专题5.1 平面向量的概念及线性运算（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc21936" 【题型1 平面向量的基本概念】 PAGEREF _Tc21936 \h 2
\l "_Tc28387" 【题型2 向量加、减法的几何意义】 PAGEREF _Tc28387 \h 4
\l "_Tc8966" 【题型3 向量的线性运算】 PAGEREF _Tc8966 \h 6
\l "_Tc28569" 【题型4 根据向量线性运算求参数】 PAGEREF _Tc28569 \h 7
\l "_Tc22109" 【题型5 向量共线定理及其应用】 PAGEREF _Tc22109 \h 9
1、平面向量的概念及线性运算
【知识点1 平行向量有关概念的归纳】
1．平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 平面向量线性运算问题的解题策略】
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【方法技巧与总结】
1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则.
2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知向量a，b为非零向量，则“向量a，b的夹角为180°”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】判断命题“若向量a，b的夹角为180°，则a//b”和命题“若a//b，则向量a，b的夹角为180°”的真假即可得解.
【解答过程】因向量a，b为非零向量，则当向量a，b的夹角为180°时，a与b方向相反，即a//b成立，
当a//b时，a与b方向相同或者方向相反，即向量a，b的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量a，b的夹角为180°”是“a//b”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-1】（2024·北京·三模）若a,b为非零向量，则“aa=bb”是“a,b共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】aa=bb表示与a,b同向的单位向量，a,b共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案.
【解答过程】依题意a,b为非零向量， aa表示与a同向的单位向量，bb表示与b同向的单位向量，
则aa=bb表示与a,b同向的单位向量，所以能推出a,b共线，所以充分性成立；
a,b共线可能同向共线、也可能反向共线，所以a,b共线得不出aa=bb，所以必要性不成立.
故选：B.
【变式1-2】（2023·江苏盐城·三模）已知ABCD是平面四边形，设p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，则p是q的条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【解题思路】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答过程】在四边形ABCD中，
若AB=2DC，
则AB∥DC，且AB=2DC，
即四边形ABCD为梯形，充分性成立；
若当AD，BC为上底和下底时，
满足四边形ABCD为梯形，
但AB=2DC不一定成立，即必要性不成立；
故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（ ）
A．若AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形
B．若AD=13BC，则四边形ABCD为梯形
C．若AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD为菱形
D．若AB=DC，且AC⊥BD，则四边形ABCD为正方形
【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.
【解答过程】A选项，AD=BC，则AD//BC,AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，A正确.
B选项，AD=13BC，则AD//BC,AD=13BC，所以四边形ABCD为梯形，B正确.
C选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，四边形ABCD是平行四边形；由于|AB|=|AD|，所以四边形ABCD是菱形，C正确.
D选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，所以四边形ABCD为平行四边形；由于AC⊥BD，所以四边形ABCD为菱形，D选项错误.
故选：D.
【题型2 向量加、减法的几何意义】
【例2】（2024·河南开封·三模）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与AB+DC不相等的是（ ）
A．2EFB．AC+DBC．EB+ECD．FA+FD
【解题思路】根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可
【解答过程】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以AE=ED=12AD,BF=FC=12BC，
因为EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF
所以2EF=ED+DC+CF+EA+AB+BF=AB+DC,
所以A正确，
因为DC=DA+AC,AB=AD+DB，
所以DC+AB=DA+AC+AD+DB=AC+DB，所以B正确，
因为DC=DE+EC,AB=AE+EB，
所以DC+AB=DE+EC+AE+EB=EC+EB，所以C正确，
因为FA+FD=FB+BA+FC+CD=BA+CD=−(AB+DC)，
所以D错误，
故选：D.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）等边三角形ABC的垂心为O，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则AD=（ ）
A．OB+23ACB．12OB+23AC
C．OB+34ACD．12OB+32AC
【解题思路】首先延长BO交AC于点E，根据题意得到E为AC的中点，再利用向量的线性运算计算AD即可.
【解答过程】如图所示：
延长BO交AC于点E，
因为O为等边三角形ABC的垂心，所以E为AC的中点，
所以AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23EB−EC
=AC+2332OB−12AC=OB+23AC.
故选：A.
【变式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在△ABC中，AB=4,AC=6，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB中点，AE=12EC，若AP=AD+AE，则直线AP经过△ABC的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【解题思路】根据题意，可得四边形ADPE为菱形，即可得到AP平分∠BAC，从而得到结果.
【解答过程】
因为AB=4,AC=6，且D为AB中点，AE=12EC，
则AD=AE=2，
又因为AP=AD+AE，则可得四边形ADPE为菱形，
即AP为菱形ADPE的对角线，
所以AP平分∠BAC，即直线AP经过△ABC的内心
故选:A.
【变式2-3】（2024·广东·模拟预测）等腰△ABC中，∠B=∠C=30°,AB=1，D为线段AB上的动点，过D作DE∥BC交AC于E．过D作DF⊥BC交BC于F，则|2BF+DE|=（ ）
A．3B．23C．33D．53
【解题思路】根据题意可得△BDF≌△CEG，得到BF=GC，结合|2BF+DE|=|BF+FG+GC|，即可求解.
【解答过程】如图所示，根据题意可得△BDF≌△CEG，所以BF=GC，
所以2BF=BF+GC，所以|2BF+DE|=|BF+FG+GC|=|BC|=3.
故选：A.
【题型3 向量的线性运算】
【例3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列向量关系式中，正确的是（ ）
A．MN=NMB．AB+AC=BC
C．AB+CA=BCD．MN+NP+PQ=MQ
【解题思路】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果.
【解答过程】MN=−NM，A选项错误；
BC=AC−AB，B选项错误；
AB+CA=CA+AB=CB，C选项错误；
由向量加法的运算法则，有MN+NP+PQ=MQ，D选项正确.
故选：D.
【变式3-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知向量a,b，则2a+b−a−b=（ ）
A．a+bB．a−b
C．3a+bD．a+3b
【解题思路】
直接由向量的线性运算即可求解.
【解答过程】由题意2a+b−a−b=2a+2b−a+b=a+3b.
故选：D.
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，NA+NC=0,BM=2MC，则（ ）
A．NM=−13AB−16ACB．NM=13AB−16AC
C．NM=−13AB+16ACD．NM=13AB+16AC
【解题思路】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【解答过程】在△ABC中，因为NA+NC=0，所以N为AC的中点，
又因为BM=2MC，所以M为线段BC的靠近C的三等分点，
所以NM=CM−CN=13CB−12CA=13AB−AC+12AC=13AB+16AC．
故选：D．
【变式3-3】（2024·四川自贡·一模）如图所示的△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（ ）
A．−13AB−16ACB．−16AB−13AC
C．−56AB−13ACD．−56AB+13AC
【解题思路】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【解答过程】DE=DB+BE=13CB−12AB
=13AB−AC−12AB=−16AB−13AC.
故选：B.
【题型4 根据向量线性运算求参数】
【例4】（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若DB=12AD，3CD=CA+mCB，则m=（ ）

A．−2B．2C．−1D．3
【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.
【解答过程】连接CD，如图所示：

因为DB=12AD，
所以CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23CB−CA=13CA+23CB，
所以3CD=CA+2CB，所以m=2.
故选：B.
【变式4-1】（2023·贵州·模拟预测）已知在△ABC中，点D为边BC的中点，若AD+BC=λAB+μAC，则λ−μ=（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【解题思路】结合几何关系，利用向量的线性运算法则即可将AD+BC用AB,AC来表示，从而得到答案.
【解答过程】因为点D为边BC中点，
所以AD+BC=12AB+AC+AC−AB=−12AB+32AC，
所以λ=−12，μ=32，λ−μ=−2.
故选：D.
【变式4-2】（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，AC与MD相交于点P，若AP=xAB+yAD，则xy=（ ）
A．23B．916C．34D．49
【解题思路】利用平行分线段成比例得到APPC=3，进而利用向量加法的平行四边形法则即可得解.
【解答过程】因为平行四边形ABCD中，M为BC的靠近点C的三等分点，AC与MD相交于点P，
所以APPC=ADCM=3，
所以AP=34AC=34AB+AD=34AB+34AD，又AP=xAB+yAD，
所以x=y=34，xy=916.
故选：B.
【变式4-3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）在△ABC中，D是线段BC上一点，满足BD=2DC,M是线段AD的中点，设BM=xAB+yAC，则（ ）
A．x−y=−12B．x+y=−12
C．x−y=12D．x+y=12
【解题思路】利用向量的线性运算，求出BM=−56AB+13AC，得到x,y的值，再对各选项分析判断即可求出结果.
【解答过程】因为D是线段BC上一点，满足BD=2DC，所以AD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，
又M是线段AD的中点，所以AM=12AD=16AB+13AC，
所以BM=BA+AM=−AB+16AB+13AC=−56AB+13AC，
所以x=−56,y=13，故x+y=−12，
故选：B.
【题型5 向量共线定理及其应用】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a，b，则“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λb”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解答过程】当a≠0，b=0时，满足a//b，但不存在λ，使得a=λb；
当a=λb时，可得a//b；
所以“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λb”的必要不充分条件.
故选：A.
【变式5-1】（2024·上海崇明·一模）设O为△ABC所在平面上一点.若实数x、y、z满足xOA+yOB+zOC=0x2+y2+z2≠0，则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件.
【解题思路】先由xyz=0得x,y,z中只能有一个为0，假设x=0可得点O在△ABC的边BC所在直线上，满足充分性；若点O在△ABC的边所在直线上，假设在AB上，容易得z=0，必要性满足，则可得答案.
【解答过程】∵ O为△ABC所在平面上一点，且实数x、y、z满足xOA+yOB+zOC=0x2+y2+z2≠0
∴xOA+yOB=−zOC
若“xyz=0”，则x,y,z中只能有一个为0，否则若x=y=0，得z=0，这与x2+y2+z2≠0矛盾；
假设x=0（y,z不为0），可得yOB=−zOC，∴OB=−zyOC，
∴向量OB和OC共线，∴点O在△ABC的边BC所在直线上；
若点O在△ABC的边所在直线上，假设在AB上，说明向量OB和OA共线，
∴z=0,∴xyz=0，
∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充分必要条件.
故选：C.
【变式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知a,b是平面内两个非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a+λb|=|a|+|λb|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【解答过程】若a∥b，则则存在唯一的实数μ≠0，使得 a=μb，
故 |a+λb|=|μb+λb|=|μ+λ||b|，
而 |a|+|λb|=|μb|+|λb|=|λ|+|μ||b|，
存在λ 使得|λ+μ|=|λ|+|μ|成立，
所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得 |a→+λb→|=|a→|+|λb→|”的充分条件，
若λ≠0且 |a+λb|=|a|+|λb|，则a与λb方向相同,故此时a∥b，
所以“a∥b”是“存在λ≠0， 使得 |a→+λb→|=|a→|+|λb→|”的必要条件，
故a∥b”是“存在λ≠0，使得| |a+λb|=|a|+|λb|”的充分必要条件，
故选: C.
【变式5-3】（2023·甘肃武威·一模）已知正三角形ABC的边长为6， AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，则点P到直线BC距离的最大值为（ ）
A．23B．3C．33D．332
【解题思路】由AP=32λAD+2μAE结合32λ+2μ=1得出点P在线段DE上运动，进而得出点P到直线BC距离的最大值.
【解答过程】因为3λ+4μ=2，所以32λ+2μ=1，
所以AP=λAB+μAC=32λ⋅23AB+2μ⋅12AC．如图，设AD=23AB，
AE=12AC，则AP=32λAD+2μAE．因为λ∈0,1，μ∈0,1，
所以点P在线段DE上运动，显然，当点P与点E重合时，点P到直线BC的距离取得最大值332．
故选：D.
一、单选题
1．（2023·北京大兴·三模）设a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【解答过程】由aa=bb表示单位向量相等，则a,b同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a=b，
由a=b表示a,b同向且模相等，则aa=bb，
所以“aa=bb”是“a=b”的必要而不充分条件.
故选：B.
2．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足AB+BC=2AM，则MD=（ ）
A．12B．1C．22D．2
【解题思路】根据几何关系求解.
【解答过程】如图，
AB+BC=AC=2AM，所以M是AC的中点，MD=12BD=22；
故选：C.
3．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD的边长为1，则AB+BC−CA=（ ）
A．0B．2C．22D．4
【解题思路】利用向量运算法则得到AB+BC−CA=2AC=22.
【解答过程】AB+BC−CA=AC−CA=2AC，
因为正方形ABCD的边长为1，所以AC=1+1=2，
故AB+BC−CA=22.
故选：C.
4．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则AM=（ ）
A．23AB−12ADB．12AB+23AD
C．AB+12ADD．34AB+12AD
【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】依题意可得AM=12AB+12AC=12AB+12AD+DC
=12AD+14AB+12AB=34AB+12AD．
故选：D.
5．（2024·广西·模拟预测）在△ABC中，AB=4AD，CE=2ED.若BC=λAE+μCD，则（ ）
A．λ+μ=5B．λ−μ=1C．λμ=6D．λμ=3
【解题思路】将向量AE，CD看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到BC= −3AE−2CD即可.
【解答过程】依题意，AB=4AD，
所以BC=DC−DB=−CD−3AD=−CD−3(AE+ED)，
又因为CE=2ED，
所以BC =−CD−3AE−3ED=−CD−3AE−CD=−3AE−2CD，
所以λ=−3，μ=−2，
所以λ+μ=−5，λ−μ=−1，λμ=6，λμ=32，只有选项C正确；
故选：C．
6．（2024·福建福州·模拟预测）已知e1⃗,e2⃗是两个不共线的向量，若2e1→+λe2→与μe1→+e2→是共线向量，则（ ）
A．λμ=−2B．λμ=−2C．λμ=2D．λμ=2
【解题思路】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.
【解答过程】依题意，设2e1→+λe2→=tμe1→+e2→，又e1→,e2→是两个不共线的向量，
所以tμ=2,λ=t，所以λμ=2．
故选：D.
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且AB=e1+2e2，BC=−3e1+2e2，DA=3e1−6e2，则（ ）
A．A、B、C三点共线B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线
【解题思路】根据向量a,b共线则a=λbλ∈R判断即可.
【解答过程】对A，因为AB=e1+2e2，BC=−3e1+2e2，不存在实数λ使得AB=λBC，故A、B、C三点不共线，故A错误；
对B，因为AB=e1+2e2，DA=3e1−6e2，不存在实数λ使得AB=λDA，故A、B、D三点不共线，故B错误；
对C，因为AC=AB+BC=−2e1+4e2，DA=3e1−6e2，则AC=−23DA，故A、C、D三点共线，故C正确；
对D，因为BC=−3e1+2e2，BD=−DA−AB=DA=−3e1+6e2−e1−2e2=−4e1+4e2，不存在实数λ使得BC=λBD，故B、C、D三点不共线，故D错误.
故选：C.
8．（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线OP经过△ABC的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【解答过程】设BC的中点为点D，所以OB+OC=2OD，
则OP−OA=AP=2OD，
若A,P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，
若A,P,O,D四点不共线时，AP//OD，且AP=2OD，连结AD,OP，交于点G，
如图，
AGGD=APOD=2，即点G是三角形的重心，即OP经过△ABC的重心，
综上可知，OP经过△ABC的重心.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若a与b都是单位向量，则a=b
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若a与b是平行向量，则a=b
D．若a+b=0或a−b=0，则a//b
【解题思路】根据单位向量、零向量、相等向量和共线向量的定义判断.
【解答过程】单位向量a与b的方向不一定相同，故A错；
零向量的长度为零，方向任意，故B正确；
若a∥b，a,b的模长不一定相等，故C错；
若a+b=0或a−b=0，则a,b的方向相同或相反，所以a∥b，故D正确.
故选：BD.
10．（2024·辽宁·二模）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则（ ）
A．O,P,G三点共线B．OP=2OG
C．2OP=AP+BP+CPD．点P在△ABC的内部
【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【解答过程】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC
=3OG+GA+GB+GC，
因为点G为△ABC的重心，
所以GA+GB+GC=0，所以OP=3OG，
所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误；
AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP
=(AO+BO+CO)+3OP，
因为OP=OA+OB+OC，
所以(AO+BO+CO)+3OP=−OP+3OP=2OP，即2OP=AP+BP+CP，故C正确；
因为OP=3OG，
所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误；
故选：AC．
11．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）

A．GH=233+1BDB．BE=BD+32CF
C．GB=33BD−12CFD．IC=3+36BD+3−14CF
【解题思路】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案.
【解答过程】A选项，由题知BCBD=13，故GH=GA+AE+EH=2BC+BD=233+1BD，而GH∥BD，故A正确；
B选项，由题知CF=2DE，BE=BD+DE=BD+12CF，故B错误；
C选项，GB=GA+AB=33BD−12CF，故C正确；
D选项，因为IC=IB+BC，BC=12BD−14CF，IB=33BF=33BC+CF
=3312BD+34CF=36BD+34CF，
故IC=3+36BD+3−14CF，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题
12．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，3BE→=ED→，CE→=λAB→+μAD→λ,μ∈R，2λ+μ= −54
．
【解题思路】利用平面向量的线性运算.
【解答过程】由平行四边形ABCD,3BE→=ED→，
可知BD=4BE，则CD−CB=4CE−CB，
整理得CE=14CD+34CB=14BA−34BC，
则CE=−14AB−34AD，
所以2λ+μ=−54.
故答案为：−54.
13．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 ①③ .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量a,b，若a//b，则a=± b；
③对于非零向量a,b，若a=± b，则a//b；
④对于非零向量a,b，若a//b，则a与b所在直线一定重合.
【解题思路】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【解答过程】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量a,b，若a//b，则a和b是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故a不一定等于±b，故②错误；
对于非零向量a,b，若a=±b，则a与b是相等向量或相反向量，故a//b，故③正确；
对于非零向量a,b，若a//b，则a和b是平行向量，也是共线向量，但a与b所在直线不一定重合.
故选：①③.
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF=AF，点P在AB上，BP=2AP，点Q在△DEF 内 (含边界)一点，若PQ=λPD+PA，则λ的最大值为 32 .
【解题思路】先利用向量线性运算得到AQ=λPD，作出辅助线，得到DP//AH，且DPAH=23，从而得到答案.
【解答过程】PQ=λPD+PA⇒PQ−PA=λPD⇒AQ=λPD，
取DE的中点H，连接AH，
因为BD=DE，故BD=2HD，
又BP=2AP，所以BPAB=BDBH=23，故DP//AH，且DPAH=23，
所以λ的最大值为32，此时点Q与点H重合.
故答案为：32.
四、解答题
15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：
(1)(AB+MB)+(−OB−MO)；
(2)AB−AD−DC；
(3)OA−OD+AD；
【解题思路】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.
【解答过程】（1）(AB+MB)+(−OB−MO) =(AB+BO)+(MB−MO) =AO+OB=AB；
（2）AB−AD−DC =DB−DC=CB；
（3）OA−OD+AD=DA+AD=0.
16．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点.
(1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量EF共线的向量；
(2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量GF模相等的向量；
(3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量EG相等的向量.
【解题思路】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量EF共线的向量；
（2）由向量模相等的概念得到与向量GF模相等的向量；
（3）由向量相等的概念得到与向量EG相等的向量．
【解答过程】（1）
∵E,F分别为AB,BC的中点，EF//AC，且EF=12AC，∴与向量EF共线的向量是AG,AC,GA,GC,CG,CA,FE.
（2）因为△ABC是正三角形，所以AB=AC=BC，
因为E、F、G依次是正△ABC的边AB、BC、AC的中点，
所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG，
所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，
与向量GF模相等的向量为AE,AG,BE,BF,CG,CF；
（3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量EG相等的向量为FC.
17．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，点D是△ABC中BC边的中点，AB=a,AC=b.
(1)若点O是△ABC的重心，试用a,b表示AO;
(2)若点O是△ABC的重心，求OA+OB+OC.
【解题思路】（1）根据三角形中线的性质和重心的性质求解；
（2）根据三角形重心的性质结合题意求解即可》
【解答过程】（1）因为点D是△ABC中BC边的中点，点O是△ABC的重心，
所以AO=23AD=2312a+12b=13a+13b.
（2）因为点O是△ABC的重心且D是BC边的中点，所以OB+OC=2OD，
又AO=23AD=2OD，所以OB+OC=AO=−OA，
所以OA+OB+OC=0.
18．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设a,b是不共线的两个非零向量．
(1)若OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，求证：A,B,C三点共线；
(2)若4a+12kb与12ka+b共线，求实数k的值．
【解题思路】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【解答过程】（1）由OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，
得AB=OB−OA=6a+2b−4a−2b=2a+4b,
BC=OC−OB=2a−6b−6a+2b=−4a−8b=−22a+4b=−2AB,
所以AB∥BC，且有公共点B，
所以A,B,C三点共线.
（2）由4a+12kb与12ka+b共线，
则存在实数λ，使得4a+12kb=λ12ka+b，
即4−12λka+12k−λb=0，又a,b是不共线的两个非零向量，
因此4−12λk=012k−λ=0，解得λ=2k=4，或λ=−2k=−4，
实数k的值是±4.
19．（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB、AC交于M、N两点（点M、N与点B、C不重合），设AB=xAM，AC=yAN．
(1)求x+y的值；
(2)求1x−1+2y−1的最小值，并求此时x，y的值．
【解题思路】（1）由三角形重心性质可得AG=13AB+13AC，结合三点共线性质即可求得结果.
（2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）如图所示，
因为G为△ABC重心，所以AG=23⋅12AB+AC=13AB+13AC，
所以AG=x3AM+y3AN，
因为M，G，N三点共线，所以13x+13y=1，即x+y=3．
（2）由题意可知x>1y>1x+y=3⇒1