新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题15数列构造求解析式必刷100题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题15数列构造求解析式必刷100题(原卷版+解析)，共89页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．数列中，，，则（ ）
A．32B．62C．63D．64
2．在数列中，，且，则的通项为（ ）
A．B．
C．D．
3．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是（ ）
A．4B．4
C．4D．4
4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（ ）
A．5－3nB．3·2n－1－1
C．5－3n2D．5·2n－1－3
5．已知数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足：，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知数列满足递推关系，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列满足：，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
11．数列满足，且，若，则的最小值为
A．3B．4C．5D．6
12．已知数列满足，，则满足不等式的（为正整数）的值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
13．在数列中，，，若，则的最小值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
14．已知数列满足，且，则的第项为（ ）
A．B．C．D．
15．数列中，若，，则该数列的通项（ ）
A．B．C．D．
16．已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（ ）.
A．115B．118C．120D．128
第II卷（非选择题）
二、填空题
17．已知数列满足，则__________．
18．已知数列的各项均为正数，且，则数列的通项公式______．
19．已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
20．若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
21．若数列满足，，，且，则______．
22．数列的前项和为，已知，，则___．
23．在数列中，，，，则________.
三、解答题
24．已知数列满足，.
（1）若数列满足，求证：是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
25．已知数列的前项和为，且，数列满足，．求数列，的通项公式；
26．已知数列中，，．求数列的通项公式；
27．已知列满足，且，．
（1）设，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
28．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）已知，，设___________，求数列的通项公式.
在①，②，③，这3个条件中，任选一个解答上述问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.
29．设数列满足，且，.
（1）求，的值；
（2）已知数列的通项公式是：，，中的一个，判断的通项公式，并求数列的前项和.
30．已知数列满足，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求的最小值.
任务二:中立模式(中档)1-50题
一、单选题
1．已知数列满足，记数列前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A．64B．80C．D．
6．已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，，若，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（ ）．
①；
②数列是等比数列；
③数列是等比数列；
④．
A．1B．2C．3D．4
9．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
10．已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列，，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
14．数列满足，那么的值为（ ）．
A．4B．12C．18D．32
15．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
16．若数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A．1980B．2000C．2020D．2021
17．设数列的前项和为，且，（），则的最小值为
A．B．C．D．
18．已知数列的首项，则（ ）
A．7268B．5068C．6398D．4028
19．已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
20．如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.
22．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．
23．已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
24．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．
25．已知数列中，，设，求数列的通项公式________．
26．已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
27．若数列满足，，则数列的通项公式________.
28．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________.
29．在数列中，，且，则______.(用含的式子表示)
30．若数列满足，且，则________.
31．在数列中，，，是数列的前项和，则为___________.
32．若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______.
33．已知数列满足，，则________.
34．已知数列{an}满足（n∈N*），且a2=6，则{an}的通项公式为_____.
35．设数列满足，，，，则______.
36．已知数列满足，，若，则数列的首项的取值范围为___________.
37．数列满足，（，），则______.
38．已知数列满足，，则通项公式_______.
39．数列满足：，，，令，数列的前项和为，则__________．
40．数列满足,记,则数列的前项和________．
三、解答题
41．已知在数列中，，且.
（1）求，，并证明数列是等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）求的值.
42．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.
43．设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的公差；
（2）数列满足，且，求数列的通项公式．
44．已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
45．数列，的每一项都是正数，，，且，，成等差数列，，，成等比数列．
（1）求数列，的值．
（2）求数列，的通项公式．
（3）记，记的前n项和为，证明对于正整数n都有成立．
46．已知数列满足，其中.
（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值.
47．已知数列的前n项和为，满足.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
48．已知数列{an}满足a1＝，Sn是{an}的前n项和，点(2Sn＋an，Sn＋1)在的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若cn＝n，Tn为cn的前n项和，n∈N*，求Tn.
49．已知数列{an}满足a1a2…an＝1an．
（1）求证数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，证明：b1+b2+…+bn＜．
50．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设是数列的前项和，证明．
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．数列满足，，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ）
A．174B．672C．1494D．5904
3．已知数列，满足.若，的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．已知数列由首项及递推关系确定.若为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．为数列的前n项和，，对任意大于2的正整数，有恒成立，则使得成立的正整数的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
6．数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
8．数列满足，，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．数列满足，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
10．已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
12．已知数列满足，则________
13．设是函数的极值点，数列满足，若表示不超过的最大整数，则__________．
14．已知数列中的分别为直线在轴、轴上的截距，且，则数列的通项公式为_____________．
15．已知数列的前项和满足：，则为__________．
三、解答题
16．已知数列满足：，，数列满足：，，求证：．
17．(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
18．设二次函数满足：（i）的解集为；（ii）对任意都有成立.数列满足：，，.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）求证：
19．已知数列的前项和满足，，证明：对任意的整数，有.
20．已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列，满足.
（i）求数列的前项和；
（ii）若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
专题15 数列构造求解析式必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．数列中，，，则（ ）
A．32B．62C．63D．64
【答案】C
【分析】
把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】
数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
2．在数列中，，且，则的通项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解：∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．
故选：A
3．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是（ ）
A．4B．4
C．4D．4
【答案】D
【分析】
首先证得{nan－(n－1)an－1}为常数列，得到，进而证得数列是以1为首项，5为公差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.
【详解】
因为2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，
所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan
故数列{nan－(n－1)an－1}为常数列，且，
所以，即，
因此数列是以1为首项，5为公差的等差数列，
所以，因此
所以a20＝.
故选：D．
4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（ ）
A．5－3nB．3·2n－1－1
C．5－3n2D．5·2n－1－3
【答案】D
【分析】
用构造法求通项.
【详解】
设，则，
因为an＋1＝2an＋3，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
，所以
故选：D
5．已知数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
对两边取倒数后，可以判断是首项为1，公差为的等差数列，即可求得.
【详解】
由数列满足：，
两边取倒数得：，即，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以
故选:D
6．已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，由等差数列的性质及通项可得，即可得解.
【详解】
令，则，，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以.
故选：D.
7．已知数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由已知得出数列是等比数列，然后可利用数列的奇数项仍然为等比数列，求得和．
【详解】
因为，所以，又，
所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，
则数列也是等比数列，公比为，首项为3．
所以．
故选：A．
8．已知数列满足：，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知关系求得数列是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．
【详解】
由题意，
由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，
所以．
故选：C．
9．已知数列满足递推关系，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由递推式可得数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果.
【详解】
因为，所以，，
即数列是以2为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
故选：D.
10．已知数列满足：，，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
取倒数，可得是以为首项，为公比的等比数列，由此可得结论.
【详解】
∵
∴，
∴ ，
∵
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴.
故选：B.
11．数列满足，且，若，则的最小值为
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】
依题意，得，可判断出数列{2nan}为公差是1的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为2，从而可得an=，继而可得答案．
【详解】
∵，即，
∴数列{2nan}为公差是1的等差数列，
又a1=1，
∴21a1=2，即其首项为2，
∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，
∴an=．
∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，
∴若，则n的最小值为5，
故选C．
12．已知数列满足，，则满足不等式的（为正整数）的值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】
先求得的通项公式，然后解不等式求得的值.
【详解】
依题意， ，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
由得，
即，
即，
，
而在上递减，
所以由可知.
故选：D
13．在数列中，，，若，则的最小值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】
根据递推关系可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，即求.
【详解】
因为，所以，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
则，即.
因为，所以，所以，所以.
故选：C
14．已知数列满足，且，则的第项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
在等式两边取倒数，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得.
【详解】
当且，在等式两边取倒数得，
，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
因此，.
故选：A.
15．数列中，若，，则该数列的通项（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
据递推关系式可得， 利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
因为，
所以，
即数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
故，
故选：A
16．已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（ ）.
A．115B．118C．120D．128
【答案】C
【分析】
由题干条件求得，得到，构造等比数列可得数列的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列前6项的和.
【详解】
，则，
可得，
可化为，
有，得，
则数列前6项的和为.
故选：C
第II卷（非选择题）
二、填空题
17．已知数列满足，则__________．
【答案】
【分析】
先判断出是首项为2，公比为3的等比数列，即可得到，从而求出.
【详解】
因为，
所以，
由，所以为首项为2，公比为3的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：
18．已知数列的各项均为正数，且，则数列的通项公式______．
【答案】
【分析】
因式分解可得，结合，即得解
【详解】
由，
得．
又，所以数列的通项公式．
故答案为：
19．已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
【答案】
【分析】
利用条件构造数列，可得数列为等差数列即求.
【详解】
∵，
∴，
即．又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．
故答案为：.
20．若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
【答案】
【分析】
根据给定条件将原等式变形成，再利用构造成基本数列的方法求解即得.
【详解】
在正项数列中，，则有，
于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列的通项公式是.
故答案为：
21．若数列满足，，，且，则______．
【答案】15
【分析】
根据题意整理可得，所以为常数列，令即可得解.
【详解】
由可得，
两边同除可得，
故数列为常数列，
所以，
所以，解得.
故答案为：15
22．数列的前项和为，已知，，则___．
【答案】
【分析】
由给定条件借助消去，求出即可得解.
【详解】
因，，而，则，
于是得，又，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
从而有，即，，
时，，而满足上式，
所以，.
故答案为：
23．在数列中，，，，则________.
【答案】460
【分析】
由已知可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，由此可求出的通项公式，得出所求.
【详解】
，
，即,
所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，
.
故答案为：460.
三、解答题
24．已知数列满足，.
（1）若数列满足，求证：是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由递推公式可得，即，即可得证；
（2）由（1）可得，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得；
（1）
解：因为，所以，又，，所以，即，，所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）
解：由（1）可得，即，所以
所以
25．已知数列的前项和为，且，数列满足，．求数列，的通项公式；
【答案】，
【分析】
利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；
【详解】
解：数列的前项和为，且，
当时，．
当时，，显然也适合上式．
所以；
因为数列满足，．
所以，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
故，
所以.
26．已知数列中，，．求数列的通项公式；
【答案】
【分析】
首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
【详解】
解：因为，
所以令，则，解得，
对两边同时除以，得，
又因为，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以；
27．已知列满足，且，．
（1）设，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据题设递推式得，根据等差数列的定义，结论得证.
（2）由（1）直接写出通项公式即可.
【详解】
（1）由题设知：，且，
∴是首项、公差均为1的等差数列，又，则数列为等差数列，得证.
（2）由（1）知：.
28．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）已知，，设___________，求数列的通项公式.
在①，②，③，这3个条件中，任选一个解答上述问题.
注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】
（1）根据等差数列的性质可求，从而可求的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得，从而可得为常数列，据此可求的通项，从而可求相应的的通项公式.
【详解】
（1）因为为等差数列，故，故，
而，故即，所以等差数列的公差为1，
所以.
（2）因此，故，
所以，所以为常数列，
所以，所以，
若选①，则；
若选②，则；
若选③，则.
29．设数列满足，且，.
（1）求，的值；
（2）已知数列的通项公式是：，，中的一个，判断的通项公式，并求数列的前项和.
【答案】（1），；（2），.
【分析】
（1）由递推公式得，结合已知是首项为3，公比为3的等比数列，写出的通项公式，进而求，的值；
（2）由（1）得，再应用分组求和及等差、等比前n项和公式求.
【详解】
（1）∵，即且，
∴是首项为3，公比为3的等比数列，即，
∴，则，.
（2）设，由（1）知，又.
∴，
.
30．已知数列满足，，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）构造，结合已知条件可知是首项为2，公差为4的等差数列，写出通项公式，再应用累加法有，即可求的通项公式；
（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且数列单调递增，即可求其最小值.
【详解】
（1）令，则，而，
∴是首项为2，公差为4的等差数列，即，
∴，又，
∴.
（2）由题设，，，
∴，当且仅当时等号成立，故且在上单调递增，又，
∴当时，的最小值.
任务二:中立模式(中档)1-50题
一、单选题
1．已知数列满足，记数列前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由可得，利用累加法可求得，求得的范围，从而可得的范围，从而可得出答案.
【详解】
解：由可得，
化简得，
累加求和得，
化简得，
因为，所以，
即，．
，
，
所以，
即．
故选：B.
2．已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将递推关系式整理为，可知数列为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得，从而得到的通项公式；根据数列的单调性可采用分离变量法得到，结合导数的知识可求得，由此可得结果.
【详解】
由得：．
，即，
是公差为的等差数列．，，，．
是递减数列，，，即，
即．只需，
令，
，
在上单调递增，在上单调递减．
又，，当时，，
即，，即实数的取值范围是．
故选：B．
3．已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
4．设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根据的递推关系求出的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，即可求解的前 项和
【详解】
由可得,
∵, ∴,
则可得数列为常数列，即, ∴
∴,
∴.
故选: D
5．数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A．64B．80C．D．
【答案】C
【分析】
由已知可得，即数列是等差数列，由此求出，分别令
可求出.
【详解】
数列满足，，
则，
可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，
即有，即为，
则，
则
.
故选：C.
6．已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由可得，从而得数列以为首项，2为公比的等比数列，根据，可化为，从而即可求得答案.
【详解】
由可得，
若，则，与题中条件矛盾，故，
所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以
，所以，
故选：A．
7．已知数列满足，，若，当时，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
将已知递推关系式变形可得，由此可知数列为等差数列，由等差数列通项公式可取得，进而得到；由可上下相消求得，结合解不等式可求得的最小值.
【详解】
由得：，
，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
由得：，又，且，
的最小值为.
故选：C.
8．数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（ ）．
①；
②数列是等比数列；
③数列是等比数列；
④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到，整理得到，利用构造法求出数列的通项，即可判断；
【详解】
解：由得，
所以，
∴（*），
①，，
，，
∴，正确；
②由（*）知，
∴首项，，∴是等比数列，正确；
③，首项，不符合等比数列的定义，错误；
④由②对可知：，
两边同除得，
令，∴，．
∴，
，即数列是恒为0的常数列．
∴，故错误．
故选：B．
9．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.
【详解】
解：由得，
则
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，
得，
因为数列是单调递增数列，
所以时，，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故选：C.
10．已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
变形为可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出后代入到可得结果.
【详解】
由，得，所以，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
故选：C.
11．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
转化条件为，结合等差数列的性质可得，即可得解.
【详解】
因为，所以，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，
所以，，，
当时，，
所以中最小的一项是.
故选：B.
12．已知数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得的值.
【详解】
由可得，
，根据递推公式可得出，，，
进而可知，对任意的，，
在等式两边取对数可得，
令，则，可得，则，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
，
即.
故选：B.
13．已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】
转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.
【详解】
因为，所以，
又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，
所以，所以，
令，解得，
所以，其余各项均大于0，
所以.
故选：A.
14．数列满足，那么的值为（ ）．
A．4B．12C．18D．32
【答案】D
【分析】
首先根据题中所给的数列的递推公式，得到，从而得到数列是以为首项，以为公差的等差数列，进而写出的通项公式，将代入求得结果.
【详解】
由可得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，
所以，所以，
故选：D.
15．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依题意可得即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到，再用错位相减法求和，即可得解；
【详解】
解：由，所以，得.
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，所以.
设的前项和为，则，
两边同乘2，得
，
两个式子相减得
，
所以，所以.
故选：A
16．若数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A．1980B．2000C．2020D．2021
【答案】A
【分析】
由条件可得，从而数列是首项为21，公差为1的等差数列，由，可得，得出的通项公式，进一步得出答案.
【详解】
∵，
∴，
∴，所以数列是首项为21，公差为1的等差数列，
∴，
∴. ，
故选：A.
17．设数列的前项和为，且，（），则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用数列的通项与前项和的关系,将转换为的递推公式,继而构造数列求出,再得到关于的表达式,进而根据函数的性质可得的增减性求解即可.
【详解】
由题,当时, ,整理得,即数列是以1为首
项,2为公差的等差数列.所以,故.
所以,令函数,则.
故数列是一个递增数列,当时,有最小值.
故选：B
18．已知数列的首项，则（ ）
A．7268B．5068C．6398D．4028
【答案】C
【分析】
由得，所以构造数列为等差数列，算出，求出.
【详解】
易知，因为，所以，
即，是以3为公差，以2为首项的等差数列.
所以，即.
故选 ：C
19．已知在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
递推关系式乘以，再减去3，构造等比数列求通项公式.
【详解】
因为，，
所以，
整理得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，
解得.
故选：A.
20．如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值．
【详解】
解：
，
，
，
，即为等差数列．
，
，，
为以为首项，为公差的等差数列．
，
．
故选：．
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得，从而有是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，最后利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】
解：由,得，则，
由得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
当时，
，
所以，
当时，也适合上式，
所以，
故答案为：.
22．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．
【答案】2023
【分析】
根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.
【详解】
当时，，
，
，
，
从第2项起是等差数列.
又，，，，
，
当时，
，
（），
当时，.
又，
.
故答案为：2023
23．已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
【答案】
【分析】
根据已知条件构造，可得是公比为的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.
【详解】
因为，
所以，
因此，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当时，
，，，，，
以上各式累加可得：
，
因为，
所以；
又符合上式，所以.
故答案为：.
24．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．
【答案】2023
【分析】
根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.
【详解】
当时，，
，
，
，
从第2项起是等差数列.
又，，，，
，
当时，
，
（），
当时，.
又，
.
故答案为：2023.
25．已知数列中，，设，求数列的通项公式________．
【答案】
【分析】
首先判断是等比数列，并求得其通项公式，从而求得数列的通项公式.
【详解】
依题意，则，
两边取倒数并化简得，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故答案为：
26．已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】
将已知递推关系式变形为，令，采用倒数法可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得后，整理可得所求通项公式.
【详解】
由得：，
设，则有，即，又，
数列是以，为公差的等差数列，，
，即，.
故答案为：.
27．若数列满足，，则数列的通项公式________.
【答案】
【分析】
由，可得，设，即，先求出的通项公式，进而得到答案.
【详解】
由，可得，设
则，则
所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
则，则，所以
故答案为：
28．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________.
【答案】2
【分析】
将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解.
【详解】
因为时，，所以，而，
所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.
又因为恒成立，即恒成立，所以.
由得，得，
所以，所以，即实数的最小值是2.
故答案为：2
29．在数列中，，且，则______.(用含的式子表示)
【答案】
【分析】
将条件变形为，即数列是首项为，公比为3的等比数列，然后可算出答案.
【详解】
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以
所以.
故答案为：
30．若数列满足，且，则________.
【答案】
【分析】
由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.
【详解】
因为，
所以，
数列是等比数列，首项为，公比为，
则通项，
可得：，
则.
故答案为：.
31．在数列中，，，是数列的前项和，则为___________.
【答案】
【分析】
将化为，再由等比数列的定义和通项公式､求和公式，可得所求和.
【详解】
解：由，，
可得，
即，
所以数列是以为首项､2为公差的等差数列，
所以，
由，.
故答案为：.
32．若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______.
【答案】
【分析】
根据递推关系式可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得，代入不等式，结合可求得结果.
【详解】
，，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由得：，即，
，且，满足题意的最小正整数.
故答案为：.
33．已知数列满足，，则________.
【答案】
【分析】
转化原式为，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，即得解
【详解】
依题意，，故，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故，则.
故答案为：
34．已知数列{an}满足（n∈N*），且a2=6，则{an}的通项公式为_____.
【答案】
【分析】
由题意令n=1可得a1，当时，转化条件可得，进而可得，即可得解.
【详解】
因为数列{an}满足（n∈N*），所以，
①当n=1时，即a1=1，
②当时，由可得，
∴数列从第二项开始是常数列，
又，∴，
∴，
又满足上式，
∴.
故答案为：.
35．设数列满足，，，，则______.
【答案】
【分析】
由题意可得，，化简整理得，令，可得，由此可得，从而可求出答案．
【详解】
解：∵，，
∴当时，，即，
∴，
∴，
令，则，且，
∴，
又，
∴，即，
∴，
故答案为：．
36．已知数列满足，，若，则数列的首项的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
利用构造法求得，由可得出，可得，进而可求得的取值范围.
【详解】
，.
若，得，可知，此时，，数列是递减数列，不合乎题意；
若，得，则数列是以为公比的等比数列，
所以，，则，
，且，
即，
整理得，，则，
易知数列是单调递减数列，则，解得.
因此，数列的首项的取值范围为.
故答案为：.
37．数列满足，（，），则______.
【答案】
【分析】
利用项和转换，得到，故是以为首项，为公差的等差数列，可得，再借助，即得解.
【详解】
由于，
即
故是以为首项，为公差的等差数列
由于
故答案为：
38．已知数列满足，，则通项公式_______.
【答案】
【分析】
先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,,即,再检验时是否符合即可
【详解】
由题,因为,所以,
所以,
当时,,所以,
所以当时,,则,即,
当时,,符合,
所以,
故答案为:
39．数列满足：，，，令，数列的前项和为，则__________．
【答案】
【详解】
由递推关系整理可得： ，则：
，据此可得：

以上各式相加可得： ，
再次累加求通项可得： ，
当 时该式也满足题意，综上可得： ，则：
40．数列满足,记,则数列的前项和________．
【答案】
【详解】
试题分析：由得，且，所以数列构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以，从而得到，则，
所以,,
两式相减，得
所以.
三、解答题
41．已知在数列中，，且.
（1）求，，并证明数列是等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）求的值.
【答案】
（1）-4，-15，证明见解析
（2）
（3）
【分析】
（1）代值计算出，，根据递推公式可得据，即可证明；
（2）由（1）可知是以-2为首项，以3为公比的等比数列，即可求出通项公式；
（3）分组求和，即可求出答案.
（1）
解：因为，且
所以，，
∵，∴，
∵，∴，且，
∴数列是等比数列，
（2）
解：由（1）可知是以为首项，以3为公比的等比数列，
即，
即；
（3）
解：
.
42．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.
【答案】an＝n·，n∈N*；Sn＝4－.
【分析】
由题得Sn＝4－an－，Sn－1＝4－an－1－，n≥2，两式相减化简即得an与Sn.
【详解】
∵Sn＝4－an－，
∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，
当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.
∴an＝an－1＋
∴，∴2nan－2n－1an－1＝2，
∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.
∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.
∴an＝n·，n∈N*，
∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.
43．设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的公差；
（2）数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根据，，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果；
（2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.
（1）
（1）设等差数列的公差为，
，，成等比数列，，即，
又，解得：或；
当时，，与矛盾，，
即等差数列的公差；
（2）
由（1）得：，，即，
，又，解得：，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，整理可得：.
44．已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到，即可得证；
（2）由（1）可得，从而得到，再利用错位相减法求和即可得到，即可得到，对一切恒成立，再对分奇偶讨论，即可求出的取值范围；
（1）
解：由，得
∴，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列 .
（2）
解：由（1）得，即.
所以
.
两式相减得:，
∴
因为不等式对一切恒成立，
所以，对一切恒成立，
因为单调递增
若为偶数，则，对一切恒成立，∴；
若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴
综上：.
45．数列，的每一项都是正数，，，且，，成等差数列，，，成等比数列．
（1）求数列，的值．
（2）求数列，的通项公式．
（3）记，记的前n项和为，证明对于正整数n都有成立．
【答案】（1）24；36；（2），；（3）证明见解析.
【分析】
(1)由条件取特殊值求，；(2)由条件证明数列为等差数列，由此可求数列，的通项公式；(3)利用裂项相消法求，由此证明.
【详解】
解：（1）由得，
又得，
（2）∵，，成等差数列，∴①，
又∵，，成等比数列，∴，②
当时，③
由②③代入①得，，
∴是以为首项的等差数列，
∴则，
时，，
经验证也符合，∴．
（3）由（2）知，
则
成立．
46．已知数列满足，其中.
（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）最小值为1.
【分析】
（1）根据，可得，从而可得，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列的通项公式；
（2），即，设，利用作差法证明数列单调递减，从而可得出答案.
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∵，∴，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列.
，∴.
（2）解：∵，
∴，
即对任意的恒成立，
而，
设，
∴，
，
∴，
∴数列单调递减，
∴当时，，∴.
∴p的最小值为1.
47．已知数列的前n项和为，满足.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析，； （2）.
【分析】
（1）由，化简得到，得出，利用等差数列的定义，得到数列表示首项为，公差为的等差数列，进而求得.
（2）由题意，化简得到，结合裂项法，即可求解.
【详解】
（1）因为，可得，即，
可得，即，
又由，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以，所以.
（2）由，
则数列的前n项和：
，即.
48．已知数列{an}满足a1＝，Sn是{an}的前n项和，点(2Sn＋an，Sn＋1)在的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若cn＝n，Tn为cn的前n项和，n∈N*，求Tn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意得到，进而证得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可以求出结果；
（2）错位相减法求出数列的和即可.
【详解】
（1）∵点(2Sn＋an，Sn＋1)在的图象上，∴，
∴.
∵，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，即,
（2）∵,
∴，①
∴，②
①－②得，
∴.
49．已知数列{an}满足a1a2…an＝1an．
（1）求证数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，证明：b1+b2+…+bn＜．
【答案】（1）证明见解析，an＝；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题设得，进而构造与的关系式，利用等差数列的定义证明结论，然后求a1，即可得an；
（2）由（1）求得Tn与bn，再利用放缩法与裂项相消法证明结论．
【详解】
（1）∵a1a2…an＝1an①，则a1a2…an+1＝1an+1②，
∴两式相除得：，整理得，
∴，则，
∴，又n＝1时有a1＝1a1，解得：，
∴，
∴数列{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴，即.
（2）由（1）得：Tn＝a1a2…an＝，
∴bn＝，
∴b1+b2+…+bn＜，得证．
50．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设是数列的前项和，证明．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【分析】
（1）先化简递推公式，由等比数列的定义判断出，数列是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求出；
（2）由（1）和条件求出，利用作差法判断出数列的单调性，可求出的最大值，再求实数的取值范围；
（3）由（1）化简，利用裂项相消法求出，利用函数的单调性判断出的单调性，结合的取值范围求出的范围，即可证明结论．
【详解】
解：（1）由已知，
可得，所以．
所以数列是为首项，公比为的等比数列．
则，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以
，
．
，所以，
所以
则当，，即，
当，，即，是最大项且，
．
（3），
又令，显然在时单调递减，所以，
故而．
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．数列满足，，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先通过构造等比数列求出数列的通项公式，并进而用累加法求出的通项公式及的通项公式.最后利用裂项相消法将化简后取整，整理的最小值后得解
【详解】
由题意得：，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
又，，…，，，由累加法
，；
，，
，
，
，，，，
对恒成立，，则实数的最大值为.
故选：C.
2．已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ）
A．174B．672C．1494D．5904
【答案】B
【分析】
由条件可得，由此求出数列的通项，进而求得数列的通项，再利用分组求和方法即可计算作答.
【详解】
在数列中，，当时，，
于是得数列是常数列，则，即，
因，，则，
因此，，，显然数列是等差数列，
于是得，
所以数列前36项和为672.
故选：B
3．已知数列，满足.若，的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】
根据可知数列为等比数列，将代入后将其变形可知数列为等差数列，即可解得；将，代入即可解出答案.
【详解】
因为.
所以数列为以1为首项，2为公比的等比数列.
所以.
，,
所以数列为以3为首项，为公差的等差数列.
所以.
.
故选：C.
4．已知数列由首项及递推关系确定.若为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由得，所以数列为等差数列,则，求出数列，当分母为0，得，即时，数列为有穷数列，得出，即，又，，根据单调性可得答案.
【详解】
由，得
则，即
所以数列为等差数列,则
则，所以
当时, ，满足条件.
当分母为0，得，即时，数列为有穷数列.
当时, 数列为有穷数列.则
当分母为0时，无意义，此时数列为有穷数列，此时对应的值为
所以，由，则，即
设，则
所以在上单调递增.
所以
设设，则
所以在上单调递增.
所以
所以选项C正确
故选：C
5．为数列的前n项和，，对任意大于2的正整数，有恒成立，则使得成立的正整数的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】
先由题设条件求出，得到：，整理得：，从而有数列是以3为首项，2为公差的等差数列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂项相消法整理可得，解出的最小值．
【详解】
解：依题意知：当时有，，，，
，，即，
，即，，
又，，，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，，
故，，，，，
由上面的式子累加可得：，，
，．
由可得：
，
整理得， 且，
解得：．所以的最小值为6．
故选：B．
6．数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
化简得到，记，得到，是以为公差的等差数列，计算得到答案.
【详解】
由，
故，记，则，
两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，
又，所以，所以，
故.
故选：C.
7．设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根据等差中项的概念列出关系式，再利用与之间的关系，得到关于的递推关系式，
求得的表达式，再计算的取值范围，再计算的取值范围解出题目.
【详解】
由是6和的等差中项，得，令得 ，又，
得，
则是首项为，公比为的等比数列, 得．
若为奇数，；若为偶数，．
而是关于的单调递增函数，并且，，故最小值是，故此题选B．
8．数列满足，，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件求出数列通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答.
【详解】
数列中，，，则有，而，
因此，数列是公比为2的等比数列，，即，
则，因数列为单调递增数列，即，，
则，，
令，则，，当时，，当时，，
于是得是数列的最大值的项，即当n=3时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为.
故选：C
9．数列满足，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
【答案】C
【分析】
依题设找到数列满足的递推关系，或举反例否定.
【详解】
由，得，
令，，
则当时，数列满足题设，所以A正确；
由，得，
令，则当时，数列满足题设，所以B正确；
由，
令，得，，，，
令，得，，，
则，，从而，与矛盾，所以C错误；
由，得，
令，则当时，数列满足题设，所以D正确.
故选：C
10．已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由在R上为奇函数，知，令，则，得到.由此能够求出数列 的通项公式.
【详解】
解:在R上为奇函数，故，代入得:
当时，.令，则，上式即为:.
当为偶数时：
.
当为奇数时：
.
综上所述，.
故选：C.
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
【答案】
【分析】
依题意可得，即，即可得到的特征方程为，求出方程的根，则设数列的通项公式为，根据、得到方程组，求出，即可得到的通项公式；
【详解】
解：因为，，
所以，
所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，
所以可设数列的通项公式为，因为，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案为：
12．已知数列满足，则________
【答案】
【分析】
等价变形，换元设，得
，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解 .
【详解】
，，
，设，则，，两边取对数，
， ，所以是首项，公比的等比数列，
， ，
故答案为：
13．设是函数的极值点，数列满足，若表示不超过的最大整数，则__________．
【答案】2019
【分析】
求，可得，即，可得.设，则数列是公比为2的等比数列.求出，从而求出，裂项法求，即得所求值．
【详解】
，.
是的极值点，
，即，
.
设，可得，又，
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
.
.
，
.
，
∴.
故答案为：2019．
14．已知数列中的分别为直线在轴、轴上的截距，且，则数列的通项公式为_____________．
【答案】
【详解】
试题分析：由已知得：，已知条件可化为，设，可化为：，则，解得：，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则．两边同时除以转化为：，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
15．已知数列的前项和满足：，则为__________．
【答案】
【分析】
当时，，将已知式子变形得：，继而推出，可知数列为等比数列，求解即可.
【详解】
当时，，
，也即：，
，即：，
当时，，解得：，，
数列是以为首项，公比为的等比数列，
，即.
故答案为：.
三、解答题
16．已知数列满足：，，数列满足：，，求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】
首先利用三角换元法简化和的递推式，然后进一步利用数列知识求解数列和的通项公式，再通过三角函数线所具有的性质即可求解.
【详解】
证明：由已知得，可设，
则．
所以，即，
又，求得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，从而；
令，则．
又，所以，
则，即，又由，得．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，从而，
由三角函数线性质可知，当时，，
所以，
故，即．
17．(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
(1)由可得，结合等差数列通项公式及累加法可求数列的通项公式，
(2)由可得，利用累加法求，再通过构造等比数列求数列的通项公式.
【详解】
(1)由得：，
令，则上式为．
因此是一个等差数列，，公差为1，故．
由于，
又，，即．
(2)由递推关系式，得，
令，则，且．
符合该式，
，
令，则，即，
即，且，
故是以为首项，为公比的等比数列．
，即，
.
18．设二次函数满足：（i）的解集为；（ii）对任意都有成立.数列满足：，，.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）求证：
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用赋值法，令代入不等式即可求解.
（2）根据不等式的解集可设，将代入即可求解.
（3）由（2）可得，从而可得，得出，令，构造为等比数列，利用等比数列的通项公式可得，进而求出，放缩后由等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】
解：（1）由于对任意都有成立，
则令，得，则；
（2）由于的解集为，可设，
由，可得，则；
（3）证明：，
则，即有，
令，则，由于，
则有，，即有，
则，则，
则
，
所以原不等式成立.
19．已知数列的前项和满足，，证明：对任意的整数，有.
【答案】证明见解析
【分析】
由与的关系，结合待定系数法可求得，由于通项中含有，考虑分项讨论，分析得出当且为奇数时，，然后分为奇数和偶数进行分类讨论，结合放缩法以及等比数列的求和公式可证得所证不等式成立.
【详解】
当时，，解得，
当时，由可得，
两式作差得，即，
设，即，
所以，，得，所以，，
故数列是公比为的等比数列，且首项为，
所以，，故，
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时，
（减项放缩）.
①当且为偶数时，
；
②当且为奇数时，
所以，
.
因此，对任意的整数，有.
20．已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列，满足.
（i）求数列的前项和；
（ii）若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，；（2）（i）；（ii）.
【分析】
（1）根据题意，可得，进而可以证明是以3为首项，3为公比的等比数列，由此可得出数列的通项公式．
（2）（ⅰ）由（1）得，结合错位相减法即可求出；
（ⅱ）由（ⅰ）可得对一切恒成立，令，则是递增数列，由此可求得的取值范围．
【详解】
解：（1），，，
是以3为首项，3公比的等比数列，.
所以；
（2）（i）由（1）得，，
，
两式相减，得：，
（ii）由（i）得，
令，则是递增数列，
若n为偶数时，恒成立，又，，
若n为奇数时，恒成立，，，.
综上，的取值范围是