重难点05 利用导数证明不等式（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc28161" 【题型1 直接法证明不等式】 PAGEREF _Tc28161 \h 2
\l "_Tc1908" 【题型2 移项构造函数证明不等式】 PAGEREF _Tc1908 \h 3
\l "_Tc23651" 【题型3 分拆函数法证明不等式】 PAGEREF _Tc23651 \h 4
\l "_Tc17265" 【题型4 分析法证明不等式】 PAGEREF _Tc17265 \h 5
\l "_Tc16292" 【题型5 放缩法证明不等式】 PAGEREF _Tc16292 \h 6
\l "_Tc5051" 【题型6 指对同构】 PAGEREF _Tc5051 \h 8
\l "_Tc16474" 【题型7 隐零点法】 PAGEREF _Tc16474 \h 9
\l "_Tc4187" 【题型8 双变量不等式的证明】 PAGEREF _Tc4187 \h 10
\l "_Tc29928" 【题型9 函数与数列不等式综合证明问题】 PAGEREF _Tc29928 \h 11
\l "_Tc1792" 【题型10 导数新定义的不等式证明问题】 PAGEREF _Tc1792 \h 12
1、利用导数证明不等式
导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.
【知识点1 导数中的不等式证明的解题策略】
1．导数中的不等式证明的解题策略
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
2．移项构造函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
3．分拆函数法证明不等式
(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.
(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，与lnx要分离，常构造与lnx，与的积、商形式.便于求导后找到极值点.
4．放缩后构造函数证明不等式
某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.
【知识点2 指对同构】
1．指对同构证明不等式
在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.
(1)五个常见变形：
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【题型1 直接法证明不等式】
【例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数f(x)=ex−12x2−x.
(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程.
(2)证明：∀x∈[0,+∞),f(x)>sinx.
【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知函数f(x)=x2−ax+lnx，x=1为f(x)的极值点.
(1)求a；
(2)证明：f(x)≤2x2−4x.
【变式1-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=xa−lnx，a>0．
(1)求fx的最小值ga；
(2)证明：ga≤a+1a−1．
【变式1-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数fx=2x2+x−lnx+m，m∈R.
(1)当m=0时，求曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当m≤1时，证明：fx≥0.
【题型2 移项构造函数证明不等式】
【例2】（2024·广西·模拟预测）设函数fx=lnx+ax+b，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=6x−3．
(1)求a,b的值；
(2)证明：fx>−25x−1．
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=xex，gx=lnx.
(1)求fx的极值；
(2)证明：xgx+2>exfx−2x.
【变式2-2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数fx=mlnx+x2−x,fx的导函数为f′x.
(1)讨论fx的单调性；
(2)当m=1时，证明：f′x+1≤2exx+1+1x+1+x−1.
【变式2-3】（2024·上海松江·二模）已知函数y=x⋅lnx+a（a为常数），记y=f(x)=x⋅g(x).
(1)若函数y=g(x)在x=1处的切线过原点，求实数a的值；
(2)对于正实数t，求证：f(x)+f(t−x)≥f(t)−tln2+a；
(3)当a=1时，求证：g(x)+csx0.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ax−lnx,a∈R．
(1)若函数Fx=fx−x2有两个极值点，求a的取值范围；
(2)若曲线y=fx在点1e,f1e处的切线与y轴垂直，求证：fx0，gx32x2+xlnx．
【题型4 分析法证明不等式】
【例4】（2024·吉林·模拟预测）已知函数fx=x2−ax−aex.
(1)当a=0时，求函数fx的极值；
(2)求证：当0aa−1.
【变式4-1】（2024·西藏·模拟预测）已知函数fx=xlnx+1−x2+axa∈R．
(1)若fx在定义域内是单调函数，求a的取值范围；
(2)若fx有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2>0．
【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数fx=alnx−x.
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，fx≤aea−1.
【变式4-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数f(x)=aex−x−32(a∈R)．
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna−a2．
【题型5 放缩法证明不等式】
【例5】（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=emxx2−3m+3mx+2m2+5m+3m2，其中m≠0.
(1)求曲线y=fx在点2,f2处切线的倾斜角；
(2)若函数fx的极小值小于0，求实数m的取值范围；
(3)证明：2ex−2x+1lnx−x>0.
【变式5-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=1x+alnx+2x−2，其中a∈R．
(1)当a≥1时，判断fx的单调性；
(2)若fx存在两个极值点x1,x2x2>x1>0．
（ⅰ）证明：x2−x1+2>2a；
（ⅱ）证明：x∈1,+∞时，fx>1x23−4x22+5x2−2．
【变式5-2】（2024·辽宁·二模）已知函数fx=lnx+ax2+a+2x+1，（a∈R，a≠0）.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若a=−2，证明：ex−x2+2x−xfx>1.
【变式5-3】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数fx=xlnx.
(1)讨论fx的单调性；
(2)若两个不相等的正实数a，b满足fa=fb，求证：a+b