重难点08 导数中的同构问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc19633" 【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】 PAGEREF _Tc19633 \h 2
\l "_Tc3577" 【题型2 同构：利用f(x)与ex构造函数】 PAGEREF _Tc3577 \h 3
\l "_Tc1194" 【题型3 同构：利用f(x)与sinx，csx构造函数】 PAGEREF _Tc1194 \h 3
\l "_Tc27756" 【题型4 指对同构问题】 PAGEREF _Tc27756 \h 4
\l "_Tc8015" 【题型5 利用同构比较大小】 PAGEREF _Tc8015 \h 5
\l "_Tc7964" 【题型6 利用同构解决不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc7964 \h 5
\l "_Tc4486" 【题型7 利用同构证明不等式】 PAGEREF _Tc4486 \h 6
\l "_Tc29511" 【题型8 与零点有关的同构问题】 PAGEREF _Tc29511 \h 7
1、导数中的同构问题
导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，难度较大.
【知识点1 导数中的同构问题的解题策略】
1．导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，主要有以下几种类型：
(1)利用f(x)与x构造函数
①出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
②出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数.
(2)利用f(x)与ex构造函数.
(3)利用f(x)与sinx，csx构造函数.
2．同构式的应用
(1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.
(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而
利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
【知识点2 指对同构问题】
1．指对同构解决不等式问题
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
.
(2)三种基本模式：
三种同构方式
①积型：
②商型：
③和差型：
【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是（ ）
A．(−∞,−2)∪(2,+∞)B．(−2,2)
C．(−∞,−2)∪(0,2)D．(−2,0)∪(2,+∞)
【变式1-1】（2024·安徽·一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）＝1，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞1，则不等式f(x)−1x<0的解集为（ ）
A．(-∞，2)∪(2，+∞)B．(-∞，2)∪(0，2)
C．(-2，0)∪(2，+∞)D．(-2，0)∪(0，2)
【变式1-2】（23-24高二下·天津南开·期中）已知fx是定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数，若对于任意的x∈0,+∞，都有2fx+xf′x>0成立，且f2=12，则不等式fx−2x2>0解集为（ ）
A．2,+∞B．−2,0∪0,2
C．0,2D．−2,0∪2,+∞
【变式1-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，有xf′x+2fx>0恒成立，则（ ）
A．f1>4f2B．f−1<4f−2
C．4f2<9f3D．4f−2<9f−3
【题型2 同构：利用f(x)与ex构造函数】
【例2】（2024·湖北武汉·一模）若函数fx的定义域为R，满足f0=2，∀x∈R，都有fx+f′x>1，则关于x的不等式fx>e−x+1的解集为（ ）
A．xx>0B．xx>eC．xx<0D．x0【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知fx是可导的函数，且f′xA．f1>ef0，f2023e2f−1
C．f1e2023f0
【变式2-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知函数fx及其导函数f′x定义域均为R，且fx−f′x>0，f0=e，则关于x的不等式fx>ex+1的解集为（ ）
A．xx>0B．xx<0C．xxe
【变式2-3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知定义在R上的偶函数fx满足f(x−12)+f(−x−1)=0，e4f(2022)=1，若f(x)>f′(−x)，则关于x的不等式f(x+2)>1ex的解集为（ ）
A．（4，+∞）B．（-∞，4）C．（-∞，3）D．（3，+∞）
【题型3 同构：利用f(x)与sinx，csx构造函数】
【例3】（2023·重庆九龙坡·二模）已知偶函数fx的定义域为−π2,π2，其导函数为f′x，当0≤x<π2时，有f′xcsx+fxsinx>0成立，则关于x的不等式fx>2fπ3⋅csx的解集为（ ）
A．−π3,π3B．π3,π2
C．−π2,−π3∪π3,π2D．−π3,0∪π3,π2
【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在−π2,π2上的函数fx满足f−x=fx，当x∈0,π2时，不等式fxsinx+f′xcsx<0恒成立（f′x为fx的导函数），若acs1=f−1，bcs12=f−lne，c=2fπ3，则（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a
【变式3-2】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）已知f′x是函数fx的导函数，fx−f−x=0，且对于任意的x∈0,π2有f′xcsx>f−xsin−x．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．32f−12B．f−π6>62f−π4
C．f−1<2fπ4cs1
D．22fπ4>f−π3
【变式3-3】（2024·河南信阳·一模）已知函数y=fx对x∈0,π均满足f′xsinx−fxcsx=1x−1，其中f′x是fx的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．2fπ6C．fπ3【题型4 指对同构问题】
【例4】（2024·陕西安康·模拟预测）若存在x∈0,+∞，使得不等式a2x4+x≥eax2+ln2x成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．12e,+∞B．1e,+∞C．−∞,1eD．−∞,12e
【变式4-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数f(x)=aex+1nax+2−2，若fx>0恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A．0e2C．a>eD．a>2e
【变式4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数fx=ekx+1，gx=1+1xlnx.若kfx≥gx，则k的取值范围为（ ）
A．0,eB．e,+∞C．1e,+∞D．0,1e
【变式4-3】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x的不等式ex+x+2ln1x≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．12B．e24C．e22D．e2
【题型5 利用同构比较大小】
【例5】（2024·湖南益阳·三模）若a=2ln1.1，b=0.21，c=tan0.21，则（ ）
A．b【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若0A．ex2+lnx1>ex1+lnx2B．ex2+lnx1C．x2ex1>x1ex2D．x2ex1【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设a=ln1.01，b=sin0.01，c=1101，则a，b，c大小关系（ ）
A．c【变式5-3】（2024·安徽·三模）已知实数x1,x2,x3满足x12−x1=ex22−1=x31+x3+1=120，则（ ）
A．x1C．x2【题型6 利用同构解决不等式恒成立问题】
【例6】（2024·内蒙古·三模）已知函数fx=x2−ax+2lnx.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若a>0,fx≤eax恒成立，求a的取值范围.
【变式6-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=aeax−lnx+lna+1x．
(1)当a=1时，请判断f(x)的极值点的个数并说明理由；
(2)若f(x)≥2a2−a恒成立，求实数a的取值范围．
【变式6-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知fx=ax−xa（x≥0，a>0且a≠1）.
(1)当a=2时，求fx在x=0处的切线方程；
(2)当a=e时，求证：fx在e,+∞上单调递增；
(3)设a>e，已知∀x∈e22lna,+∞，有不等式fx≥0恒成立，求实数a的取值范围.
【变式6-3】（2024·河北·模拟预测）已知函数fx=alnx−x.
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，fx≤aea−1.
【题型7 利用同构证明不等式】
【例7】（2024·湖北荆州·三模）已知函数fx=xex−alnx+x，其中e是自然对数的底数.
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线的斜截式方程；
(2)当a=e时，求出函数fx的所有零点；
(3)证明：x2ex>x+2lnx+2sinx.
【变式7-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx=xeax（a>0）.
(1)求fx在区间−1,1上的最大值与最小值；
(2)当a≥1时，求证：fx≥lnx+x+1.
【变式7-2】（2024·山东·二模）已知函数fx=mx−lnx,x∈1,+∞.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若em−1x+1fx≥x2−x恒成立，求实数m的取值范围.
【变式7-3】（2024·四川眉山·三模）已知函数f(x)=xlnx−ax2−2x.
(1)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线，求a的取值范围；
(2)若f(x)有两个不同极值点x1,x2.
①求a的取值范围；
②当x1>4x2时，证明：x1x22>16e3.
【题型8 与零点有关的同构问题】
【例8】（2024·四川自贡·三模）已知函数f(x)=1+1x+alnx(a>0)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)函数f(x)有唯一零点x1，函数g(x)=x−sinx−ae2在R上的零点为x2．证明：x1【变式8-1】（2024·广东茂名·一模）设函数fx=ex+asinx，x∈0,+∞.
(1)当a=−1时，fx≥bx+1在0,+∞上恒成立，求实数b的取值范围；
(2)若a>0,fx在0,+∞上存在零点，求实数a的取值范围.
【变式8-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数fx=x−1x+alnx，其中a∈R.
(1)当x∈1,+∞时，fx≥0，求a的取值范围.
(2)若a<−2，证明：fx有三个零点x1，x2，x3（x1【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数fx=x2lnx−m有两个不同的零点x1，x2，且t=x12+x22．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求证：t<1；
(3)比较t与2e及2m+3e的大小，并证明．
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知a=ln65,b=16,c=17e17，则（ ）
A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b
2．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知a∈N∗，函数fx=e3x−xa>0恒成立，则a的最大值为（ ）
A．2B．3C．6D．7
3．（2024·四川南充·模拟预测）设a>0，b>0，且a+b=1，则下列结论正确的个数为（ ）
①lg2a+lg2b≥−2 ②2a+2b≥22 ③a+lnb<0
A．0B．1C．2D．3
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在0,+∞上的单调函数fx，对任意的x∈0,+∞有ffx−lnx=1恒成立，若方程fx⋅f′x=m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．−∞,1B．0,1C．0,1D．−∞,1
5．（2024·四川南充·模拟预测）设a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论正确的个数为（ ）
①lg2a+lg2b≥−2 ②2a+2b≥22 ③a+lnb<0 ④sinasinb<14
A．1B．2C．3D．4
6．（2024·河南郑州·三模）设x1,x2∈0,+∞，且ex1+lnx2=1，则（ ）
A．若x1=x2，则x1∈13,12B．若x1x2=1，则x1存在且不唯一
C．x1+x2>1D．x1+lnx2>0
7．（2024·四川·三模）已知关于x的方程e2x−axex+9e2x2=0有4个不同的实数根，分别记为x1,x2,x3,x4，则(ex1x1−e)(ex2x2−e)(ex3x3−e)(ex4x4−e)的取值范围为（ ）
A．(0,16e4)B．(0,12e4)C．(0,4e4)D．(0,8e4)
8．（2024·湖北·模拟预测）已知函数fx=lnx，gx为fx的反函数，若fx、gx的图像与直线y=−x交点的横坐标分别为x1，x2，则下列说法正确的为（ ）
A．x2>lnx1B．x1+x2<0
C．x1∈0,12D．x1−x2∈1,12+ln2
二、多选题
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数f(x)=xlnx，下列说法正确的是（ ）
A．函数f(x)的单调递减区间为(0,1)∪(1,e)
B．f(π)C．若方程|f(|x|)|=k有6个不等实数根，则k>e
D．对任意正实数x1,x2，且x1≠x2，若fx1=fx2，则x1x2>e2
10．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数fx=xcsx−sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数fx在x=π2时，取得极小值−1
B．对于∀x∈0,π，fx≤0恒成立
C．若0D．若对于∀x∈0,π2，不等式a11．（2024·江苏·模拟预测）设x1,x2(x1A．x1x2x1lnx2
C．∃a∈(0,1),x2−x1>ea D．∀a∈(0,1),x1lnx1+x2>a
三、填空题
12．（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)=(x−1)ex+ex−a有且只有两个零点，则a的范围是 ．
13．（2024·四川成都·三模）若不等式emxmx−ln2−xlnx2≥0，对任意x∈1e,+∞恒成立，则正实数m的取值范围是 .
14．（2024·四川凉山·三模）已知函数fx=ex−2exlnxx−x2lnxx>1e的零点为t，则2t3et−1= ．
四、解答题
15．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=2f(x)x−x+1x.
(1)求函数g(x)的单调区间；
(2)若当x>0时，mx2−ex≤mf(x)恒成立，求实数m的取值范围.
16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数fx=ex+a−1x−1，其中a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a=2时，证明：fx>xlnx−csx．
17．（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=ax−baxa>0,a≠1，b∈R．
(1)若y=fx在点0,f0处的切线方程为y=ex，求a，b的值；
(2)当b=1时，y=fx存在极小值点x0，求证：fx0≤−e1e．
18．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax+1,a∈R．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a≤2时，证明：fxx≤e2x．
19．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数fx=lnexax，其中e为自然对数的底数．
(1)讨论fx的单调性；
(2)若方程fx=1有两个不同的根x1,x2．
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x12+x22>2．