，垂足为，像这样的三角形称为“中垂三角形”，如果，，那么此时的长为 ．
【分析】根据三角形中位线的性质，得到，，再由勾股定理得到结果．
【解答】解：如图，连接，
、是中线，
是的中位线，
可得：，
，
，
，
在中，
，，
，，
，，
在中，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
二．*平面向量（共4小题）
4．（2022秋•奉贤区期中）已知点是线段的中点，下列结论中，正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出图形，因为点是线段的中点，所以根据线段中点的定义解答．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项正确；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则．
5．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在中，点是边上的点，且，如果，，那么 （用含、的式子表示）．
【分析】由，，直接利用三角形法则即可求得，再由，即可求得答案．
【解答】解：，，
，
在中，点是边上的点，且，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．
6．（2021秋•徐汇区期中）如图，已知在平行四边形中，、分别是边、的中点，设，．
（1）求向量（用向量表示）；
（2）求作向量在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【分析】（1）根据线段的中点定义可得，，然后表示出，，再根据三角形法则求出即可；
（2）以点为圆心，以长为半径画弧，以点为圆心，以长为半径画弧，交点为，再根据平行四边形法则解答即可．
【解答】解：（1）、分别是边、的中点，
，，
，，
，，
；
（2）如图所示，为在方向上的向量，为在方向上的向量．
【点评】本题考查了平面向量的知识，平行四边形对边互相平行，线段中点的定义，向量的问题，熟练掌握三角形法则与平行四边形法则是解题的关键．
7．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
【分析】首先利用平面向量的运算法则，将原式化简，即可得原式；然后利用三角形法则，即可求得．
【解答】解：原式，
．
作法：①作，，
②连接，
则即为所求，即．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握平面向量的运算法则．
三．比例的性质（共4小题）
8．（2023秋•虹口区期中）如果，那么下列结论正确的是
A．B．C．，D．，
【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：，
，
故选项正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）已知，那么 ．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：，
，
；
故答案为：．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．（2023秋•松江区期中）如果，那么的值是 ．
【分析】根据合比性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，那么，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．
11．（2021秋•奉贤区校级期中）已知：．
（1）求代数式的值；
（2）如果，求、、的值．
【分析】设，，，
（1）把，，代入代数式中进行分式的混合运算即可；
（2）把，，代入得到关于的方程，求出，从而得到、、的值．
【解答】解：，
设，，，
（1）；
（2），
，
解得，
，，．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
四．比例线段（共4小题）
12．（2023秋•黄浦区期中）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是 16 千米．
【分析】实际距离图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
【解答】解：根据题意，厘米千米．
即实际距离是16千米．
故答案为：16．
【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．
13．（2020秋•松江区期中）如果线段，，那么它们的比例中项是 6 ．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以，，（线段是正数，负值舍去），
故答案为：6．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
14．（2023秋•长宁区校级期中）已知线段、，如果，那么下列各式中一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【解答】解：、当，时，，但是，故本选项错误；
、由，得，故本选项错误；
、由，得，故本选项正确；
、由，得，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，比较简单．
15．（2023秋•静安区校级期中）某两地的实际距离为6千米，画在地图上的距离是20厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是
A．B．C．D．
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，直接求出即可．
【解答】解：6千米厘米，
比例尺．
故选：．
【点评】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
五．黄金分割（共4小题）
16．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是
A．5B．C．D．
【分析】根据点是线段的黄金分割点，可得，进一步求解即可．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金比是解题的关键．
17．（2022秋•长宁区校级期中）已知线段，是线段的黄金分割点，那么 ．
【分析】直接根据黄金分割的定义求出的长即可．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
18．（2023秋•长宁区校级期中）点把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么下列式子成立的是
A．B．C．D．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
【解答】解：点把线段分割成和两段，是和的比例中项，
根据线段黄金分割的定义得：．
故选：．
【点评】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
19．（2023秋•闵行区校级月考）已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】由黄金分割点的定义得，即可得出结论．
【解答】解：点为线段的黄金分割点，且，
，
故选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
六．平行线分线段成比例（共3小题）
20．（2022秋•崇明区校级期中）如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点、、都在横线上，且、两点间的距离为4，那么、两点间的距离为 2 ．
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可．
【解答】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，
则，即，
解得．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键．
21．（2022秋•徐汇区校级期中）在中，点、分别在边、的延长线上，下列比例式中能判定的为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：如图：
、当时，不能判定，不符合题意；
、当时，不能判定，不符合题意；
、当，能判定，符合题意；
、当时，能判定，而当时，不能判定，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
22．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由，，即可求出的长．
（2）过点作，交于点，交于点，运用比例关系求出及的长，然后即可得出的长．
【解答】解：（1），
，
，，，
，
．
（2）过点作，交于点，交于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
七．相似图形（共3小题）
23．（2022秋•奉贤区校级期中）下列各组图形中一定是相似形的是
A．两个等腰梯形B．两个矩形
C．两个直角三角形D．两个等边三角形
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似形，
又直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
24．（2022秋•奉贤区期中）下列说法正确的是
A．有一个角等于的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
【分析】根据相似图形的定义一一判断即可．
【解答】解：、有一个角等于的两个等腰三角形相似，因为只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；
、有一个角等于的两个等腰三角形相似，错误，角不一定是对应角，本选项不符合题意；
、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．
25．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么 145 度．
【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到，，，再根据四边形内角和为，即可得到的度数．
【解答】解：如图所示，，平分，
，
又对角线是它的相似对角线，
，
，，
，
又，
，
故答案为：145．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，理解新定义“相似对角线”，利用相似三角形的性质是解题的关键．
八．相似三角形的性质（共3小题）
26．（2022秋•虹口区期中）已知与相似，又，，那么不可能是
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：，，，
或或，
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，关键是相似三角形的对应角相等解答．
27．（2022秋•普陀区期中）如图，在中，，，是边上一点，且，如果点在边上，且与相似，那么 或 ．
【分析】分两种情况，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：与相似，
或，
，或，
或，
解得：，或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理；利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．（2022秋•上海期中）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们对应高的比是 ．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即可．
【解答】解：两个相似三角形的面积比是，
两个相似三角形相似比是，
它们对应高的比是．
故答案为：．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
九．相似三角形的判定（共3小题）
29．（2021秋•长宁区校级期中）如图，，请你再添加一个条件 或或或（任意一个即可） ，使得．
【分析】由，可证得，然后由相似三角形的判定定理，可添加或或或等．
【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
已知，则，要使，则补充的一个条件可以是或或或．
故答案为：或或或（任意一个即可）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
30．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在中，是的平分线，与交于点，，下列结论中不正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可得结论．
【解答】解：是的平分线，
，且，
，故不符合题意；
，，
，故不符合题意；
，
，且，
，故不符合题意；
由条件无法证明与相似，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是本题的关键．
31．（2022秋•徐汇区校级期中）如图，在中，平分，交于点，是上一点，连接，且．证明：．
【分析】根据相似三角形的判定得出，进而利用相似三角形的性质和判定解答即可．
【解答】证明：，，
，
，
，
平分，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．
一十．相似三角形的判定与性质（共4小题）
32．（2020秋•松江区期中）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点，把、、、的面积分别记作、、、，那么下列结论中，不正确 ．
A．B．C．D．
【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：，
，
，
，，，
选项，，正确，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．（2023秋•庐阳区校级期中）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 15 ．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
阴影梯形的面积
．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
34．（2022秋•嘉定区期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【分析】（1）由，得，再证明，则，得，由，，且，得，即可证明，得，整理得；
（2）由，得，可证明，则，变形为，则，得，即可证明，得，所以．
【解答】证明：（1），
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
（2）由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键．
35．（2022秋•杨浦区期中）如图，梯形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）若，，求线段的长；
（2）求证：．
【分析】（1）由平行线得出，得出对应边成比例求出，即可得出的长；
（2）由平行线得出，，得出对应边成比例，，由已知条件得出，因此，即可得出结论．
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2）证明：，
，，
，，
点是边的中点，
，
，
．
【点评】本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
一十一．相似三角形的应用（共3小题）
36．（黄浦区期中）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为
A．20米B．30米C．40米D．50米
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设建筑物的高度为，则可列比例为：
，
解得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键．
37．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，已知小鱼同学的身高是1.6米，她与树在同一时刻的影子长分别为米，米，那么树的高度 4 米．
【分析】由、知，从而得，由相似三角形的性质有，将相关数据代入计算可得．
【解答】解：由题意知、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
38．（闵行区期中）如图，某测量人员的眼睛与标杆顶端、电视塔顶端在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离，标杆，且，，标杆、垂直于地面．求电视塔的高．
【分析】作交于点；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【解答】解：作交于点；如图所示：
，，交于点，
，
，，，，
，，
，，，，
，，
，
，
解得：，
答：电视塔的高是5.2米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
一十二．锐角三角函数的定义（共3小题）
39．（2021秋•徐汇区期中）在中，，，，则的正切值等于
A．B．C．D．
【分析】直接利用正切的定义求解．
【解答】解：，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作．
40．（2023秋•长宁区校级期中）在△中，，，，则的长为 4 ．
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图所示：，，，
，
解得：．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．
41．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再由三角形的中位线定理求出、的长，由锐角三角函数的定义即可求出的余切值；
（2）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出、的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式；
（3）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，点在边上，过点作于点，可求出的长度，由的长可判断出的位置，进而可求出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解答】解：（1），，
，
，，
，（1分）
，（1分）
在中，；（2分）
（2）过点作于点，设，
，
，
，
，
，，（1分）
，
又可证，
，（1分）
，
；（2分）
（3），，
，
若为等腰三角形，只有或两种可能．（1分）
当时，点在边上，过点作于点（如图①
可得：，即点在中点，
此时与重合，
；（2分）
当时，点在的延长线上，
过点作于点，（如图②
可证：
，
是直角三角形，
，
，
，
．
，
，
，
，，（2分）
综上所述，为6或7．
【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
一十三．特殊角的三角函数值（共3小题）
42．（浦东新区期中）在中，已知，，，那么下列结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用锐角三角函数关系分别求出即可．
【解答】解：如图所示：
，，，
，
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆相关比例关系是解题关键．
43．（2020秋•徐汇区校级期中）在中，，如果，那么 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，进而得出的度数，进而得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
44．（2020秋•松江区期中）计算：．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
一十四．解直角三角形（共4小题）
45．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：如图：
在中，．
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．
46．（2022秋•虹口区期中）已知中，，，，那么的长是 10 ．
【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：在中，
，，
．
故答案为：10．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握“某角的余弦”是解决本题的关键．
47．（2022秋•上海期中）如图，在中，，，点在边上，，垂足为，点在延长线上，，，．
求：（1）的长；
（2）的值．
【分析】（1）由锐角的正切定义，三角形面积公式，即可求解；
（2）由锐角的余切定义，即可求解．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
（2）在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查锐角的正切，余切的概念，关键是由勾股定理求出，的长；由射影定理求出的长．
48．（2021秋•浦东新区期中）如图，在中，，延长斜边到点，使，联结，如果，求的值．
【分析】过点作，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的三角函数解答即可．
【解答】解：过点作，交于点，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
的值为．
【点评】此题考查解直角三角形，关键是根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的三角函数解答．
一十五．解直角三角形的应用（共3小题）
49．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线行驶，全长．现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果精确到（参考数据：，
【分析】首先过点作，垂足为，设，即可表示出，的长，进而求出的值，再利用锐角三角函数关系得出，的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点作，垂足为，设．
在中，，，
在中，，，
．
在中，，，
在中，，，
，
．
答：隧道开通后，汽车从地到地比原来少走14.0千米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出的长以及熟练选择正确的三角函数关系是解题关键．
50．（2021秋•长宁区校级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条上的点处安装一平面镜，与刻度尺边的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上形成一个光点．已知，，，，．
（1）的长为 13 ．
（2）将木条绕点按顺时针方向旋转一定角度得到（如图，点的对应点为，与的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上的光点为．若，则的长为 ．
【分析】（1）由题意可得，，则，进而可得出的长；
（2）过点作，过点作于点，易得△，由此可得，在中，由勾股定理可求出的长，可求出的正切值，设的长，分别表示和及和的长，再根据，可建立等式，可得结论．
【解答】解：（1）如图，由题意可得，，，
，
，
，，，
，
；
故答案为：13．
（2）如图2，过点作，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
又，
△，
即，，
设，则，
，
在中，，，，
由勾股定理可得，，
，
在△中，，
，
，
，
，解得，
，
．
故答案为：11.5．
【点评】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，构造正确的辅助线是解题的关键．
51．（2020秋•虹口区校级期中）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．（参考数据：，
（1）求的长；
（2）若米，求，两点的距离（精确到．
【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长；
（2）过作交射线于点，则，利用30度角的直角三角形即可求出，两点的距离．
【解答】解：（1）如图，过作于，
则四边形为矩形，
米，米，
（米
在中，
（米；
（2）如图，过作交射线于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
在中，（米，
，两点的距离约为1.04米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）
52．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点处送到离地面2米高的处，则物体从到所经过的路程为
A．6米B．米C．米D．米
【分析】根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
【解答】解：如图：作，垂足为．
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．
53．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，沿倾斜角为的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离为，那么相邻两棵树的斜坡距离约为 2.3 ．（结果精确到
【分析】利用的余弦函数求解．
【解答】解：由题意可得，．
．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用．
54．（长宁区校级期中）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5米．
（1）真空管上端到水平线的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，
【分析】（1）过作于．构建中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．
（2）根据的长可求出的长，再判定出四边形是矩形，可求出，根据计算即可；
【解答】解：（1）过作于．
在中，
，
（米．
真空管上端到的距离约为1.2米．
（2）在中，
，
（米，
，，又，
四边形是矩形．
，，
米，
（米，
在中，
，
，
米，
（米
安装热水器的铁架水平横管的长度约为0.2米．
【点评】本题以常见的太阳能为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）
55．（2022秋•浦东新区校级期中）离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为 米（用含的三角函数表示）．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．
【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高，测角仪高为1.5米，
故旗杆的高为米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
56．（2020秋•静安区期中）如图，在点处测得点处的仰角是 ．（用“，，或”表示）
【分析】根据仰角的定义即可得到结论．
【解答】解：在点处测得点处的仰角是，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角和俯角，熟记仰角和俯角的定义是解题的关键．
57．（2022春•虹口区校级期中）永康某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为；当他在地面处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米）
【分析】延长交于点，构造直角和矩形，设米．通过解直角三角形分别表示出、的长度，根据得到，解得即可求得 进而即可求得．
【解答】解：延长交于点，设米．
，，
（米，（米，
（米．
解得，
（米，
（米．
答：测温门顶部处距地面的高度约为2.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．
58．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：．
【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）延长交于点，根据已知易得，从而利用三角形的内角和可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，再根据已知可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在中，，，
（米，
灯管支架底部距地面高度的长为米；
（2）延长交于点，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
米，米，
（米，
在中，（米，
（米，
灯管支架的长度约为1.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）
59．（2023秋•闵行区校级期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，其中甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点、处，那么点位于点的
A．南偏西B．南偏西C．南偏西D．南偏西
【分析】由甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，得出的度数，由两船的航行速度相同，得出，
得出，以及求出的度数，得出点位于点的方向．
【解答】解：甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，两船的航行速度相同，
，，，
，
，
点位于点的南偏西的方向上，
故选：．
【点评】此题主要考查了方向角问题，关键是由已知得出各角的度数，进而得出所求问题中度数．
60．（2021秋•青浦区校级期中）钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当保岛屿船航行至海面处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我处的海监船前往处护航．已知处位于处的北偏东的方向上，位于的北偏西的方向上．
求：、之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，．
【分析】作，垂足为，设，利用解直角三角形的知识，可得出，继而可得出，结合题意海里可得出方程，解出的值后即可得出答案．
【解答】解：如图，作，垂足为，
由题意得，，．
设，在中，可得，
在中，可得，
又，即，
解得：，
（海里）．
答：、之间的距离为10.3海里．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．