高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题4.2应用导数研究函数的单调性专题练习（学生版+解析）

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题4.2应用导数研究函数的单调性专题练习（学生版+解析），共29页。试卷主要包含了【多选题】，已知，函数，已知函数.等内容，欢迎下载使用。
1．（浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·重庆市第七中学校高三期中）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·广东高三其他模拟）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．函数在上是减函数
8．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________.
9. (2019年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
10．（2020·四川省内江市第六中学高三月考）已知，函数．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求a，b的值；
（2）设，若在上为增函数，求a的取值范围．
练提升TIDHNEG
1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数，，满足且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2.【多选题】（2021·山东济南市·高三其他模拟）数列{an}满足a1＝1，an＝an+1+ln（1+an+1）（），则（ ）
A．存在n使an0B．任意n使an0
C．anan+1D．anan+1
3．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________
4．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
5．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数，则不等式的解集为___________.
6．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）已知函数，，，且对于任意实数x，恒有.
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数在区间上单调，求实数a的取值范围.
7．（2021·全国高三专题练习（理））设函数.
（Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
（Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围.
8．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知函数.
（1）求的最大值；
（2）若，分析在上的单调性.
9．（2021·全国高三专题练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数对都有恒成立，求的取值范围.
10．（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文））已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
2.（2018·全国高考真题（文））函数y=−x4+x2+2的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017·江苏高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。
4．（2020·全国高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
5.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
6．（2016北京理）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
专题4.2 应用导数研究函数的单调性
练基础
1．（浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
2．（2020·重庆市第七中学校高三期中）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
先求出的减区间，只需，，解不等式求出a的范围.
【详解】
解：，当，即时，有，
即在上函数是减函数，从而，，即且，解得．
所以实数a的取值范围是．
故选：A.
3．（2021·广东高三其他模拟）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
根据题意画出函数大致图象，然后根据图象得出，再用表示出，根据所得关于的函数单调性可得结果．
【详解】
函数大致图象如下：
则由图可得，
而，故．
，
令，，．
则
在，上为单调增函数．
，
．
故选：D
4．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
因为的定义域为，，
由，得，解得，所以的递增区间为．
由于在区间上单调递增，则，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是．
故选：A.
5．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【详解】
解：∵，
∴，
∴函数关于对称，
又，
∵，
∴，
∴恒成立，则是增函数，
∵，
∴，
∴，得，
故选：A.
6．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
由函数为偶函数，得到必为奇函数，排除B选项；根据时，，可排除D选项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解.
【详解】
由函数的图像关于轴对称，所以函数为偶函数，
又由为奇函数，则函数必为奇函数，排除B选项；
当时，，可得，排除D选项.
对于A中，函数为偶函数，且当时，，
当或时，可得，
又由，
当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，
所以函数在附近存在单调递减区间，选项A符合；
对于C中，函数为偶函数，
当时，，当或时，可得，
又由，
当时，，所以函数在轴右侧先单调递增，且，
所以函数在附近存在单调递减区间，选项C符合.
故选：AC.
7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．函数在上是减函数
【答案】BC
【解析】
求出函数的导数，根据在与处取得极值以及函数的单调区间，结合韦达定理求出，，之间的关系，判断其符号，进而可得到结论．
【详解】
因为，所以，
由图知的增区间是，，减区间是，
所以的解集为，
的解集为，所以，A错误；
因为在与处取得极值，则，是方程的根，
由韦达定理可知，B正确；
由图可知，
由韦达定理可知，故，故，C正确；
因为的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，
所以在上递减，在上递增，D错误，
故选：BC．
8．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
先解出.再由是的充分不必要条件即可得出答案.
【详解】
在上单调递增
在上恒成立.
即在上恒成立，
所以：.
又是的充分不必要条件，
即.
故答案为：.
9. (2019年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
10．（2020·四川省内江市第六中学高三月考）已知，函数．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求a，b的值；
（2）设，若在上为增函数，求a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
（1）求出的导数，由题可得，，列出式子即可求出；
（2）可得，求出导数，可得对任意，有恒成立，由此可求出a的取值范围.
【详解】
（1），
，
依题意有，且，
可得，解得,或.
（2）在上是增函数.
可得，
依题意有, 对任意，有恒成立.
由，则，
可得.
练提升TIDHNEG
1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数，，满足且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.
【详解】
由得，————①
由得，————②
两式相加得，因为，，所以，又因为 ，所以；
因为，，所以，即，所以；
令，则，当时，，
所以在内单调递增，即，
所以，即，
又令，则，
当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.
所以.
故选：D.
2.【多选题】（2021·山东济南市·高三其他模拟）数列{an}满足a1＝1，an＝an+1+ln（1+an+1）（），则（ ）
A．存在n使an0B．任意n使an0
C．anan+1D．anan+1
【答案】BD
【解析】
构造函数，研究其单调性，然后根据单调性判断每一个选项.
【详解】
解：设f(x)＝x+ln（1+x），其定义域为（﹣1，+∞），
则f′(x)＝1+＝在（﹣1，+∞）上大于0恒成立，
故f(x)在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（0）＝0，
若an0，则an+1+ln（1+an+1）0，即f（an+1）0，即f（an+1）f（0），
则由f(x)的单调性可得an+10，
即an0可得an+10，
又由a1＝10可得：任意，使an0，故A错，B对，
又由an﹣an+1＝ln（1+an+1）且an+10，故ln（1+an+1）0，
∴an﹣an+10⇒anan+1，故C错，D对，
故选：BD．
3．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________________
【答案】
【解析】
先对函数进行求导，由导数在上恒成立即可求出实数的取值范围.
【详解】
，
由题意知在上恒成立且不恒为0，
显然时，恒成立，
所以只需在 上恒成立且不恒为0，
即在 上恒成立且不恒为0，
所以只需当时，
又当时，有，所以，即有最大值，
所以，即.
故答案为：.
4．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
先求导，根据题意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得结果.
【详解】
由知，,
时，是增函数，，
又，∴在上恒成立，
而，．
故答案为：．
5．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
根据函数奇偶性的定义，得到为奇函数，再根据导数求得函数为上单调递减函数，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且满足，即，
所以函数为奇函数，
又由，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，所以函数为上单调递减函数，
又因为，即，
即，所以，即，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
6．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）已知函数，，，且对于任意实数x，恒有.
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数在区间上单调，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
（1）由偶函数定义待定系数b即可；
（2）函数在区间上单调转化为“在上恒成立”和“在上恒成立”两个问题分别求解.
【详解】
（1）由题设得：，
，则，
对于任意实数x都成立，，.
（2），
.
要使在上单调，只需在上恒成立，或在上恒成立．
则在上恒成立，或在上恒成立．
即在上恒成立，或在上恒成立.
设，则.
要使在上恒成立，则，
要使 在上恒成立，则.
或.
7．（2021·全国高三专题练习（理））设函数.
（Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
（Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设切点为，求出切线方程并计算与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.
（Ⅱ）由题设可得，利用参变分离可得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）当时，，，
设图象上任意一点，切线斜率为.
过点的切线方程为.
令，解得；令，解得.
切线与坐标轴围成的三角形面积为.
所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.
（Ⅱ）由题意，函数的定义域为.
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
即当，恒成立，
所以
因为当，，当且仅当时取等号.
所以当时，
所以.
所以的取值范围为.
8．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知函数.
（1）求的最大值；
（2）若，分析在上的单调性.
【答案】（1）最大值为；（2）在上单调递减.
【解析】
(1)求导后，判断单调性进而求出最大值即可；
(2)由题意可知，求导后表达式比较复杂，故因式分解后构造新的函数，通过二次求导来判断的正负号，进而判断出在上的单调性.
【详解】
(1)由条件知，
令，得，
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为.
(2)由已知得，
所以，
当时，.
令，则，
当时，，所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
从而，所以在上单调递减.
9．（2021·全国高三专题练习）已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数对都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
（1）求出函数导数，分,讨论，当时，根据两根关系讨论，即可求出函数的单调区间；
（2）不妨令，由恒成立可得在上为减函数，利用导数恒成立求解即可.
【详解】
（1）依题意有定义域为，
当时，，，
∴当时，为增函数，
当时，，为减函数；
当时，令，得，
（i）当，，即当时，，则时，在，上均为增函数；在上为减函数；
（ii）当，，即时，，上为增函数；
(iii)当，，即时，则时，在，上均为增函数；在上为减函数.
综上：当时，增区间为，，减区间为；
当时，增区间为；
当时，增区间为和，减区间为；
当时，增区间为，减区间为.
（2）不妨令，则，即
，令，则在上为减函数.
即对恒成立.
令，
当时，所以当时，
∴
故的取值范围为.
10．（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文））已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，得到，求导，分别求得，写出切线方程；
（2）设，易知在上单调递减，则， 然后分，，讨论求解.
【详解】
（1）当时，，
则，
所以，
所以，所求切线方程为，
即.
（2）设，
则，
所以在上单调递减，
从而，
即.
（i）当时，，
则，
则，
若在上单调递增，
则对于任意的恒成立，
即.
因为，
所以当时，，
所以，又，
此时的取值范围为
（ii）当时，，
则，
则，
若在上单调递增，
则对于任意的恒成立，
即.
因为，
所以当时，，
所以，
此时的取值范围为.
（iii）当时，则存在唯一的，
使得.
当时，，
即存在且，
使得，
从而，
即，
这与“在上为增函数”矛盾，
此时不合题意.
综上，实数的取值范围
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当00得2x2x2−1