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重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）
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\l "_Tc16489" 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc16489 \h 2
\l "_Tc14078" 【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc14078 \h 3
\l "_Tc30291" 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc30291 \h 3
\l "_Tc25995" 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc25995 \h 4
\l "_Tc3309" 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 PAGEREF _Tc3309 \h 5
\l "_Tc409" 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 PAGEREF _Tc409 \h 5
\l "_Tc17740" 【题型7 函数法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc17740 \h 6
\l "_Tc11902" 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc11902 \h 7
1、巧解圆锥曲线的离心率问题
从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
【知识点1 圆锥曲线的离心率】
1．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
2．求椭圆离心率或其取值范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用离心率公式求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.
(3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
3．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
4．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)
求解.
5．抛物线的离心率
抛物线的离心率e =1.
【知识点2 离心率的范围问题的求解方法】
1．不等式法求离心率的范围
(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.
(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的
斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.
(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.
(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不
等式建立不等关系进行求解.
2．函数法求离心率的范围
(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数
关系式；
(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；
(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.
3．坐标法求离心率的范围
根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.
【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】
【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为4,0,−4,0，点4,−6在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3B．3C．2D．2
【变式1-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．22B．3−12C．5−12D．32
【变式1-2】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，M为C的顶点，若△MF1F2的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A．33B．32C．12D．13
【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在点P，使得PF1=3PF2，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．2,+∞B．1,2C．2,+∞D．1,2
【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】
【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．3,+∞C．2,+∞D．233,+∞
【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y26=1(a>0)的左、右焦点，过点F1的直线交C于A,B两点，若AF2+BF2的最大值为8，则C的离心率为（ ）.
A．33B．32C．63D．12
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M−2,3是双曲线E上的点，若△AMF的面积为92，则双曲线E的离心率为（ ）
A．3B．2C．62D．6
【变式2-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，若E上存在不同的两点A,B，使得F1A=2F2B，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．0,2−1B．0,2−1C．3−22,1D．3−22,1
【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】
【例3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0，点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ∥PF1，且OQ=b．则C的离心率为（ ）
A．12B．33C．63D．32
【变式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．52,5B．32,3C．12,2D．[2,+∞)
【变式3-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，O为坐标原点，F1、F2分别为C的左、右焦点，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，M在∠F2PF1外角平分线上，且F2M⋅PM=0.若OF2=F2M，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．223
【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l:y=12x+a与椭圆C交于A,B两点（B点在A点上方），O为坐标原点，以O为圆心，OB为半径的圆在点B处的切线与x轴交于点D，若∠BDA>∠BAD，则C的离心率的最大值为（ ）
A．13B．12C．22D．32
【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】
【例4】（2024·广西桂林·模拟预测）已知F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，且PF12+PF22=8b2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．53B．54C．233D．153
【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）设A,B分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点，M是C上一点，且MA:MB:AB=3:5:7，则C的离心率为（ ）
A．35B．37C．1511D．7286143
【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若F1B=6F1A，AF2⊥BF2，且AF2>BF2，则双曲线的离心率为（ ）
A．175B．135C．855D．655
【变式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF2=7OD，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．3
【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】
【例5】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知点F1是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，过原点作直线l交椭圆于A、B两点，M、N分别是AF1、BF1的中点，若∠MON=90∘，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A．14B．34C．12D．22
【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F1，F2，分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若MF22MF1的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．1,72B．2,4
C．1,3D．3,5
【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若PF12PF2的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．1,2B．1,3C．1,3D．2,4
【变式5-3】（2024·河南·二模）从椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点Px0,y0向椭圆引两条切线，切点分别为A,B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为x0xa2+y0yb2=1.现有如图所示的两个椭圆C1,C2，离心率分别为e1,e2，C2内含于C1，椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e12−e22的最大值为（ ）
A．12B．13C．15D．14
【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】
【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．e1e2>2B．e1+e2>2
C．0
A．2B．3C．4D．5
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么e12+e22最小为（ ）
A．2+34B．2+32C．3+224D．3+222
【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e22的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【题型7 函数法求离心率或其范围】
【例7】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆Γ上，且PF1⋅PF2=0．若PF1PF2∈1,3，则椭圆Γ的离心率的取值范围是（ ）
A．23,1B．22,104C．12,58D．12,4−23
【变式7-1】（2024·河北邯郸·二模）已知直线l：abx−(4a−1)y+m=0(a＞14)与双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．5
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知Q是椭圆M:x29+y2b2=1(0
【变式7-3】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，F1，F2为C的左、右焦点，B0,4b，直线BF2与C的一支交于点P，且BPPF2=λλ≥1，则C的离心率最大值为（ ）
A．5B．2C．22D．25
【题型8 坐标法求离心率或其范围】
【例8】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知A,F分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和左焦点，直线y=kx与椭圆交于B,C两点，若直线CF交线段AB于M,AM=13AB，则椭圆的离心率为（ ）
A．23B．12C．154D．265
【变式8-1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)，点P2,0,Q3,0，若C上存在三个不同的点M满足MQ=2MP，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．(1,153)B．(1,303)C．(153,+∞)D．(303,+∞)
【变式8-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，点P0,mm>b，线段PF1，PF2分别交E于A,B两点，过点B作E的切线交PF1于C，且BC⃗⋅PF1⃗=0,PB⃗=2BF2→，则E的离心率为（ ）
A．12B．22C．32D．33
【变式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0，F2c,0，过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且F1F2=2OB（O为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）
①B的坐标为a,b；②BF1−BF2>2a；③若AB=3F1A，则双曲线C的离心率1+173；
A．①②B．②③C．①③D．①②③
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为F1,F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘,∠PAF2=45∘，则椭圆E的离心率为（ ）
A．57B．63C．2−2D．3−1
2．（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中点，并满足F1M⊥F1N，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3+12B．3+1C．2D．5+1
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1⋅AF2=0，AF2=2F2B，则椭圆E的离心率为（ ）.
A．32B．53C．34D．35
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，F1(−c,0)、F2(c,0)分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段PF1与y轴交于点E，PO=PF2，线段EF2的中点H满足F1H⋅PF2=0，则双曲线的离心率为（ ）
A．32+102B．32−102C．7+35D．7−35
5．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B0,b满足FB⋅AB=0，则椭圆的离心率等于（ ）
A．3+12B．5−12C．3−12D．5+12
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PF2=π3，其离心率分别为e1,e2，则3e12+e22的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
7．（2024·河南濮阳·模拟预测）点M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．2−3,1B．5−12,1
C．6−22,1D．6−22,5−12
8．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l ：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 SMON≥34c2，则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A．2332B．2333C．23D．[ 3 ，2]
二、多选题
9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P，使得PF1=4PF2，其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．12B．35C．56D．3−1
10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，直线l:bx+ay−bc=0与C相交于点M，与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e，则（ ）
A．若NF1⊥NF2，则e=2B．若MF1⊥MF2，则e=22
C．若NF2=2MF2，则e=2D．若MF1≥5MF2，则e≤2
11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点F1,F2，斜率为正的渐近线为l1，过点F2作直线l1的垂线，垂足为点A，交双曲线于点P，设点M是双曲线C上任意一点，若PF2=23AF2,S△PF1F2=43，则（ ）
A．双曲线C的离心率为5
B．双曲线C的共轭双曲线方程为y2−x24=1
C．当点M位于双曲线C右支时，MF1MF2∈1,3+52
D．点M到两渐近线的距离之积为45
三、填空题
12．（2024·山东济南·三模）已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，点P为椭圆上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F1做斜率为正的直线交双曲线左支于Ax1,y1，Bx2,y2 y1
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与椭圆x225+y25=1共焦点，点M、N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限的交点，若点E0,3满足ME⊥ON，（O为坐标原点），
(1)求双曲线的离心率；
(2)求△OMN的面积.
16．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A1,32.
(1)若椭圆E的离心率e∈0,12，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率e=32，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆x2+y2=b2相切，求线段MN的最大值.
17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点是A(−1,0)，一条渐近线的方程为y=x．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线y=12x−12与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，过A且斜率为kk>0的直线交y轴于点M，交C的另一点为P．
(1)若k=13,MA=2PM，求C的离心率；
(2)点Q在C上，若PA⊥QA，且tan∠PQA=8，求k的取值范围．
19．（2024·上海·三模）已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2．
(1)若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：
(2)若b=4，双曲线Γ左支上任意点T均满足TF1≥2a，求a的最大值；
(3)若双曲线Γ的左支上存在点P、右支上存在点Q满足FP1=PQ=QF2，求Γ的离心率e的取值范围．
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重难点18 球的切、接问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）：
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重难点17 新情景、新定义下的数列问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）：
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