重难点30 圆锥曲线中的存在性问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc18029" 【题型1 与向量有关的存在性问题】 PAGEREF _Tc18029 \h 1
\l "_Tc1296" 【题型2 与斜率有关的存在性问题】 PAGEREF _Tc1296 \h 3
\l "_Tc30212" 【题型3 与面积有关的存在性问题】 PAGEREF _Tc30212 \h 4
\l "_Tc2563" 【题型4 存在定点满足某条件问题】 PAGEREF _Tc2563 \h 6
\l "_Tc4391" 【题型5 存在常数满足某条件问题】 PAGEREF _Tc4391 \h 7
\l "_Tc2885" 【题型6 存在点满足定值问题】 PAGEREF _Tc2885 \h 9
1、圆锥曲线中的存在性问题
圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的存在性问题考查频率变高，此类问题一般分为探究条件、探究结论两种类型，主要在在解答题中考查，难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.
【知识点1 圆锥曲线中的存在性问题及其解题策略】
1．圆锥曲线中的存在性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，
成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
2．圆锥曲线中的存在性问题的求解策略：
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立.
【题型1 与向量有关的存在性问题】
【例1】（2024·福建厦门·二模）已知A−2,0，B2,0，P为平面上的一个动点.设直线AP,BP的斜率分别为k1，k2，且满足k1⋅k2=−34.记P的轨迹为曲线Γ.
(1)求Γ的轨迹方程；
(2)直线PA，PB分别交动直线x=t于点C,D，过点C作PB的垂线交x轴于点H.HC⋅HD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，直线l1:y=x−2与C的一条渐近线平行，且与C交于点B，直线AB的斜率为13．
(1)求C的方程；
(2)已知直线l2:y=2x+mm≠8与C交于P,Q两点，问：是否存在满足EA⋅EP=EP⋅EQ=EA⋅EQ的点Ex0,y0？若存在，求x02−y02的值；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2024·湖南邵阳·二模）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1−3,0，点M2,6在双曲线上，直线l与双曲线Γ交于A,B两点.
(1)若l经过点−2,0，且∠AOB=90∘，求AB；
(2)若l经过点F1，且A,B两点在双曲线Γ的左支上，则在x轴上是否存在定点Q，使得QA⋅QB为定值.若存在，请求出△QAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.
【变式1-3】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）动点M(x,y)到直线l1:y=3x与直线l2:y=−3x的距离之积等于34，且|y|<3|x|．记点M的轨迹方程为Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)过Γ上的点P作圆Q:x2+(y−4)2=1的切线PT，T为切点，求|PT|的最小值；
(3)已知点G0,43，直线l:y=kx+2(k>0)交Γ于点A，B，Γ上是否存在点C满足GA+GB+GC=0？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
【题型2 与斜率有关的存在性问题】
【例2】（23-24高三下·广东深圳·期中）已知抛物线C:y2=2px(0(1)求抛物线C的方程；
(2)过点−12,0的动直线l与C交于A,B两点，C上是否存在定点M使得kMA+kMB=2（其中kMA,kMB分别为直线MA,MB的斜率）？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为26，离心率e=32，过点P0,2作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于A，B两点，直线l2交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2且k1k2≠0，判断是否存在非零常数λ，使得k1=λk2．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，过点P0,a的直线l与椭圆C相交于A,B两点，当l过坐标原点O时，AB=2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当l斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线E：x2−3y2=3的左、右焦点分别为F1，F2，A是直线l：y=−ca2x（其中a是实半轴长，c是半焦距）上不同于原点O的一个动点，斜率为k1的直线AF1与双曲线E交于M，N两点，斜率为k2的直线AF2与双曲线E交于P，Q两点．
(1)求1k1+1k2的值；
(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为kOM，kON，kOP，kOQ，问是否存在点A，满足kOM+kON+kOP+kOQ=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由．
【题型3 与面积有关的存在性问题】
【例3】（2024·江西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λ、(λ>0且λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2+42x−42y−4=0，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与右顶点，且椭圆C的离心率为32．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A2,1，过点A斜率分别为k1,k2的直线与椭圆C的另一个交点分别为B、D，且满足k1+k2=0，试探究△ABD面积是否存在最大值，若存在，求出直线BD的方程；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·北京·三模）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1的离心率为63，其长轴的两个端点分别为A−3,0，B3,0.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x=4于点E，点O 为坐标原点：过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，问：是否存在点P使得△ABE与△MON的面积相等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【变式3-2】（2024·上海杨浦·二模）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A0,1，离心率e=32，过点P−2,1的直线l与椭圆Γ交于B，C两点，直线AB、AC分别与x轴交于点M、N.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)已知命题“对任意直线l，线段MN的中点为定点”为真命题，求△AMN的重心坐标；
(3)是否存在直线l，使得S△AMN=2S△ABC？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.（其中S△AMN、S△ABC分别表示△AMN、△ABC的面积）
【变式3-3】（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2．
(1)若双曲线的离心率为2，且M(0,26)，△MF1F2是正三角形，求C的方程；
(2)若a=1，点M在双曲线C的右支上，且直线F1M的斜率为1b．若∠F1MF2=3π4，求b.
(3)在（1）的条件下，若动直线l与C恰有1个公共点P且与C的两条渐近线分别交于A、B记△AOP的面积为S1，△BOP的面积为S2（O是坐标原点），问：1S1+1S2是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由.
【题型4 存在定点满足某条件问题】
【例4】（2024·浙江杭州·二模）已知A,B是椭圆E:x24+y2=1的左，右顶点，点Mm,0m>0与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点M的坐标.
(2)过点M作直线l交椭圆E于C,D两点（与A,B不重合），连接AC，BD交于点G.
（ⅰ）证明：点G在定直线上；
（ⅱ）是否存在点G使得CG⊥DG，若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由.
【变式4-1】（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于22，经过其左焦点F−1,0且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为原点，在x轴上是否存在定点Q，使得点F到直线QM,QN的距离总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【变式4-2】（2024·广东·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过点E1,−1的直线l与C交于M,N两点，当l的斜率为−12时，MN=453.
(1)求C的方程；
(2)若M,N分别在C的左､右两支，点At,t−2t≠1，探究：是否存在t，使得∠EAM=∠EAN，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【变式4-3】（2024·广西桂林·三模）双曲线C：x24−y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且倾斜角为60°的直线为l1，过F2且倾斜角为60°的直线为l2，已知l1，l2之间的距离为43．
(1)求C的方程；
(2)若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于M,N两点（点M,N不在x轴上），判断是否存在实数k使得MF2−NF2=kMF2NF2．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【题型5 存在常数满足某条件问题】
【例5】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)，准线l与x轴交于点M,Ax0,y0为抛物线C上一点，AD⊥l交y轴于点D.当y0=42时，MA=MD+MF.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线AM与抛物线C的另一交点为B（点B在点A,M之间），过点F且垂直于x轴的直线交AM于点N.是否存在实数λ，使得AMBN=λBMAN？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【变式5-1】（2024·上海·二模）在△ABC中，已知B−1,0，C1,0，设G,H,W分别是△ABC的重心、垂心、外心，且存在λ∈R使GH=λBC.
(1)求点A的轨迹Γ的方程；
(2)求△ABC的外心W的纵坐标m的取值范围；
(3)设直线AW与Γ的另一个交点为M，记△AWG与△MGH的面积分别为S1,S2，是否存在实数λ使S1S2=722？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）已知圆C1的方程为(x+2)2+y2=24，点C2的坐标为(2,0)．点P为圆C1上的任意一点，线段PC2的垂直平分线与PC1交于点D．
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)点Q是圆x2+y2=r2(r>0)上异于点A(−r,0)和B(r,0)的任一点，直线AQ与轨迹E交于点M，N，直线BQ与轨迹E交于点S，T．设O为坐标原点，直线OM，ON，OS，OT的斜率分别为kOM，kON，kOS，kOT，问：是否存在常数r，使得kOM+kON=kOS+kOT恒成立？若存在，求r的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆Γ1的对称中心为坐标原点，焦点在x轴上，Γ1的离心率为12，且过点 M3,32， 等轴双曲线Γ2以Γ1的焦点F1、F2为顶点，动点P在Γ2的右支上且异于顶点.
(1)求Γ1与Γ2的方程;
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，直线PF1与Γ1相交于点A、B，直线PF2与Γ1相交于点C、D，AF1⋅BF1=m，CF2⋅DF2=n. 是否存在常数s使得m+n=smn，若存在求出s的值，若不存在，请说明理由.
【题型6 存在点满足定值问题】
【例6】（2024·福建漳州·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,T−1,32是C上的点，直线TF的斜率为−34．
(1)求C的方程；
(2)过点F作两条相互垂直的直线分别交C于M,N两点和P,Q两点，MN,PQ的中点分别记为A,B，且TH⊥AB,H为垂足．试判断是否存在点K，使得KH为定值？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为54，且点−42,3在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)过点P0,1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B．问：在y轴上是否存在定点Q，使直线AQ与BQ的斜率之和为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为6，圆x2+y2=9与椭圆C有且仅有两个公共点
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得RP→·RQ→为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆E:(x+6)2+y2=32，动圆C与圆E相内切，且经过定点F6，0
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)若直线l:y=x+t与（1）中轨迹交于不同的两点A,B，记△OAB外接圆的圆心为M（O为坐标原点），平面上是否存在两定点C，D，使得MC−MD为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）设A，B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，1]∪[9，+∞）D．[9，+∞）
2．（2024·河北衡水·一模）已知F1，F2为椭圆C：x2m+y2=1(m>0)的两个焦点，若C上存在点M满足MF1⊥MF2，则实数m取值范围是（ ）
A．(0,12]B．[2,+∞)C．(0,12]∪[2,+∞)D．[12,1)∪(1,2]
3．（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线C1:y2=4x，C2:y2=8x的焦点分别为F1、F2，若P、Q分别为C1、C2上的点，且线段PQ平行于x轴，则下列结论错误的是（ ）
A．当|PQ|=12时，△F1PQ是直角三角形B．当|PQ|=43时，△F2PQ是等腰三角形
C．存在四边形F1F2PQ是菱形D．存在四边形F1F2PQ是矩形
4．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知直线l经过抛物线x2=32y的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点T(0,t)，使得∠MTN为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．(−8,0)B．(−∞,−8)
C．(−4,0)D．(−∞,−4)
5．（2024·广东汕头·三模）已知椭圆C：x216+y212=1的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则下列不正确的是（ ）
A．C的离心率为12B．PF1的最小值为2
C．PF1⋅PF2的最大值为16D．可能存在点P，使得∠F1PF2=65°
6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线l1过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F且与C交于A、B两点（点A在第一象限），ABmin=4，l为C的准线，AM⊥l，垂足为M，Q0,1，则下列说法正确的是（ ）
A．p=4B．AM+AQ的最小值为2
C．若∠MFO=π3，则AB=5D．x轴上存在一点N，使kAN+kBN为定值
7．（2024·上海黄浦·二模）将曲线x216+y29=1( x≥0 )与曲线x27+y29=1( x≤0 )合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于A,B两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确B．①②均错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
8．（23-24高三上·四川成都·期末）曲线C是平面内与三个定点F1−1,0，F21,0和F30,1的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线C关于x轴、y轴均对称；
②曲线C上存在点P，使得PF3=223；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积最大值是1；
④曲线C上存在点P，使得∠F1PF2为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③④B．②③C．③④D．①②③④
二、多选题
9．（2024·安徽阜阳·一模）已知O为坐标原点，椭圆C:x26+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2.A,B两点都在C上，A，O,B三点共线，P（不与A,B重合）为上顶点，则（ ）
A．AB的最小值为4B．AF1+BF1为定值
C．存在点A，使得AF1⊥AF2D．kPA⋅kPB=−13
10．（2024·全国·模拟预测）已知过点P2,0的直线l交抛物线y2=4x于A,B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．△AOB的面积存在最大值
B．△AOB的面积存在最小值
C．存在直线l，使得OA⊥OB
D．在x轴上存在异于P的定点Q，便得对任意的直线l，总有∠PQA=∠PQB
11．（2024·云南昆明·模拟预测）设O为坐标原点，直线l过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），ABmin=4，l为C的准线，AM⊥l，垂足为M，Q0,1，则下列说法正确的是（ ）
A．p=2
B．AM+AQ的最小值为2
C．若∠MFO=π3，则AB=5
D．x轴上存在一点N，使kAN+kBN为定值
三、填空题
12．（2024·河南·二模）直线l:x−my+2=0(m>0)与抛物线：y2=4x相交于A,B两点，若在y轴上存在点P使得PA⋅PB=0，则m的最小值为 .
13．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线y2=2px(x>0),P2,1为抛物线内一点，不经过P点的直线l:y=2x+m与抛物线相交于A,B两点，连接AP,BP分别交抛物线于C,D两点，若对任意直线l，总存在λ，使得AP=λPC,BP=λPD(λ>0,λ≠1)成立，则该抛物线方程为 .
14．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知四边形ABCD是椭圆M:x22+y2=1的内接四边形，其对角线AC和BD交于原点O，且斜率之积为−13．给出下列四个结论：
①四边形ABCD是平行四边形；
②存在四边形ABCD是菱形；
③存在四边形ABCD使得∠AOD=91°；
④存在四边形ABCD使得|AC|2+|BD|2=645．
其中所有正确结论的序号为 ．
四、解答题
15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1−c,0，F2c,0，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点，且△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设b>1，是否存在x轴上的定点P，使得△PMN的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
16．（2024·全国·二模）椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b≥3)的离心率为223，左、右顶点分别为A，B，过点M(3,0)的动直线l与椭圆Γ相交于P，Q两点，当直线l的斜率为1时，|PQ|=2725.
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)设直线AP与直线x=t的交点为N，是否存在定实数t，使Q，B，N三点共线?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
17．（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：x2+y−22=1内切，且与直线l1：y=−3相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线l2：y=−2相交于点M，N．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点A作AA1⊥l2于A1，若A1，O，B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
18．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：x=−1，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)是否存在实数λ，使得MN⋅PQ=λMN+PQ恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024·贵州·模拟预测）已知A，B分别为椭圆E:x23+y24=1的上下顶点，P为直线l:y=12上的动点，且P不在椭圆上，PA与椭圆E的另一交点为C，PB与椭圆E的另一交点为D，（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）.
(1)证明：直线CD过定点；
(2)设（1）问中定点为Q，过点C，D分别作直线l:y=12的垂线，垂足分别为M，N，记△CMQ，△MNQ，△DNQ的面积分别为S1，S2，S3，试问：是否存在常数t，使得S1，tS2，S3总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.