所属成套资源:新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)(原卷版+解析版)
- 新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题12平面向量综合必刷100题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题13数列的性质必刷小题100题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题15数列构造求解析式必刷100题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题16数列放缩证明不等式必刷100题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题17立体几何外接球与内切球必刷100题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题14数列求和综合必刷100题(原卷版+解析)
展开
这是一份新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题14数列求和综合必刷100题(原卷版+解析),共108页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知数列满足,,则( )
A.B.C.D.
2.已知数列的前项和为,且,,则数列的前2020项的和为( )
A.B.C.D.
3.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前99项和为( )
A.2100-101B.299-101C.2100-99D.299-99
4.已知数列的前项和满足,记数列的前项和为,.则使得的值为( )
A.B.C.D.
5.已知数列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,Sn为数列{an}的前n项和,则S2021=( )
A.3B.2C.1D.0
6.正项数列满足,,则( )
A.B.C.D.
7.化简的结果是( )
A.B.
C.D.
8.已知数列中,,求数列的前项和为( )
A.B.
C.D.
9.等比数列中,,,数列,的前项和为,则的值为( )
A.B.C.D.
10.已知数列的前项和满足,记数列的前项和为,.则使得成立的的最大值为( )
A.17B.18C.19D.20
第II卷(非选择题)
二、填空题
11.数列是首项和公差都为1的等差数列,其前n项和为,若是数列的前n项和,则 ______
12.已知数列的通项公式,设其前项和为,则使成立的最小的自然为__________.
13.已知数列满足,则的前20项和________.
14.已知正项数列满足,,则___________.
15.设数列满足,,,则数列的前50项和是________.
16.设,则__________.
17.数列的前项和为,且,且,则___________.
18.在数列中,,且,则数列的前项和为__________.
19.已知数列,……,则该数列的前10项和为__________.
20.已知数列满足且,数列的前项为,则不等式最小整数解为________.
三、解答题
21.数列的前n项和为,若,点在直线上.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若数列满足,求数列的前n项和.
22.已知数列为等差数列,公差,且,,依次成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若,求的值.
23.在等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
24.已知数列满足,.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)若 ,求数列的前n项和.
在(①;②;③三个条件中选择一个补充在第(2)问中,并对其求解,如果多写按第一个计分)
25.已知正项数列的前项和为,且,.数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
26.已知是等比数列,,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
27.已知公差不为0的等差数列满足,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明.
28.已知数列满足,,.数列满足,,其中为数列是前n项和.
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,求数列的前n项和,并证明:.
29.已知数列的前项和为,,数列满足,.
(1)求数列、的通项公式;
(2)若数列满足,求证:.
30.在各项均为正数的等比数列中,成等差数列.等差数列{}满足,.
(1)求数列{},{}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,证明:
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1.已知数列满足,且,则该数列的前9项之和为( )
A.32B.43C.34D.35
2.数列满足,,数列的前项和为,则( )
A.B.
C.D.
3.设为数列的前项和,,且.记为数列的前项和,若对任意,,则的最小值为( )
A.3B.C.2D.
4.记数列的前项和为,若,,则( )
A.B.
C.D.
5.数列是正项等比数列,满足,则数列的前项和( )
A.B.C.D.
6.数列满足,且(),则( )
A.B.C.D.
7.设数列满足,若,且数列的前 项和为,则( )
A.B.C.D.
8.已知函数,数列满足,则数列的前2019项和为( )
A.B.1010C.D.1011
9.已知数列的前项和为,前项积为,且,.若,则数列的前项和为( )
A.B.C.D.
10.数列满足﹐若,则的前项和为( )
A.B.C.D.
11.已知等差数列的公差为2,前n项和为,且,,成等比数列.令,数列的前n项和为,若对于,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
12.已知数列满足,设,且,则数列的首项的值为( )
A.B.C.D.
13.设为数列的前n项和,,则( )
A.B.
C.D.
14.正项数列的前n项和为,且,设,则数列的前2020项的和为( )
A.B.C.D.
第II卷(非选择题)
二、填空题
15.已知正项数列的前项和为,且.若,则数列的前2021项和为___________.
16.已知数列的各项均为正数,,,,数列的前项和为,若对任意正整数都成立,则的取值范围是___________.
17.设为数列的前项和,满足,,其中,数列的前项和为,则___________.
18.已知正项数列满足且,令,则数列的前项的和等于___________.
19.已知,记数列的前n项和为,且对于任意的,,则实数t 的最大值是________.
20.数列且,若为数列的前项和,则__________.
21.用表示正整数所有因数中最大的那个奇数,例如:的因数有,,,则,的因数有,,,,则.计算________.
22.已知数列满足,则___________;若,则数列的前项和___________.
23.已知数列的前n项和为,且满足,则______________.
24.已知数列的前项和为,点在直线上.若,数列的前项和为,则满足的的最大值为________.
25.已知正项数列的前项和为,,且,设,则数列前项和的取值范围为_________.
26.已知数列满足:,,(且),等比数列公比,令,则数列的前项和___________.
27.已知数列与前n项和分别为,,且,,则________.
三、解答题
28.数列中,为的前项和,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
29.已知各项均为正数的无穷数列的前项和为,且,.
(1)证明数列是等差数列,并求出的通项公式;
(2)若数列满足,.设数列满足,证明:.
30.已知等差数列的前项和为,数列是各项均为正数的等比数列,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)在①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.
问题:已知,___________,是否存在正整数,使得数列的前项和?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
31.在①,;②公差为2,且,,成等比数列;③;三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.
问题:已知数列为公差不为零的等差数列,其前项和为,______.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,其中表示不超过x的最大整数,求的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
32.在①②这两组条件中任选一组,补充在下面横线处,并解答下列问题.
已知数列的前项和是数列的前项和是,__________.
(1)求数列的通项公式;
(2)设证明:
33.在①;②;③,,成等差数列这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
问题:数列是各项均为正数的等比数列,前n项和为,且______.
(1)求数列的通项公式;
(2),求数列的前n项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
34.已知数列中,,.
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;
(2)数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围.
35.已知为等比数列,,记数列满足,且.
(1)求和的通项公式;
(2)对任意的正整数,设,求的前项的和.
36.设正项数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,若数列的前项和为,证明:.
37.已知数列的前项和为.若,且
(1)求;
(2)设,记数列的前项和为.证明:.
38.已知等差数列的前n项和为,且.
(1)求的通项公式以及;
(2)求使不等式成立的最小值n.
39.设数列前项和为,,().
(1)求出通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
40.设数列的前项和为,已知.
(1)求通项公式;
(2)对任意的正整数,设 ,求数列的前项和.
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1.已知数列满足,,(),则数列的前2017项的和为( )
A.B.
C.D.
2.已知数列满足,其前项和,数列满足,其前项和为,若对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
3.已知等比数列满足,,若,是数列的前项和,对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
4.设为不超过x的最大整数,为可能取到所有值的个数,是数列前n项的和,则下列结论正确个数的有
(1)
(2)是数列中的项
(3)
(4)当时,取最小值
A.1个B.2个C.3个D.4
5.设数列的前项积,记,求的取值范围是( ).
A.B.C.D.
6.已知数列的前项和,,且,若,(其中),则的最小值是( )
A.B.4C.D.2018
7.数列满足,(且),数列为递增数列,数列为递减数列,且,则().
A.B.C.4851D.4950
8.已知数列中,,若,设,若,则正整数的最大值为( )
A.1009B.1010C.2019D.2020
9.已知数列满足…,设数列满足:,数列的前项和为,若恒成立,则的取值范围是
A.B.C.D.
10.艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列:满足,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数()有两个零点,,数列为牛顿数列,设,已知,,的前项和为,则等于
A.B.C.D.
11.已知是函数的极值点,数列满足,,记,若表示不超过的最大整数,则( )
A.2017B.2018C.2019D.2020
12.设表示不超过的最大整数,已知数列中,,且,若,则整数
A.99B.100C.101D.102
第II卷(非选择题)
二、填空题
13.已知数列满足:,,(且),等比数列公比,则数列的前项和___________.
14.各项均为正数的等比数列,满足,且,,成等差数列,数列满足,数列的前项和,则______.
15.已知公差不为零的等差数列的前项和为,且满足,,成等比数列,,数列满足,前项和为,则_________.
16.已知是等差数列的前项和,若,设,则数列的前项和取最大值时的值为______________
17.已知数列的前n项和为,数列的前n项和为,满足,,且.若对,恒成立,则实数的最小值为____________.
18.已知函数若对于正数,直线与函数的图象恰有个不同的交点,则数列的前n项和为________.
19.数列满足,,则的整数部分是___________.
20.设表示正整数n的个位数字,记,M是的前4038项的和,函数,若函数满足,则数列的前2020项的和为________.
21.已知正项数列满足,,则数列的前项和为___________.
22.已知数列满足,则数列的前项和为___________.
23.设是数列的前项和,若,则_____.
24.在各项均为正数的等比数列中,,当取最小值时,则数列的前项和为__________.
三、解答题
25.已知等比数列的各项均为正数,成等差数列,且满足,数列的前n项和,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
26.已知数列是正项等差数列,,且.数列满足,数列前项和记为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,其前项和记为,试比较与的大小.
27.已知正项数列的首项,其前项和为,且.数列满足:(b1+ b2.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,证明:.
28.已知等比数列的各项均为正数,,,成等差数列,且满足,数列的前项之积为,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(3)设,若数列的前项和,证明:.
29.已知函数.
(1)若,求a的值;
(2)证明:.
30.已知数列的前项和为,,数列满足,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设数列满足:,,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
专题14 数列求和综合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1.已知数列满足,,则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】
由,利用累加法得出.
【详解】
由题意可得,
所以,,…,,
上式累加可得
,
又,所以.
故选:B.
2.已知数列的前项和为,且,,则数列的前2020项的和为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】
首先根据已知条件求得,然后求得,利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】
数列的前项和为,且,,则.
所以,
两式相减得:,且,,
当为奇数时,,
当为偶数时,,
所以,
所以数列是首项为,公差为的等差数列.
所以,
故,
所以,
则.
故选:B
3.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前99项和为( )
A.2100-101B.299-101C.2100-99D.299-99
【答案】A
【分析】
由数列可知an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,结合分组求和法即可求解.
【详解】
由数列可知an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,所以,前99项的和为
S99=(2-1)+(22-1)+…+(299-1)=2+22+…+299-99=-99=2100-101.
故选:A
4.已知数列的前项和满足,记数列的前项和为,.则使得的值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】
由,求得,得到,结合裂项法求和,即可求解.
【详解】
数列的前项和满足,
当时,;
当时,,
当时,适合上式,所以,
则,
所以.
故选:B.
5.已知数列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,Sn为数列{an}的前n项和,则S2021=( )
A.3B.2C.1D.0
【答案】C
【分析】
根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列,利用周期性即可求解.
【详解】
∵an+1=an-an-1,a1=1,a2=2,∴a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…,
故数列{an}是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+(-1)+(-2)=1.
故选:C.
6.正项数列满足,,则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】
对化简可得,从而可得数列是等差数列,首项为1,公差为3,求出通项,则可得,然后利用裂项求和法计算
【详解】
,
,,
,
数列是等差数列,首项为1,公差为3,
.
,
.
故选:B.
7.化简的结果是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】
用错位相减法求和.
【详解】
,(1)
,(2)
(2)-(1)得:
.
故选:D.
8.已知数列中,,求数列的前项和为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】
根据题意化简得到,得到数列构成首项为,公比为的等比数列,求得,结合等比数列和等差数列的求和公式,即可求解.
【详解】
由题意,数列中,,
可得,即,
且,所以数列构成首项为,公比为的等比数列,
所以,即,
则数列的前项和
.
故选:C.
9.等比数列中,,,数列,的前项和为,则的值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】
先求出,从而可得,然后利用裂项相消求和法可求出
【详解】
由题意得,所以,
所以.
故选:B
10.已知数列的前项和满足,记数列的前项和为,.则使得成立的的最大值为( )
A.17B.18C.19D.20
【答案】C
【分析】
根据求通项公式,注意讨论、并判断是否可合并,再应用裂项法求,最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】
当时,;当时,;而也符合,
∴,.又,
∴,要使,
即,得且,则的最大值为19.
故选:C.
第II卷(非选择题)
二、填空题
11.数列是首项和公差都为1的等差数列,其前n项和为,若是数列的前n项和,则 ______
【答案】/.
【分析】
首先写出等差数列前n项和,则有,再应用裂项相消法求.
【详解】
由题意:,故,于是,
∴.
故答案为:.
12.已知数列的通项公式,设其前项和为,则使成立的最小的自然为__________.
【答案】14
【分析】
先利用其通项公式以及对数函数的运算公式求出.再利用对数的运算性质解不等式即可求出对应的自然数.
【详解】
解:因为,
所以
.
.
故答案为:14.
13.已知数列满足,则的前20项和________.
【答案】95
【分析】
利用分组求和法以及等差数列的前n项和公式即可求出结果.
【详解】
因为,则,
所以
所以
,
故答案为:95.
14.已知正项数列满足,,则___________.
【答案】
【分析】
化简数列的递推关系式,得到,结合等差数列的通项公式,求得,可得,利用裂项法,即可求解.
【详解】
由题意,正项数列满足,,
可得,
因为,可得,所以数列是首项为1,公差为3的等差数列,
所以,
则
所以
故答案为:.
15.设数列满足,,,则数列的前50项和是________.
【答案】1300
【分析】
利用累加法可求得数列的通项公式,再并项求和求解前50项和即可.
【详解】
因为,,且,
故时,,,…,,
累加可得,
,满足上式,即,
故的前50项和,即
.
故答案为:1300.
16.设,则__________.
【答案】
【分析】
根据题意求出,然后结合倒序相加即可求出结果.
【详解】
因为,
所以
,
设…………(1),
则…………(2),
(1)+(2)得,即,
故,
故答案为:.
17.数列的前项和为,且,且,则___________.
【答案】
【分析】
由求得,又可得,根据,求出,又因为,代入数据求解即可.
【详解】
由,又,得
故答案为:
18.在数列中,,且,则数列的前项和为__________.
【答案】
【分析】
将已知数列的递推关系式化简可得,通过累加法和等差数列的求和公式得出数列的通项公式,利用裂项相消法求和即可.
【详解】
,
,
即,
,
,
…
,
将以上各式累加,可得,
将代入,可得,
,
则,
数列的前项和为.
故答案为:.
19.已知数列,……,则该数列的前10项和为__________.
【答案】
【分析】
由题意得出此数列的通项公式,将通项公式化简,利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和,进一步就可以求前10项的和.
【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项,以1为公差的等差数列的前n项和,
由公式可得:,
求和得:.
所以前10项的和为:.
故答案为:.
20.已知数列满足且,数列的前项为,则不等式最小整数解为________.
【答案】5
【分析】
先由题意可得,,然后验证当n=1时也成立,从而求得an与2nan,再利用错位相减法求得Sn,代入不等式Sn≥30an中,求得满足题意的n即可.
【详解】
由可得:
两式相减得:,即
又a1=1,可得:1=a2﹣1,解得:a2=2,∴
∴
∴an=n,2nan=n•2n,
又Sn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n,
2Sn=1×22+2×23+…+(n﹣1)•2n+n•2n+1,
两式相减得:﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=
整理得:Sn=(n﹣1)•2n+1+2,
由Sn≥30an可得:(n﹣1)•2n+1+2≥30n,即
∵当n=1,2,3,4时,;当n=5时,,
∴满足不等式Sn≥30an最小整数解为5,
故答案为:5.
三、解答题
21.数列的前n项和为,若,点在直线上.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若数列满足,求数列的前n项和.
【答案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)将点代入整理可得,由等差数列的定义即可得出答案.
(2)根据与的关系求出,进而得出,再由错位相减法即可求解.
(1)
∵点在直线上,
∴同除以,则有:
数列是以3为首项,1为公差的等差数列.
(2)
由(1)可知,,
∴当时,,当时,
经检验,当时也成立,∴.
∵,
∵
∴
即
22.已知数列为等差数列,公差,且,,依次成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若,求的值.
【答案】
(1)
(2)
【分析】
(1)设公差为,根据等比中项的性质得到方程,求出,即可求出通项公式;
(2)由(1)可得,利用裂项相消法求出,再解方程即可;
(1)
解:设公差为 ,由,,依次成等比数列,可得,
即,解得,
则.
(2)
解:由(1)可得,
即有前项和为
解得.
23.在等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】
(1)
(2)
【分析】
(1)利用等差数列的性质及等差数列的通项公式即得;
(2)由题可得,再利用裂项相消法即得.
(1)
法1:因为,所以,因为,所以,
所以,所以公差,所以.
法2:设等差数列的公差为,联立得解得
所以.
(2)
由(1)知,
所以, ,
所以
.
24.已知数列满足,.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)若 ,求数列的前n项和.
在(①;②;③三个条件中选择一个补充在第(2)问中,并对其求解,如果多写按第一个计分)
【答案】
(1)证明见解析,
(2)答案不唯一,见解析
【分析】
(1)对递推公式两边同时取倒数,结合等差数列的定义进行运算证明即可;
(2)选①:运用裂项相消法进行求解即可;
选②:运用分类讨论方法进行求解即可;
选③:运用分组求和法,结合等差数列和等比数列前n项和公式进行求解即可.
(1)
显然,由,两边同时取倒数得:,
即,所以数列是公差为2的等差数列.故,即.
(2)
选①:,
由已知得,,
故数列的前项和,
选②:,
由已知得,,故数列的前项和,
当为偶数时,;当为奇数时,,故
选③:,
由已知得,,故数列的前项和
25.已知正项数列的前项和为,且,.数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
(1)根据与的关系以及等差数列的通项公式即可求解.
(2)由,利用叠加,裂项相消法即可证明.
(1)
∵,,
∴,∴,
当时,有,
∴,∴,
∵,∴
∴数列的奇数项是以1为首项,4为公差的等差数列,,
偶数项是以3为首项,4为公差的等差数列,
,
∴.
(2)
,所以得,
从而
,
从而可得
26.已知是等比数列,,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】
(1)
(2)
【分析】
(1)求得公比,由此求得数列的通项公式.
(2)利用分组求和法求得.
(1)
,,,,
,.
(2)
,
.
27.已知公差不为0的等差数列满足,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明.
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
(1)根据等比中项的性质结合等差数列通项公式,可得,根据,即可求得的值,代入公式,即可得答案.
(2)由(1)可得,代入可得,利用裂项相消求和法,即可得的表达式,即可得证.
(1)
因为成等比数列,
所以,则,
又,所以,
又,
所以,
所以.
(2)
由(1)可得,
所以,
所以数列的前项和为
.
28.已知数列满足,,.数列满足,,其中为数列是前n项和.
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,求数列的前n项和,并证明:.
【答案】
(1);
(2);证明见解析
【分析】
(1)根据递推公式,结合等比数列的定义可以求出数列的通项公式,再利用累和法可以求出数列的通项公式;
(2)利用错位相减法,结合的单调性证明即可.
(1)
由,可得,所以数列是首项为,公比为3的等比数列,所以,所以数列的通项公式为.因为,所以,所以
,所以数列的通项公式为.
(2)
由(1)可得,所以①,②,②-①得
,所以.
,,所以递增,所以,又当时,,所以.因此,.
29.已知数列的前项和为,,数列满足,.
(1)求数列、的通项公式;
(2)若数列满足,求证:.
【答案】
(1);
(2)证明见解析
【分析】
(1)利用与的关系可求出数列的通项公式;利用累加法可求出数列的通项公式;
(2)由(1)问结论求出,然后利用裂项相消求和法,求出的和即可证明原不等式.
(1)
解:由,得,
所以
又由,得,满足,所以,
而,所以,
所以;
(2)
证明:因为,
所以.
30.在各项均为正数的等比数列中,成等差数列.等差数列{}满足,.
(1)求数列{},{}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,证明:
【答案】(1),;(2)证明过程见解析.
【分析】
(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;
(2)用裂项相消法进行求解证明即可.
【详解】
(1)设各项均为正数的等比数列的公比为,等差数列{}的公差为,
因为成等差数列,所以,
因为,所以(舍去),
因此,,
由,
所以;
(2)因为,所以,
于是有,
因为,所以.
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1.已知数列满足,且,则该数列的前9项之和为( )
A.32B.43C.34D.35
【答案】C
【分析】
讨论为奇数、偶数的情况数列的性质,并写出对应通项公式,进而应用分组求和的方法求数列的前9项之和.
【详解】
,
当为奇数时,,则数列是常数列,;
当为偶数时,,则数列是以为首项,公差为的等差数列,
.
故选:C
2.数列满足,,数列的前项和为,则( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】
利用递推关系,确定数列是递增数列,把递推关系变形得出,便于用裂项相消法求得和,再由计算数列的前几项,最终得出,从而估计出的范围.
【详解】
因为,,所以,即,是递增数列,
,,,
所以,
,,,,
所以,,.
故选:B.
3.设为数列的前项和,,且.记为数列的前项和,若对任意,,则的最小值为( )
A.3B.C.2D.
【答案】B
【分析】
由已知得.再求得,从而有数列是以为首项,为公比的等比数列,由等比数列的通项公式求得,再利用分组求和的方法,以及等比数列求和公式求得,从而求得得答案.
【详解】
解:由,得,∴.
又由,得,又,∴.所以,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,则,
∴,
∴,
∴.
∴.
∵对任意,,∴的最小值为.
故选:B.
4.记数列的前项和为,若,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】
由题设中的递推关系可得,从而可求的通项,故可求.
【详解】
因为,故,而,
故,故为等比数列且为等比数列,公比均为.
而,故,.
所以,
故选:B.
5.数列是正项等比数列,满足,则数列的前项和( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
先根据递推关系求出通项公式,在代入,利用裂项相消法求和.
【详解】
数列是正项等比数列,公比设为,由,可得,,解得,,则.
则,则前项和.
故选:A.
6.数列满足,且(),则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
根据,利用累加法求得,进而得到,利用裂项相消法求解.
【详解】
∵,,…,,
∴,即,
∴,.
∵符合上式,
∴.
∴,
,
,
.
故选:A.
7.设数列满足,若,且数列的前 项和为,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】
先根据的递推关系求出的通项公式,代入的表达式中,求出的通项,即可求解的前 项和
【详解】
由可得,
∵, ∴,
则可得数列为常数列,即, ∴
∴,
∴.
故选: D
8.已知函数,数列满足,则数列的前2019项和为( )
A.B.1010C.D.1011
【答案】A
【分析】
根据函数结构特征,得到,再将该式子用于求和.
【详解】
因为,所以,
有.
记数列的前项和,又,所以
.
所以.
故选:A.
9.已知数列的前项和为,前项积为,且,.若,则数列的前项和为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
利用与关系可求得,并推导得到,由此可确定为等比数列,由等比数列通项公式可求得,利用可得,进而得到,利用裂项相消法可求得结果.
【详解】
,,即,
,又,.
,,
整理得:,又,,
数列是首项为,公比为的等比数列,,
,
,.
故选:A.
10.数列满足﹐若,则的前项和为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】
由,得,所以可得数列是等差数列,得数列的通项公式,再利用错位相减法求和.
【详解】
因为,所以,所以数列是公差为,首项为的等差数列,所以,所以,设的前项和为,所以①,②,①-②得,,得.
故选:C
11.已知等差数列的公差为2,前n项和为,且,,成等比数列.令,数列的前n项和为,若对于,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
根据,,成等比数列,所以,根据d=2,即可求得的值,即可求得,进而可得,利用裂项相消法即可求得的表达式,分析即可得答案.
【详解】
因为,,成等比数列,所以
所以,整理可得
解得,所以,
所以,
所以=,
因为对于,不等式恒成立,
所以,即,
所以.
故选:A
12.已知数列满足,设,且,则数列的首项的值为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】
由,可得,即,所以从而可得,得出答案.
【详解】
若存在,由,则可得或,
由可得,由可得
所以中恒有
由,可得
所以,即
所以
所以,即
所以,则,所以
故选:C
13.设为数列的前n项和,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】
由递推式求出数列的首项,当时分为偶数和奇数求出,代入后分组,然后利用等比数列的前项和公式求解.
【详解】
由,
当时,,得;
当时,,即.
当n为偶数时,,所以(为正奇数),
当n为奇数时,,所以(为正偶数),
所以,所以,
所以,所以.
因为.
故选:A
14.正项数列的前n项和为,且,设,则数列的前2020项的和为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】
先根据和项与通项关系得,再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,代入化简,最后利用分组求和法求结果.
【详解】
因为,所以当时,,解得,
当时,,
所以 ,
因为,所以,
所以数列是等差数列,公差为1,首项为1,
所以,
所以,
则数列的前2020项的和.
故选:C
第II卷(非选择题)
二、填空题
15.已知正项数列的前项和为,且.若,则数列的前2021项和为___________.
【答案】
【分析】
先根据,求出的通项公式,再结合的通项公式进行裂项相消法求和
【详解】
当时,,因为数列各项为正,所以.
当时,,所以,
所以,整理得.
因为,所以,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.
易知,,所以,
所以数列的前2021项和为
.
故答案为:
16.已知数列的各项均为正数,,,,数列的前项和为,若对任意正整数都成立,则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
先将因式分解,结合数列的各项均为正数,推导出是等比数列,求出数列的通项公式;将数列的通项公式代入中,得到数列的通项公式;将数列的通项公式裂项,求出数列的前项和为;然后判断的单调性,求出的取值范围,确定的取值范围,最后求出的取值范围.
【详解】
数列的各项均为正数 (舍去)
数列是以为首项,以为公比的等比数列.
数列的前项和为,
单调递增,单调递减单调递增,
又
的取值范围是
故答案为:
17.设为数列的前项和,满足,,其中,数列的前项和为,则___________.
【答案】
【分析】
由累乘法可求,然后利用裂项相消法即求.
【详解】
由,得,累乘,得
,
化简得,
,,
当时,成立,
,,
,
.
故答案为:.
18.已知正项数列满足且,令,则数列的前项的和等于___________.
【答案】
【分析】
首先由递推关系可得是等比数列,进而可得、的通项公式,再利用乘公比错位相减,分组求和即可求解.
【详解】
由可得,
因为,所以,即,
所以数列是以为首项,公比为的等比数列,
所以,
所以,
则的前项的和等于,
令,前项的和为,则
,
,
两式相减可得:
,
所以,
所以前项的和为,
故答案为:.
19.已知,记数列的前n项和为,且对于任意的,,则实数t 的最大值是________.
【答案】162
【分析】
将数列通项化为,裂项求和求得,又对于任意的,,分类参数t,得到关于n的表达式,借助基本不等式求得最值.
【详解】
由题知,,
则
,
又对于任意的,,
则,即,
由,当时等号成立,
则实数t 的最大值是162.
故答案为:162
20.数列且,若为数列的前项和,则__________.
【答案】
【分析】
由题意,当为奇数时,;当为偶数时,.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.
【详解】
解:数列且,
①当为奇数时,,
②当为偶数时,,,则偶数项和为,
所以
,
故答案为:.
21.用表示正整数所有因数中最大的那个奇数,例如:的因数有,,,则,的因数有,,,,则.计算________.
【答案】
【分析】
根据的定义得到,且当n为奇数时,,再令,再利用分组求和的方法,得到,然后利用累加法求解.
【详解】
由的定义得:,且当n为奇数时,,
设,
则,
,
,
,
即,
由累加法得:,
又,
所以,
所以,
故答案为:
22.已知数列满足,则___________;若,则数列的前项和___________.
【答案】
【分析】
由得出:
当时,,两边作差得
,即
【详解】
∵,①
∴当时,,②
①-②得,则.当时,由①得,不满足上式
∴,,
,又也满足上式,
∴.
故答案为:;.
23.已知数列的前n项和为,且满足,则______________.
【答案】
【分析】
由,推得,得到数列表示首项为,公比为的等比数列,求得和 ,进而得到,再结合等比数列求和公式,即可求解.
【详解】
由数列的前项和,且满足,
当时,,
两式相减,可得,即,
令,可得,解得,
所以数列表示首项为,公比为的等比数列,所以,
则,所以,
所以
.
故答案为:.
24.已知数列的前项和为,点在直线上.若,数列的前项和为,则满足的的最大值为________.
【答案】13
【分析】
由题设易得,即可求,进而得,讨论为奇数、偶数求,结合已知不等关系求的最大值即可.
【详解】
由题意知:,则,
当时,;当时,;而,
∴,,
∴,
∴,
当为奇数时,,
当为偶数时,,
∴要使,即或,解得且.
故答案为:13.
25.已知正项数列的前项和为,,且,设,则数列前项和的取值范围为_________.
【答案】
【分析】
根据之间关系可得数列为等差数列并得到,然后得到,根据裂项相消可得数列前项和,最后进行判断即可.
【详解】
由①,则②
②-①化简可得:,又,所以
当时,
所以符号,故数列是首项为1,公差为1的等差数列
所以,则
所以
令设数列前项和
所以
所以,
当为偶数时,,则且
当为奇数时,,则且
综上所述:
故答案为:
26.已知数列满足:,,(且),等比数列公比,令,则数列的前项和___________.
【答案】
【分析】
依据题意可得,然后依据公式可得,然后根据递推关系可得数列为等差数列,进一步得出,最后分组求和可得结果.
【详解】
解:因为,,(且),①
可得时,,即,
由等比数列的的公比为,
即,解得,
所以,
当时,,即,
解得,
又(且),②
①﹣②可得,,
即,化为,
又,
所以数列为等差数列,且公差,
则,
所以,
所以
.
故答案为:.
27.已知数列与前n项和分别为,,且,,则________.
【答案】
【分析】
由递推关系求得数列的通项公式,代入,根据裂项求和的办法求得.
【详解】
因为,所以当时,,
两式相减得:,
整理得,,
由知,,
从而,
即当时,,
当时,,解得或0(舍),
则首项为1,公差为1的等差数列,
则.
所以,
则.
∴.
故答案为:.
三、解答题
28.数列中,为的前项和,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】
(1)
(2)
【分析】
(1)由与的关系可得为等差数列,再由等差数列的通项公式即可求解;
(2)由裂项相消法求解即可
(1)
当,则,所以,
当时,
得:,
,
整理得,
所以为等差数列,
,
;
(2)
29.已知各项均为正数的无穷数列的前项和为,且,.
(1)证明数列是等差数列,并求出的通项公式;
(2)若数列满足,.设数列满足,证明:.
【答案】
(1)证明见解析,
(2)证明见解析
【分析】
(1)由递推关系构造等差数列,求出通项后得,由求即可;
(2)由递推关系构造等比数列,求出,对裂项后,利用相加相消求和即可得证.
(1)
因为,
所以
因为,
所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,
因此
即,
当时,,
又符合上式,故,
所以,
即是等差数列.
(2)
由,得
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
,
即.
,
裂项得
30.已知等差数列的前项和为,数列是各项均为正数的等比数列,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)在①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.
问题:已知,___________,是否存在正整数,使得数列的前项和?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
【答案】
(1)
(2)答案见解析
【分析】
(1)根据给定条件求出等比数列的公比即可得解.
(2)根据选择的条件计算出等差数列的公差及前项和为,再用裂项相消法求出即可列式计算作答.
(1)
设等比数列的公比为,由得:,,又,
因此有,即,解得,(舍去),则,
所以数列的通项公式.
(2)
若选①:设等差数列公差为d,则,,解得,
于是得:,,
则有,
由,解得,而为正整数,则的最小值为,
所以存在正整数满足要求,的最小值为.
若选②:设等差数列公差为d,则,,解得,
于是得,,
则有,
由,解得,而为正整数,则的最小值为,
所以存在正整数满足要求,的最小值为.
若选③:设等差数列公差为d,则,,解得,
于是得:,,
,
令,得,显然数列()是递减的,
当时,,当时,,
即由得,则的最小值为
所以存在正整数满足要求,的最小值为.
31.在①,;②公差为2,且,,成等比数列;③;三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.
问题:已知数列为公差不为零的等差数列,其前项和为,______.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,其中表示不超过x的最大整数,求的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】
(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
选①
(1)由等差数列的前项和公式列方程组解得和后可得通项公式;
(2)根据定义求出,然后求和.
选②
(1)由等差数列的前项和公式结合等比数列性质求得后可得通项公式;
(2)根据定义求出,然后求和.
选③
(1)利用和求得通项公式;
(2)根据定义求出,然后求和.
(1)
选①:设的公差为d,则
由已知可得,解得,
故的通项公式为
选②:因为,,,
由题意得,解得,
所以的通项公式为
选③:当时,
当时,,符合
所以的通项公式为
(2)
选①
由知,,
所以
选②
由知
所以
选③
由知
所以
32.在①②这两组条件中任选一组,补充在下面横线处,并解答下列问题.
已知数列的前项和是数列的前项和是,__________.
(1)求数列的通项公式;
(2)设证明:
【答案】
(1)答案不唯一,具体见解析
(2)证明见解析
【分析】
(1)选条件①:由,,可得,根据等比数列通项公式即可求解;选条件②:由,,可得
,利用迭代法可求,借助已知条件可得;
(2)选条件①:利用错位相减求和法求和后即可证明;选条件②:利用裂项相消求和法求和后即可证明.
(1)
解:选条件①:由,可得,
两式相减可得,所以,
在中,令,可得,所以,
所以是以为首项,公比为的等比数列,,
故数列的通项公式为,数列的通项公式为;
选条件②:由,可得
两式相减可得,即,
所以,
在中,令,可得,所以,
所以由,,,
所以,从而有,
所以,,
故数列的通项公式为,数列的通项公式为.
(2)
证明:选条件①:由(1)知,
设,
,
两式相减可得
所以,即;
选条件②:由(1)知,
所以.
33.在①;②;③,,成等差数列这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
问题:数列是各项均为正数的等比数列,前n项和为,且______.
(1)求数列的通项公式;
(2),求数列的前n项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】
(1)条件选择见解析,
(2)
【分析】
(1)选①,利用及得出数列的递推关系求得公比,从而得通项公式;
选②,利用基本量法求得公比后可得通项公式;
选③,利用基本量法及及等差数列的性质求得公比后可得通项公式;
(2)求出,然后分类讨论,分组求和.
(1)
设等比数列的公比为.
选①
当时,,∴,
∴,∴,又∵,∴.
选②
∵,,∴,∵解得,∴.
选③
由题意得,
∴,∴,即,∵,∴,
∴;
(2)
,
当n为偶数时,
,
当n为奇数时,
,
综上,.
34.已知数列中,,.
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;
(2)数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围.
【答案】
(1)证明见解析,
(2)
【分析】
(1)依题意可得,即可得到是以为首项,为公比的等比数列,从而求出的通项公式,即可求出的通项公式;
(2)依题意可得,再利用错位相减法求出,则,再根据指数函数的性质对分奇偶两种情况讨论,即可求出参数的取值范围;
(1)
解:因为,,所以,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以
(2)
解:因为,所以,
所以
两式相减得,
所以,所以.
令,易知单调递增,
若为偶数,则,所以;
若为奇数,则,所以,所以.
所以.
35.已知为等比数列,,记数列满足,且.
(1)求和的通项公式;
(2)对任意的正整数,设,求的前项的和.
【答案】
(1),
(2)答案见解析
【分析】
(1)由数列与的关系判断,再根据对数运算和所给条件算出公比和首项,的通项公式可得,再根据与的关系可得的通项公式,
(2)写出,根据的奇偶分类讨论.
(1)
设等比数列的公比为,对任意的,则,则,所以,
因为,可得,
因为,则,∴,
所以,;
(2)
为偶数时,
为奇数时,
36.设正项数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,若数列的前项和为,证明:.
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
(1)利用时,得出的递推关系式,确定是等差数列,从而得通项公式;
(2)用裂项相消法求得和后根据的单调性证明不等式.
(1)
解:由题意得,
当时,,解得或,因为,所以.
当时,,,
两式相减,得,整理得,
因为,所以,,,
故数列是以为首项,为公差的等差数列,所以.
(2)
证明:因为,所以
则
,
因为,所以,又,所以单调递增,
所以,所以.
37.已知数列的前项和为.若,且
(1)求;
(2)设,记数列的前项和为.证明:.
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
(1)由题意得,从而得到数列是以为首项、为公差的等差数列,即可得到答案;
(2)求得数列的通项公式,再利用裂项相消法求和,结合不等式的放缩法,即可得到答案;
(1)
因为数列的前项和为,所以由可得
又因为,所以,
因此,数列是以为首项、为公差的等差数列,所以.
(2)
因为
而,所以
所以数列的前项和为
故,命题得证.
38.已知等差数列的前n项和为,且.
(1)求的通项公式以及;
(2)求使不等式成立的最小值n.
【答案】
(1),;
(2)5
【分析】
(1)由已知条件求等差数列的基本量,进而写出等差数列通项公式及前n项和公式.
(2)应用裂项相消法求,根据不等式求n的范围,即可知n的最小值.
(1)
在等差数列中,,
∴,又,
∴,易知:,
∴,
∴.
(2)
,
∴整理有,解得或,又n为正整数,
∴,则n的最小值为5.
39.设数列前项和为,,().
(1)求出通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】
(1)
(2)
【分析】
(1)根据与的关系,转化为,构造等比数列求出即可得解;
(2)分n为奇数偶数,分别利用相加相消求奇数项和,利用错位相减法求偶数项的前n项和,相加即可求出前2n的和.
(1)
由,得,
即,
所以.
因为,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,即.
所以当时,,
又当时,满足上式,
故.
(2)
当为奇数时,有,
设数列的前项中奇数项的和为,
所以
当为偶数时,有,
设数列的前项中的偶数项的和为,
所以,
所以,
上述两式相减,得
所以.
故数列的前和.
40.设数列的前项和为,已知.
(1)求通项公式;
(2)对任意的正整数,设 ,求数列的前项和.
【答案】
(1)
(2)
【分析】
(1)采用作差法,并验证是否满足通项;
(2)分为奇数和偶数进行分类讨论,结合分组求和法,奇数项结合裂项法求和,偶数项采用错位相减法,即可得出答案.
(1)
因为①,所以②,①-②得,即,又,当时,,故,也满足,所以;
(2)当时,,
即时,,
奇数项作和可得:;
当时,,
即,偶数项作和得③,
④,
③-④可得:,
即,
化简得,
故的前项和为:.
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1.已知数列满足,,(),则数列的前2017项的和为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】
根据给定条件求出与的通项,进而求得即可求出数列的前2017项的和.
【详解】
在数列中,,,,,
则有,即,而,
于是得
,
因此,,
则
,
数列的前2017项的和为.
故选:D
2.已知数列满足,其前项和,数列满足,其前项和为,若对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】
利用与关系可证得为等差数列,由此可求得,将进行裂项后,前后相消可求得,将问题转化为;令,可证得为递增数列,由此得到.
【详解】
当时,,解得:或,又,;
当时,由得:,
,整理可得:,
,,即,
是以为首项,为公差的等差数列,;
经检验:满足;
综上所述:,
,
,
由得:,
令,则,
为递增数列,,,即实数的取值范围为.
故选:A.
3.已知等比数列满足,,若,是数列的前项和,对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】
本题首先可根据、得出,然后根据得出,再然后根据错位相减法求出,最后根据题意得出对任意不等式恒成立,根据即可得出结果.
【详解】
设等比数列的公比为,
因为,,所以,解得,,,
因为,所以,,
则,,
,
对任意不等式恒成立,即对任意不等式恒成立,
因为,所以,的取值范围为.
故选:C.
4.设为不超过x的最大整数,为可能取到所有值的个数,是数列前n项的和,则下列结论正确个数的有
(1)
(2)是数列中的项
(3)
(4)当时,取最小值
A.1个B.2个C.3个D.4
【答案】C
【分析】
先求得的结果,归纳推理得到个数的表达,即的值,由此对四个结论逐一分析,从而得出正确选项.
【详解】
当时,,故.
当时,,,,,故.
当时,,,,故,共有个数,即,故(1)结论正确.
以此类推,当,时,
,,
故可以取的个数为,即,
当时上式也符合,所以;
令,得,没有整数解,故(2)错误.
,
所以,
故,所以(3)判断正确.
,,当时,当时,故当时取得最小值,故(4)正确.综上所述,正确的有三个,故选C.
5.设数列的前项积,记,求的取值范围是( ).
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】
先由求出,再当时,由得,两式左右两边相除得,,得到数列是以为首项,1为公差的等差数列,从而求出,,令,再判断数列是递增数列,从而可求出的范围
【详解】
解:令,则,得,
当时,因为,所以,
所以,即,,
所以,
所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以,所以,
所以,
令,
所以
,
所以数列是递增数列,
,
因为
所以
,
所以,
综上,,
故选:D
6.已知数列的前项和,,且,若,(其中),则的最小值是( )
A.B.4C.D.2018
【答案】B
【分析】
由,可得,,以上各式相加得可求得,结合,根据均值不等式,即可求得答案.
【详解】
,,
以上各式相加得,,
,
又,
,
即,
又,
,
当且仅当时等号成立,
故选:B.
7.数列满足,(且),数列为递增数列,数列为递减数列,且,则().
A.B.C.4851D.4950
【答案】D
【分析】
由数列为递增数列,得到,进而得出,又由数列为递减数列,得到,得到,
得出当为奇数且时,,当为偶数时,,即可求解.
【详解】
因为数列为递增数列,所以,即,
则,
由题意,
则由得,,
因为数列为递减数列,所以,即,
则,
由题意得,,
由,可得,,
又,即,所以当为奇数且时,;
当为偶数时,.
所以.
故选:D.
8.已知数列中,,若,设,若,则正整数的最大值为( )
A.1009B.1010C.2019D.2020
【答案】B
【分析】
由可得,则.再结合,可化简,
从而可以求出正整数的最大值.
【详解】
,
∴,∴,即数列为单调增数列,
,即,
,
,
,即,
正整数的最大值为1010,
故选:B.
9.已知数列满足…,设数列满足:,数列的前项和为,若恒成立,则的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】
先求出的通项,再求出的通项,从而可求,利用参变分离可求的取值范围.
【详解】
因为…,
所以…,
故即,其中.
而令,则,故,.
,
故
,
故恒成立等价于即恒成立,
化简得到,因为,故.
故选D.
10.艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列:满足,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数()有两个零点,,数列为牛顿数列,设,已知,,的前项和为,则等于
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】
函数有两个零点1,2,,,则由题意,,,且,
,数列是以1为首项,以2为公比的等比数列,则,.
故选C
11.已知是函数的极值点,数列满足,,记,若表示不超过的最大整数,则( )
A.2017B.2018C.2019D.2020
【答案】A
【详解】
由题意可得,
∵是函数的极值点,
∴,
即.
∴,
∴,,,,,
以上各式累加可得.
∴.
∴=
===.
∴.选A.
12.设表示不超过的最大整数,已知数列中,,且,若,则整数
A.99B.100C.101D.102
【答案】C
【分析】
由可得,从而,而 ,从而,由此可解出n的值.
【详解】
因为,
所以,故数列是递增数列,且,
又由可得,即,
而 ,从而,
所以[],
又,
所以[],,故选C.
第II卷(非选择题)
二、填空题
13.已知数列满足:,,(且),等比数列公比,则数列的前项和___________.
【答案】
【分析】
由递推关系可得,解方程即可求出,代入递推关系式可得,证明数列为等差数列,即可求解,根据错位相减法求和即可.
【详解】
因为,,(且),①
当时,,即,
由等比数列的的公比为,
即,解得,
所以,
当时,,即,
解得,
又(,且),②
①-②可得,,
即,化为,
又,
所以为等差数列,且公差,
则,
所以
,
,
上面两式相减可得
,
所以.
故答案为:.
14.各项均为正数的等比数列,满足,且,,成等差数列,数列满足,数列的前项和,则______.
【答案】
【分析】
根据条件可得,得,进而得设,由和与项的关系可得,再由累加计算,利用错位相减即可得解.
【详解】
各项均为正数的等比数列,设公比为,
由,可得,即,得,
,,成等差数列,所以,
即,得.
所以.
设,
则.时,满足.
所以.
所以.
所以,
,
,
……
,
累加得:.
记,
则,
两式作差得:
,
所以,即,因为
所以,所以.
故答案为:.
15.已知公差不为零的等差数列的前项和为,且满足,,成等比数列,,数列满足,前项和为,则_________.
【答案】
【分析】
先根据条件求解出的通项公式,然后采用裂项相消的方法分奇偶进行求和,由此可求解出,则可求.
【详解】
设的公差为().由题意,,即,
又,即,
联立解得,,所以.
所以
当为奇数时,,
当为偶数时,.
所以.
故答案为:.
16.已知是等差数列的前项和,若,设,则数列的前项和取最大值时的值为______________
【答案】2019
【分析】
设等差数列的公差为,运用等差数列的性质,可得数列的公差,且,,,,,,求得,计算可得,分析比较,即可得到所求最大值时的值.
【详解】
解:等差数列的公差设为,若,
则,,所以公差,,
即,,即,可得,
即数列递减,且,,,,,,
,
则
,
由,要使取最大值,可得取得最小值,
显然,而,
可得时,取得最小值,
故答案为:.
17.已知数列的前n项和为,数列的前n项和为,满足,,且.若对,恒成立,则实数的最小值为____________.
【答案】
【分析】
当时,解得,当时,由化简得,利用累乘法求得,进而得,利用裂项求和法得,因此利用对,恒成立即可求解.
【详解】
解析:当时,,解得.
当时,由,得.
依据叠乘法(累乘法)可得.
由,得,
于是
.
由于对,恒成立,,
故实数的最小值为.
故答案为:
18.已知函数若对于正数,直线与函数的图象恰有个不同的交点,则数列的前n项和为________.
【答案】
【分析】
根据函数的性质和周期得到函数图象,根据图象知,直线与第个半圆相切,则,再利用裂项相消法求和得到答案.
【详解】
当时,,即,;
当时,函数周期为,画出函数图象,如图所示:
与函数恰有个不同的交点,
根据图象知,直线与第个半圆相切,故,
故,
数列的前n项和为.
故答案为:.
19.数列满足,,则的整数部分是___________.
【答案】1
【分析】
由,结合裂项法求出,可得.再由,判断,求出,即可求得的整数部分.
【详解】
由,
可得,
两边取倒数,得,
,
.
.
又,
若,则与矛盾,
,
又,,
当时,,
,,
,
故的整数部分是.
故答案为:1.
20.设表示正整数n的个位数字,记,M是的前4038项的和,函数,若函数满足,则数列的前2020项的和为________.
【答案】
【分析】
先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期,由周期可求得,又,
,可得,
进一步求得,利用裂项相消法可求得结果.
【详解】
n的个位数为1时有:,
n的个位数为2时有:,
n的个位数为3时有:,
n的个位数为4时有:,
n的个位数为5时有:,
每5个一循环,这10个数的和为:0,
余3,余下三个数为:,,,
数列的前4038项和等于:,
即有,
又,
,可得,
即,
则,即有,
则数列的前2020项和为,
,
则数列的前2020项和为.
故答案为:.
21.已知正项数列满足,,则数列的前项和为___________.
【答案】
【分析】
由已知表达式因式分解得到数列的递推式,再运用累乘的方法求得通项公式,再将通项公式裂项,利用裂项相消求和得解.
【详解】
由已知得
所以又因为
所以
所以
所以
;
累乘得
所以
所以=
所以
累加求和得
故答案为
22.已知数列满足,则数列的前项和为___________.
【答案】
【分析】
由可得,可得出通项公式,即,由,可求数列前n项和.
【详解】
由,得,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,
于是,
所以,
因为,
所以的前项和
.
23.设是数列的前项和,若,则_____.
【答案】
【分析】
运用数列的递推式,讨论为奇数或偶数,结合等比数列的求和公式,即可得到所求和.
【详解】
解:,
当时,,解得,
时,,
可得,
当为偶数时,,即有;
当为奇数()时,,
可得 ,
即有
.
故答案为.
24.在各项均为正数的等比数列中,,当取最小值时,则数列的前项和为__________.
【答案】
【分析】
根据等比数列通项公式及,则;求导函数,令导函数等于0,可求得当取最小值时q的值,进而求得的值,得到通项公式,代入数列可得;结合错位相减法可求得前n项和.
【详解】
等比数列中,,所以
,令
则,令
解得 ,因为各项均为正数的等比数列
所以
当时,
当时,
所以在时取得最小值
设,代入化简可得
所以
两式相减得
三、解答题
25.已知等比数列的各项均为正数,成等差数列,且满足,数列的前n项和,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
【答案】
(1)();()
(2)()
【分析】
(1)设等比数列公比q,由给定条件求出q及a1即可得的通项;
由结合“当时,”即可得的通项.
(2)利用(1)的结论分类讨论,借助分组求和方法及等差等比数列求和公式即可计算得解.
(1)
设正项等比数列公比q,因成等差数列,则,即,
,而,解得,又,即,,解得,
所以数列的通项公式是,;
,数列的前n项和,当时,,
整理得:,于是得数列是常数数列,则,得,
所以数列的通项公式是,.
(2)
由(1)知,,
当n为偶数时,
,
当n为奇数时,,
所以数列的前n项和().
26.已知数列是正项等差数列,,且.数列满足,数列前项和记为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,其前项和记为,试比较与的大小.
【答案】
(1)
(2),过程见解析
【分析】
(1)将分母有理化,然后利用求和公式求出,再结合即可求出数列的通项公式;
(2)由(1)的结果求出,再由裂项相消法求出,然后利用作差法即可比较大小.
(1)
解:设数列的公差为,
,
,
,可得
又,
.
(2)
解:由(1)可得,
不妨记,则
,
.
27.已知正项数列的首项,其前项和为,且.数列满足:(b1+ b2.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,证明:.
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】
(1)根据题意得到和,两式相减得,解得答案.
(2)计算,,放缩和,利用裂项相消法计算得到证明.
(1)
由得,两式相减得,
由,得,数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列,
当为奇数时,,当为偶数时,.
综上所述.
(2)
由,,,,
两式相减得,,验证成立,故.
则,
那么,
故,
同理
,
故
,得证.
28.已知等比数列的各项均为正数,,,成等差数列,且满足,数列的前项之积为,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(3)设,若数列的前项和,证明:.
【答案】(1),(2)(3)证明见解析
【分析】
(1)设等比数列的公比为,根据条件求出首项及可得,由代入可得为等差数列即可求解;
(2)由(1)可知,利用错位相减法求和即可求解;
(3)由(1)可知,利用裂项相消法求和后根据单调性及有界性即可得证.
【详解】
(1)设等比数列的公比为,
,,成等差数列,
,,
化为:,,解得.
又满足,, 即,解得.
,
数列的前项之积为,
,
,
即,
是以2为公差的等差数列.
又,即,
所以
(2),
,
,
两式相减得,
,
(3)
所以数列的前项和,
又,是单调递增,
所以.
29.已知函数.
(1)若,求a的值;
(2)证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【分析】
(1)求出,结合,根据分类讨论函数的单调性,即可解出;
(2)由(1)知,结合要证不等式,可由得,所以,再利用不等式放缩,即可由裂项相消求和法证出.
【详解】
(1)因为,,则,且,
当时,,在上单调增,所以时,,不满足题意;
当时,
当时,,则在上单调递减;
当时,,则在上单调递增.
①若,在上单调递增,当时矛盾
②若,在上单调递减,当时矛盾
③若,在上单调递减,在上单调递增
满足题意,综上所述.
(2)证明:由(1)知,又,,
,时,令,得,,
∴结论成立.
30.已知数列的前项和为,,数列满足,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设数列满足:,,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1),;(2).
【分析】
(1)由,利用数列通项与前n项和的关系求得;再由求解;
(2)由,利用错位相减法求得, 由,利用累加法得到,从而求得,然后由恒成立求解.
【详解】
(1)当时,,∴,
当时,由得
,即,
∴数列是公差为2的等差数列,
∵,∴.
由条件得,,
∴,即数列是公比为2的等比数列,
∴.
(2),设数列的前项和为,则,
∴,
∴,
,
∴,
由得,
累加得,
即,
∴,
∴,
令,则,
∴,
∴,
∴.
相关试卷
这是一份新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题13数列的性质必刷小题100题(原卷版+解析),共88页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题等内容,欢迎下载使用。
这是一份新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题12平面向量综合必刷100题(原卷版+解析),共125页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题08基本不等式综合必刷100题(原卷版+解析),共82页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。