【备战2023高考】数学专题讲与练-考向23《平面向量的概念及线性运算》（重点）全能练（新高考地区专用）

考向23  平面向量的概念及线性运算

【2022·全国·高考真题】在中，点D在边AB上，．记，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

【2022·全国·高考真题（文）】已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】因为，所以.

故选：D

1.解决向量的概念问题应关注以下七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．

(6)非零向量与的关系：是方向上的单位向量．

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小

2.平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

共线向量定理

向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得.

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

1．向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．

（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

②单位向量：长度等于1个单位的向量．

③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．

④相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

【注意】

（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．

（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．

（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．

（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．

1．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）在凸四边形中，，则以下结论正确的是（       ）

A． B．四边形为菱形

C． D．四边形为平行四边形

2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（       ）

A．且 B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知下列结论：①；②；③；④⑤若 ，则对任一非零向量有；⑥若，则与中至少有一个为 ；⑦若与是两个单位向量，则.则以上结论正确的是（       ）

A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤

4．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，中，，，点E是的三等分点，则（       ）

A． B． C． D．

1．（2022·广东·模拟预测）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·湖南怀化·一模）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

3．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量，，满足，则（       ）

A．，方向相同 B．，方向相同

C．，方向相同 D．，，两两互不共线

4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在中，点D在边上，且，若，则（       ）

A． B．3 C．2 D．1

5．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·江苏常州·模拟预测）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，则实数（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ）

A．4 B． C． D．2

8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，不正确的是（       ）

A．若为单位向量，且，则

B．若，，则

C．

D．若平面内有四点，则必有

9．（多选题）（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（       ）

A． B．

C． D．

10．（多选题）（2022·湖南·长沙一中一模）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（       ）

A．线段A，B的中点的广义坐标为

B．A，B两点间的距离为

C．若向量平行于向量，则

D．若向量垂直于向量，则

11．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形的形状，判断正确的有（       ）

A．若，则四边形为平行四边形

B．若，则四边形为梯形

C．若，则四边形为菱形

D．若，且，则四边形为正方形

12．（多选题）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在中，为中点，且，则（       ）

A． B．

C．∥ D．

13．（多选题）（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（       ）

A．若角，则

B．若，则

C．若，则，的夹角为

D．若，则为圆O的一条直径

14．（多选题）（2022·重庆南开中学模拟预测）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________．

16．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、

（-1，3)、(3，4). 在x轴是否存在一点P，使得为直角三角形，求此时P点的坐标

1．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（       ）

A． B． C． D．

4．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（       ）

A． B． C． D．

5．（2015·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（       ）

A． B．

C． D．

6．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．

7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．

8．（2021·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．

9．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．

10．（2020·全国·高考真题（文））设向量，若，则______________.

11．（2020·全国·高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.

12．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则

________；________.

1．【答案】A

【解析】如图（1）所示，设，则 都是单位向量，

因为，所以，可得，

又因为，所以，且为的平分线，所以C不正确；

在中，因为，且，

可得，

所以四边形的面积大于，所以A正确；

如图图（2）所示只有当时，此时凸四边形才能为平行四边形且为菱形，所以B、D不正确；

故选：A.

2．【答案】D

【解析】对于A，当且时，或，A错误；

对于B，当时，，B错误；

对于C，当时，或，C错误；

对于D，当时，，D正确．

故选：D．

3．【答案】C

【解析】（1） ，故错误；

（2） 根据数乘的定义，正确；

（3） 是表达式错误，0是数量， 是向量，这样的表达式没有意义，故错误；

（4） ，故错误；

（5）当向量 与 的夹角是 时， ，故错误；

（6）同（5），错误；

（7） ，故正确；

故选：C.

4．【答案】B

【解析】如图所示，设，且，

则，

又因为，

所以，解得，所以.

故选：B.

5．【答案】C

【解析】解：因为，所以，

所以.

故选：C.

6．【答案】B

【解析】

故选：B.

1．【答案】A

【解析】如图所示，根据题意可得，所以，

所以，所以.

故选：A.

2．【答案】C

【解析】解：以，为邻边作平行四边形，设，，

则，

由题意，设，

，

在中，由正弦定理可得，，

，

即的最大值为6.

故选：C．

3．【答案】A

【解析】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以

所以，

所以，方向相同，

故选：A.

4．【答案】B

【解析】

由题意知：，

则，

即，则，即.

故选：B.

5．【答案】A

【解析】在△ABC中，由余弦定理得：

设，，因为，

所以，即，

因为A、B、D三点共线，

所以，

解得：，

所以，

即

因为AB=5，

所以AD=3，BD=2

在三角形ACD中，由余弦定理得：

，

因为，所以.

故选：A

6．【答案】B

【解析】由，可得，又

则

又，， 则

即

则

即，整理得

解之得，或（舍）

故选：B

7．【答案】B

【解析】设，，，，

则，，，，.

所以，

当且仅当，时等号成立.

所以的的最小值是.

故选：B

8．（多选题）【答案】ABC

【解析】对于A，，与同向或反向，或，A错误；

对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，，D正确.

故选：ABC.

9．（多选题）【答案】AC

【解析】因为，，为单位向量，所以，由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；

对于A，，故A正确；

对于B，因为，所以为反向共线的向量，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，

，所以D错误；

故选：AC.

10．（多选题）【答案】AC

【解析】根据题意得，设A，B的中点为，则，

故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确；

，故，

当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；

与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，

则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时，

与垂直的充要条件是，故D不正确.

故选：AC．

11．（多选题）【答案】AB

【解析】选项A：若，则，，则四边形为平行四边形.判断正确；

选项B：若，则，，则四边形为梯形. 判断正确；

选项C：若，则，

则，即.仅由不能判定四边形为菱形.判断错误；

选项D：若，则，，则四边形为平行四边形，

又由，可得对角线，则平行四边形为菱形. 判断错误.

故选：AB

12．（多选题）【答案】BC

【解析】因为，则三点共线，且，

又因为为中线，所以点为的重心，

连接并延长交于，则为的中点，

所以，

所以∥

故选：BC．

13．（多选题）【答案】BC

【解析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则 ,

由正弦定理得 ，

故,故A错误；

对于B,由得，，

即,则点O为BC的中点，即BC为圆的直径，故，B正确；

对于C，设，的夹角为 ，

由得，，即 ，

解得 或，

由于，故，故，

则，的夹角为，C正确；

对于D,由 得，

即，则为圆O的一条直径，D错误，

故选:BC

14．（多选题）【答案】AC

【解析】解：因为，所以,

又三点共线，所以. 所以选项A正确，选项B错误；

，所以（当且仅当时等号成立），所以选项C正确；

因为，（当且仅当时等号成立）

所以，所以选项D错误.

故选：AC

15．【答案】【解析】都为直角三角形，

，∴，，

，解得，

∴，

∴．

故答案为：.

16．【解析】设，，由得，解得，

假设存在，设，当A为直角顶点时，，有，解得；

当D为直角顶点时，，有，解得；

当P为直角顶点时，，有，解得；

故或或或.

1．【答案】B

【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

2．【答案】D

【解析】因为，所以.

故选：D

3．【答案】A

【解析】连结，则为的中位线，

，

故选：A

4．【答案】C

【解析】

故选：C

5．【答案】B

【解析】由题意，．

故选：B

6．【答案】【解析】由题意知：，解得.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

8．【答案】.

【解析】,

，解得,

故答案为：.

9．【答案】

【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，

解方程可得：.

故答案为：.

10．【答案】5

【解析】由可得，

又因为，

所以，

即，

故答案为：5.

11．【答案】

【解析】因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

12．【答案】     0     3

【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则，

，，

.

故答案为：0；3.