新高考数学二轮专题《导数》第07讲 导数中的恒成立与存在性问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第7讲 导数中的恒成立与存在性问题1．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　 A． B． C． D．【解析】解：设，，由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，，当时，，当时，，当时，取最小值，当时，，当时，（1），直线恒过定点且斜率为，故且，解得故选：．2．设函数，其中，若存在两个整数，，使得，都小于0，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数，其中，设，，存在两个整数，，使得，都小于0，存在两个整数，，使得在直线的下方，，当时，，当时，．当时，，（1），直线恒过，斜率为，故，且，解得．，解得，的取值范围是，．故选：．3．设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：设，，由存在唯一的整数使得，，当时，，当时，，当时，取最小值，当时，，当时，（1），直线恒过定点且斜率为，故且，解得故选：．4．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：设，，则，，，单调递减，，，，单调递增，，取最小值，，（1）（1），直线恒过定点且斜率为，，，，的取值范围，．故选：．5．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，有两个不同的解，即得有两个不同的解，设，则，，，函数递减，，，函数递增，时，函数取得极小值，，，，故选：．6．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，有两个不同的解，即得有两个不同的解，设，则，，，函数递减，，，函数递增，时，函数取得极小值，，，．故选：．7．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是　　A． B．， C．， D．【解析】解：设对任意两个不等的正实数都有恒成立，则，，令，则，所以函数是增函数，恒成立，恒成立，，当时，取得最大值（1），．即的取值范围是，．故选：．8．已知，若对任意两个不等的正实数，都有成立，则实数的取值范围是　　A．， B． C． D．，【解析】解：对任意两个不等的正实数，，都有恒成立则当时，恒成立在上恒成立则而，则故选：．9．已知函数，若对，，且，有恒成立，则实数的取值范围为　　A． B．， C．， D．【解析】解：因为，所以，所以．因为，，且，所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以恒成立，又因为时，，所以．故选：．10．已知函数，在区间内任取两个数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：由函数，，，，且，不等式恒成立等价式恒成立，转化为恒成立，即，恒成立，整理可得：，，函数在是递增函数．故得．故选：．11．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为　　A． B． C． D．【解析】解：可化为，即，令，则，令，则，故当，即时，有最小值，故当，时，，时，；故有最小值（1）；故实数的最小值为．故选：．12．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为　　A． B． C． D．【解析】解：若不等式有解，则有解，令，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，，故，故，令，即，解得：，令，即，解得：，故在递减，在递增，故（e），故的最小值是，故选：．13．设函数，若不等式在，上有解，则实数的最小值为　　A． B． C． D．【解析】解：在，上有解在，上有解．令，则，，，当，时，，在区间，上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，取得极小值（1），也是最小值，，．故选：．14．已知函数，若存在，，使得，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：，，，，存在，，使得，，设，，，当时，解得：，当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，当时，函数取最大值，最大值为（2），，故选：．15．已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为　　A．， B．， C． D．，【解析】解：，，使得成立，等价于，，当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取得最小值；当时取得最大值为，所以，即实数的取值范围是，故选：．16．设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为　　A．， B．， C．， D．【解析】解：设上为，，上切点为，，依题得，，有，，易得．故选：．17．设函数，若对任意，，，不等式恒成立，则正数的取值范围为　　A． B．， C． D．【解析】解：对任意，，，不等式恒成立，等价于恒成立，，当且仅当时等号成立，；又，在，上恒成立，则，，又，解得．正数的取值范围为．故选：．18．设表示自然对数的底数，函数，若关于的不等式有解，则实数的值为　　．【解析】解：，若关于的不等式有解，即为有解，由，可得函数的几何意义为点和点的距离，由于两点在曲线和直线运动，当直线与曲线相切，设切点为，可得切线的斜率为，解得，则切点为，可得切点到直线的距离为，可得有解，且等号成立，由和联立，可得交点为，，即有，故答案为：．19．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是　，　．【解析】解：设，则，，令，，在上单调递减，，，时，，．的取值范围是，．故答案为：，．20．（1）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是　，　．（2）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围　　．【解析】解：（1）函数，其中，设，，存在唯一的整数，使得，存在唯一的整数，使得在直线的下方，，当时，，当时，．当时，，（1），直线恒过，斜率为，故，且，解得．的取值范围是．（2），，使得成立，等价于，，，当时，；时，．时，．，．，实数的取值范围是．故答案分别为：（1）；（2）．21．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　，　．【解析】解：当时，不等式恒成立，即时，恒成立，即时，或，令，，令，解得：，令，解得：，在递增，在递减，（e），而，又当时，符合条件，，故，或，故答案为：，．22．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　，　．【解析】解：当时，不等式即为显然成立；当时，，，只要，即有的最小值，令，，当时，，递增；当时，，递减．即有处取得最小值，且为，则，解得；当时，，，只要恒成立，由于，则不恒成立．综上可得的范围是，．故答案为：，．23．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　或　．【解析】解：，则，令，则，时，，时，时，函数取得最大值，，，；时，则，在上不恒成立，不合题意；时，或，，综上，或．24．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　，　．【解析】解：当时，取，则，，不等式在上不恒成立，．①当时，，令，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，在上的极大值也是最大值为（1）．又，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，在上的极小值也是最小值为（1）（1）．在上恒成立；②当时，取，则，，不等式在上不恒成立．综上，．故答案为：，．25．已知函数，，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为　，　．【解析】解：函数的定义域为，则当时，恒成立，此时，函数在上是增函数，又函数，在，上是减函数不妨设，则，，则不等式等价为，即设，则，等价于函数在区间，上是减函数，在，上恒成立，即在，上恒成立，即不小于在，内的最大值．而函数在，是增函数，的最大值为，又，，．故答案为：，．26．若，，，且对任意，，，的恒成立，则实数的取值范围为　，　．【解析】解：易知在，上均为增函数，不妨设，则 等价于，即；令，则在，为减函数，则在上恒成立，恒成立；令，，为减函数，在，的最大值为；综上，实数的取值范围为，．故答案为：，．27．设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为　，　．【解析】解：由，得，，，由，得，又，，，，要使过曲线上任意一点的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则，解得．即的取值范围为，，故答案为，．28．设函数，对任意、，不等式，恒成立，则正数的取值范围是　　．【解析】解：当时，，时，函数有最小值，，，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，时，函数有最大值（1），则有、，，不等式恒成立且，，故答案为：．29．已知函数，，当时，且对任意的，，，恒成立，则实数的取值范围为        ．【解析】当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，，在，上恒成立，在，上为增函数．当时，且对任意的，，，恒成立，即在，上恒成立．设，则在，上为减函数．在，上恒成立，化为恒成立．设，，，．，，．在，上恒成立，即为减函数．在，上的最大值为（4）．．