新高考数学一轮复习讲练测专题4.2应用导数研究函数的单调性（练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
2．（2020·重庆市第七中学校高三期中）设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
先求出 SKIPIF 1 < 0 的减区间 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解不等式求出a的范围.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即在 SKIPIF 1 < 0 上函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
3．（2021·广东高三其他模拟）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
根据题意画出函数 SKIPIF 1 < 0 大致图象，然后根据图象得出 SKIPIF 1 < 0 ，再用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ，根据所得关于 SKIPIF 1 < 0 的函数单调性可得结果．
【详解】
函数 SKIPIF 1 < 0 大致图象如下：
则由图可得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
4．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
利用导数求出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 ，可得出关于实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，由此可解得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
5．（2021·福建高三三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
根据条件判断函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
6．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）如图是函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
由函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，得到 SKIPIF 1 < 0 必为奇函数，排除B选项；根据 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可排除D选项，对于A、C项，得出函数的解析式，结合三角函数的性质和导数，逐项判定，即可求解.
【详解】
由函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
又由 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则函数 SKIPIF 1 < 0 必为奇函数，排除B选项；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，排除D选项.
对于A中，函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧先单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 附近存在单调递减区间，选项A符合；
对于C中，函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧先单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 附近存在单调递减区间，选项C符合.
故选：AC.
7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数
【答案】BC
【解析】
求出函数的导数，根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处取得极值以及函数的单调区间，结合韦达定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的关系，判断其符号，进而可得到结论．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由图知 SKIPIF 1 < 0 的增区间是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，
由韦达定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，D错误，
故选：BC．
8．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三月考）已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
先解出 SKIPIF 1 < 0 .再由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件即可得出答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以： SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9. (2019年高考北京理)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
10．（2020·四川省内江市第六中学高三月考）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在它们的交点 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相垂直，求a，b的值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，求a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）求出 SKIPIF 1 < 0 的导数，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，列出式子即可求出；
（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出导数，可得对任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，由此可求出a的取值范围.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意有, 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 .
练提升TIDHNEG
1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
首先根据题中的条件得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ；再根据 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，————①
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，————②
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2.【多选题】（2021·山东济南市·高三其他模拟）数列{an}满足a1＝1，an＝an+1+ln（1+an+1）（ SKIPIF 1 < 0 ），则（ ）
A．存在n使an SKIPIF 1 < 0 0B．任意n使an SKIPIF 1 < 0 0
C．an SKIPIF 1 < 0 an+1D．an SKIPIF 1 < 0 an+1
【答案】BD
【解析】
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，研究其单调性，然后根据单调性判断每一个选项.
【详解】
解：设f(x)＝x+ln（1+x），其定义域为（﹣1，+∞），
则f′(x)＝1+ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 在（﹣1，+∞）上大于0恒成立，
故f(x)在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（0）＝0，
若an SKIPIF 1 < 0 0，则an+1+ln（1+an+1） SKIPIF 1 < 0 0，即f（an+1） SKIPIF 1 < 0 0，即f（an+1） SKIPIF 1 < 0 f（0），
则由f(x)的单调性可得an+1 SKIPIF 1 < 0 0，
即an SKIPIF 1 < 0 0可得an+1 SKIPIF 1 < 0 0，
又由a1＝1 SKIPIF 1 < 0 0可得：任意 SKIPIF 1 < 0 ，使an SKIPIF 1 < 0 0，故A错，B对，
又由an﹣an+1＝ln（1+an+1）且an+1 SKIPIF 1 < 0 0，故ln（1+an+1） SKIPIF 1 < 0 0，
∴an﹣an+1 SKIPIF 1 < 0 0⇒an SKIPIF 1 < 0 an+1，故C错，D对，
故选：BD．
3．（2021·辽宁高三其他模拟）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
先对函数 SKIPIF 1 < 0 进行求导，由导数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立即可求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立且不恒为0，
显然 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立且不恒为0，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立且不恒为0，
所以只需当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
又当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
先求导，根据题意 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，整理即得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，再求 SKIPIF 1 < 0 的值域即得结果.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是增函数， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
根据函数奇偶性的定义，得到 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，再根据导数求得函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上单调递减函数，把不等式 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上单调递减函数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且对于任意实数x，恒有 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调，求实数a的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由偶函数定义待定系数b即可；
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调转化为“ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立”和“ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立”两个问题分别求解.
【详解】
（1）由题设得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对于任意实数x都成立， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，或 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，或 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，或 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2021·全国高三专题练习（理））设函数 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的一条切线，求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
（Ⅱ）若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递减，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（Ⅰ）设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，求出切线方程并计算 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.
（Ⅱ）由题设可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用参变分离可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 图象上任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，切线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
切线与坐标轴围成的三角形面积为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.
（Ⅱ）由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，分析 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性.
【答案】（1）最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
【解析】
(1)求导后，判断单调性进而求出最大值即可；
(2)由题意可知， SKIPIF 1 < 0 求导后表达式比较复杂，故因式分解后构造新的函数，通过二次求导来判断 SKIPIF 1 < 0 的正负号，进而判断出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性.
【详解】
(1)由条件知 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
9．（2021·全国高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）求出函数导数，分 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 讨论，当 SKIPIF 1 < 0 时，根据 SKIPIF 1 < 0 两根关系讨论，即可求出函数的单调区间；
（2）不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 恒成立可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，利用导数 SKIPIF 1 < 0 恒成立求解即可.
【详解】
（1）依题意有定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（i）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上均为增函数；在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数；
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数；
(iii)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上均为增函数；在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数.
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数.
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校高三月考（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求导，分别求得 SKIPIF 1 < 0 ，写出切线方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ， 然后分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 讨论求解.
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（i）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
（iii）当 SKIPIF 1 < 0 时，则存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即存在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
这与“ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数”矛盾，
此时不合题意.
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
下面比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系.
记 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0
所以当0所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ;
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由于 SKIPIF 1 < 0 ，在x>0时, SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即函数 SKIPIF 1 < 0 在[0,+∞)上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即b综上， SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B.
2.（2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
3．（2017·江苏高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。
【答案】
【解析】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
4．（2020·全国高考真题（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
【答案】（1）详见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）由题， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
5.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0若，b=1，则，与0若，，则或或a=0，与0综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
6．（2016北京理）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
（1）因为，所以.
依题设，即
解得；（2）由（Ⅰ）知.
由即知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，，故的单调递增区间为.