重难点20 立体几何中的动态、轨迹问题（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc25935" 【题型1 动点保持平行的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc25935 \h 2
\l "_Tc16720" 【题型2 动点保持垂直的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc16720 \h 2
\l "_Tc21122" 【题型3 距离（长度）有关的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc21122 \h 4
\l "_Tc27904" 【题型4 角度有关的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc27904 \h 4
\l "_Tc14902" 【题型5 翻折有关的动态轨迹问题】 PAGEREF _Tc14902 \h 5
\l "_Tc10162" 【题型6 轨迹所围图形的周长、面积问题】 PAGEREF _Tc10162 \h 6
1、立体几何中的动态、轨迹问题
“动态、轨迹”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，是高考中的重点、难度问题，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.
【知识点1 立体几何中的动态、轨迹问题的解题策略】
1．动点轨迹的判断方法
动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.
2．立体几何中的轨迹问题的常见解法
(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.
(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.
(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.
(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.
(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.
【题型1 动点保持平行的动态轨迹问题】
【例1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界）．若D1F//平面A1EC1，则动点F的轨迹长度为（ ）
A．3B．5C．22D．2
【变式1-1】（2024·北京昌平·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP//平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．22B．2C．1D．2
【变式1-2】（2024·江西赣州·二模）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足AA1=4AP，E，F分别为棱BC，CD的中点，点Q在正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上运动，满足A1Q//面EFP，则点Q的轨迹所构成的周长为（ ）
A．5373B．237C．7373D．8373
【变式1-3】（2024·山东枣庄·二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且．MP//平面AB1C，则线段MP长度的取值范围为（ ）
A．62,2B．1,62
C．62,32D．2,32
【题型2 动点保持垂直的动态轨迹问题】
【例2】（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为截面A1C1B上的动点，若DP⊥A1C，则点P的轨迹长度是（ ）
A．22B．2C．12D．1
【变式2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为（ ）

A．3B．2C．233D．52
【变式2-2】（2024·广西玉林·三模）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=4，E为DD1中点，P为正四棱柱表面上一点，且C1P⊥B1E，则点P的轨迹的长为（ ）
A．5+2B．22+2C．25+2D．13+2
【变式2-3】（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．将菱形沿对角线AC折叠成大小为30°的二面角B′−AC−D．若点E为B′C的中点，F为三棱锥B′−ACD表面上的动点，且总满足AC⊥EF，则点F轨迹的长度为（ ）
A．4+6−22B．4+6+22C．4+6−2D．4+6+2
【题型3 距离（长度）有关的动态轨迹问题】
【例3】（2024·四川南充·二模）三棱锥A−BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP=22，则点P的轨迹长度为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式3-1】（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，点P是面ABB1A1上的动点，若点P到点D1的距离是点P到直线AB的距离的2倍，则动点P的轨迹是（ ）的一部分
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【变式3-2】（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为2的球体O表面上的两定点，且∠AOB=π2，球体O表面上动点M满足MA=3MB，则点M的轨迹长度为（ ）
A．467πB．2305πC．41511πD．23311π
【变式3-3】（2023·陕西西安·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为22,P是正方形BB1C1C（含边界）内的动点，点P到平面A1BD的距离等于263，则D,P两点间距离的最大值为（ ）
A．23B．3C．32D．26
【题型4 角度有关的动态轨迹问题】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥P−ABCD的体积为423，底面ABCD的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点P在球O的球面上，点E为底面ABCD上一动点，PE与PO所成角为π6，则点E的轨迹长度为（ ）
A．2πB．43πC．6π3D．263π
【变式4-1】（2024·海南海口·一模）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则点P的轨迹长度为（ ）
A．π+42B．42πC．23D．32+π
【变式4-2】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点P是边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点，若直线AP与平面ABCD所成的角大小为π4，则点P的轨迹长度为（ ）
A．32B．22+πC．224+πD．22+π2
【变式4-3】（2024·江西·模拟预测）如图，已知正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为6，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（ ）
A．4π3B．5π3C．7π3D．2π3
【题型5 翻折有关的动态轨迹问题】
【例5】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB=1,BC=3,AB⊥BC，D是BC边上一点，且BD=1，将△ABD沿AD进行翻折，使得点B与点P重合，若点P在平面ADC上的射影在△ADC内部及边界上，则在翻折过程中，动点P的轨迹长度为（ ）

A．212πB．28πC．26π D．24π
【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到△PAE的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥P−AECD体积的最大值为22
B．PD的中点F的轨迹长度为3π2
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥P−AED外接球的表面积有最小值16π
【变式5-2】（23-24高二上·四川内江·期中）如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E（点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，点F的轨迹的长度为 .

【变式5-3】（22-23高二上·广东广州·期末）已知矩形ABCD中AB=3，AD=3，现将△ACD沿对角线AC向上翻折（如图所示），若在翻折过程中，点D到点B的距离在212,302内变化时，点D的运动轨迹的长度等于 .
【题型6 轨迹所围图形的周长、面积问题】
【例6】（23-24高三上·广西贵港·阶段练习）正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为BB1，CC1的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面AB1N，则动点P的轨迹面积为（ ）
A．53B．5C．39D．26
【变式6-1】（2024·河北·模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQ=OP，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A．2π11B．3π11C．4π11D．5π11
【变式6-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）在正四面体ABCD中，P,Q分别是棱AB,CD的中点，E,F分别是直线AB,CD上的动点，且满足PE+QF=a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（ ）
A．a24B．a22C．πa24D．πa22
【变式6-3】（2024·四川·一模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱BC上，且满足BE=2EC，动点M在正方体表面上运动，且ME⊥BD1，则动点M的轨迹的周长为（ ）
A．62B．43C．42D．33
一、单选题
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=43，AA1=10，P是四边形ABCD内的动点，且A1P=4，则动点P运动轨迹的长度为（ ）
A．53π3B．43π3C．52π2D．22π
2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QB1与直线DB1的夹角为30°，则点Q的轨迹长度为（ ）
A．π2B．πC．2πD．3π
3．（2024·江西·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M满足C1M=3MC，若在正方形A1B1C1D1内有一动点P满足BP//平面AMD1，则动点P的轨迹长为（ ）
A．4B．17C．5D．42
4．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，Q是DD1中点，点P在正方体的内切球的球面上运动，且CP⊥AQ，则点P的轨迹长度为（ ）
A．5πB．25πC．5π4D．5π
5．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，P是正方形ABCD内的动点，PA≥PC1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（ ）
A．18B．14C．π16D．π8
6．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥P−ABC各顶点均在半径为22的球O的表面上，AB=AC=22,∠BAC=90。，二面角P−BC−A的大小为45。，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥O−ABC的体积为83；②点P形成的轨迹长度为26π.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
7．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E−ABCD−F的棱长为a，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线AE与BF所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为33；
③若点P为棱EB上的动点，则AP+CP的最小值为23a；
④若点O为四边形ABCD的中心，点Q为此八面体表面上动点，且OQ=a2，则动点Q的轨迹长度为833aπ.
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2024·四川绵阳·三模）如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为3，点M是侧面ADA′D′上的一个动点（含边界），点P在棱CC′上，且PC′=1．则下列结论不正确的是（ ）
A．若保持PM=13．则点M的运动轨迹长度为43π
B．保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为22
C．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为210
D．当M在D′点时，三棱锥B′−MAP的外接球表面积为994π
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3，M为AD中点，P为矩形CC1D1D内的动点（包括边界），且∠DPM=∠BPC，则（ ）
A．点P的轨迹为椭圆的一部分
B．点P的轨迹为圆的一部分
C．点P的轨迹与DC，DD1所围成的图形面积为3227π−839
D．点P的轨迹长度为89π
10．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，空间中一动点P满足BP=λBC+μBB1(λ,μ∈R)，M,N,Q分别为AA1,AB,AD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点P，使得A1P//平面MNQ
B．设ACl与平面MNQ交于点K，则AKC1K=15
C．若∠PAC=30°，则点P的轨迹为抛物线
D．三棱锥P−QMN的外接球半径最小值为5−74
11．（2024·湖南益阳·三模）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当点P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B．当点P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围为π3,π2
C．使直线AP与平面ABCD所成角为45∘的动点P的轨迹长度为π+42
D．若F是A1B1的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，PF长度的最小值为5
三、填空题
12．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60∘.如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S−ABC，此时SB=3.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S−ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC则点F的轨迹的面积为 .

13．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均是边长为6的等边三角形，DB=9，则四面体ABCD外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体ABCD的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
14．（2024·四川遂宁·模拟预测）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠BAD=60°，P为CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内（包括边界）运动，下列结论中正确的是 （填序号）.
①当点Q在线段CD1上运动时，四面体A1BPQ的体积为定值
②若AQ//面A1BP，则AQ的最小值为6
③若△A1BQ的外心为M，则A1B⋅A1M为定值2
④若A1Q=7，则点Q的轨迹长度为2π3
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）如图，A为平面α内一定点，α外一定点B在α内的射影为M．求平面α变动时点M的轨迹．

16．（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若MQ=xMG+yMNx,y∈R．

(1)求点Q的轨迹围成图形的面积；
(2)求MG⋅MQ的最大值．
17．（2024·湖南·模拟预测）如图，四棱锥P−ABCD内，PB⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2，BP=23．过P的直线l交平面ABCD于正方形ABCD内的点M，且满足平面PAM⊥平面PBM.
(1)当∠ABM∈π6,3π8时，求点M的轨迹长度；
(2)当二面角M−PA−B的余弦值为45时，求二面角P−MA−D的余弦值.
18．（2024·重庆·一模）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB=AP，AB⊥AD,AB+AD=6,CD=2,∠CDA=45°．

(1)若E为PB的中点，求证：平面PBC⊥平面ADE；
(2)若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为66．
（ⅰ）求线段AB的长；
（ⅱ）设G为△PAD内（含边界）的一点，且GB=2GA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．
19．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，点P在该正方体的表面上运动.
(1)若AP=62，求点P的轨迹长度；
(2)已知P到三个平面ABCD､ADD1A1､ABB1A1中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P个数；
(3)若点M是线段BC的中点，P是正方形DCC1D1（包括边界）上运动，且满足∠APD=∠MPC，求点P的轨迹长度.